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第3课时 公式法(1)
提优目标：1.能正确找出一元二次方程中的二次项系数,一次项系数和常数.
2.会用公式法解一元二次方程.
基础巩固
1．用公式法解方程x2－2＝－3x时，a，b，c的值依次是（ ）
A．0，－2，－3 B．1，3，－2 C．1，－3，－2 D．1，－2，－3
2．一元二次方程x2＋4x－8＝0的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．用公式法解关于x的一元二次方程，得x，则该一元二次方程是 ．
4．关于x的方程ax2－bx－c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝ ．
5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根为，则 ．
6．用公式法解下列方程：
（1）2x2＋x－6＝0；
（2）；
（3）；
（4）2x2＋3x＋10＝8x－1．
思维拓展
7．若x＝2是关于x的一元二次方程x2ax－a2＝0（a＞0）的一个根，下面对a的值估计正确的是（ ）
A．0＜a B．a＜1 C．1＜a D．a＜2
8．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x－1，点B对应的数是x2＋x，已知AB＝5，则x的值为 ．
9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{2，5}＝5．按照这个规定，方程max{1，x}＝x2－3的解为 ．
10．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a＝1，则这个正方形的面积是 ．
11．解下列方程：
（1）（x＋2）2＋6（x＋2）－91＝O；
（2）x2－（1＋2）x－30．
12．当x为何值时，代数式5x2－x的值与4x－2的值互为相反数．
13．观察以下方程：①3x2－7x－15＝0；②2x2＋10x－9＝0；③x2＋5x＋6＝0；④4x2－3x＋11＝0，解答下列问题：
（1）上面的四个方程有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示出这个特点；
（2）请你写出符合这个条件的一元二次方程的一般形式．
延伸探究
14．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD，则AD的长就是所求方程的解．
（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
15．为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
（1）解不等式组：；
（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2－2x－m＝0．中小学教育资源及组卷应用平台
第3课时 公式法(1)
提优目标：1.能正确找出一元二次方程中的二次项系数,一次项系数和常数.
2.会用公式法解一元二次方程.
基础巩固
1．用公式法解方程x2－2＝－3x时，a，b，c的值依次是（ ）
A．0，－2，－3 B．1，3，－2 C．1，－3，－2 D．1，－2，－3
【思路点拔】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．
解：整理得：x2＋3x－2＝0，
这里a＝1，b＝3，c＝－2．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程－公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
2．一元二次方程x2＋4x－8＝0的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】利用配方法解方程即可．
解：∵x2＋4x－8＝0，
∴x2＋4x＝8，
∴x2＋4x＋4＝12，
∴（x＋2）2＝12，
∴，
解得，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是关键．
3．用公式法解关于x的一元二次方程，得x，则该一元二次方程是 ．
【思路点拔】根据解一元二次方程－公式法，进行计算即可解答．
解：用公式法解关于x的一元二次方程，得x，
所以a＝3，b＝9，c＝－1，
则该一元二次方程是3x2＋9x－1＝0，
故答案为：3x2＋9x－1＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程－公式法，一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程－公式法是解题的关键．
4．关于x的方程ax2－bx－c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝ ．
【思路点拔】先判断方程的根的情况，由求根公式求出答案即可．
解：∵ax2－bx－c＝0，
∴Δ＝b2＋4ac，
∵对于任意实数b，b2≥0，ac＞0，
∴b2＋4ac＞0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
∴x．
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个根为，则 ．
【思路点拔】由题意知，a＝1，b＝2，c＝－4，再代入计算即可．
解：由题意知，a＝1，b＝2，c＝－4，
∴
＝－5，
故答案为：－5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
6．用公式法解下列方程：
（1）2x2＋x－6＝0；
（2）；
（3）；
（4）2x2＋3x＋10＝8x－1．
【思路点拔】利用公式法解各个方程即可．
解：（1）2x2＋x－6＝0，
∵Δ＝12－4×2×（－6）＝1＋48＝49＞0，
∴x，
∴x1＝－2，x2；
（2）；
∵Δ＝（－2）2－4×1×（－4）＝12＋16＝28＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（3）原方程变形得：3x2－x－12＝0，
∵Δ＝（－1）2－4×3×（－12）＝1＋144＝145＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（4）原方程变形得：2x2－5x＋11＝0，
∵Δ＝（－5）2－4×2×11＝25－88＝－63＜0，
∴原方程无实数根．
【点评】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
思维拓展
7．若x＝2是关于x的一元二次方程x2ax－a2＝0（a＞0）的一个根，下面对a的值估计正确的是（ ）
A．0＜a B．a＜1 C．1＜a D．a＜2
【思路点拔】先把x＝2代入方程x2ax－a2＝0得4－5a－a2＝0，再利用公式法解方程得到a，然后利用无理数的估算得到a的范围即可．
解：把x＝2是关于x的一元二次方程x2ax－a2＝0得4－5a－a2＝0，
整理得a2＋5a－4＝0，
解得a1，a2（舍去），
∵67，
∴1＜－52，
∴1，
即a＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了估算无理数的大小．
8．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x－1，点B对应的数是x2＋x，已知AB＝5，则x的值为 ．
【思路点拔】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于x的方程，解之求出x的值，再结合A、B的位置取舍即可．
解：根据题意，得：x2＋x－（2x－1）＝5，
整理，得：x2－x－4＝0，
∵a＝1，b＝－1，c＝－4，
∴Δ＝（－1）2－4×1×（－4）＝17＞0，
则x，
∴x1，x2，
∵点A在数轴的负半轴，
∴2x－1＜0，即x，
∴x，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大值，如：max{2，5}＝5．按照这个规定，方程max{1，x}＝x2－3的解为 ．
【思路点拔】当x＜1时，方程max{1，x}＝x2－3为x2－3＝1；当x＞1时，方程max{1，x}＝x2－3为x2－3＝x，分别解方程即可．
解：当x＜1时，方程max{1，x}＝x2－3为x2－3＝1，
即x2＝4，
解得x1＝2（不合题意，舍去），x2＝－2，
当x＞1时，方程max{1，x}＝x2－3为x2－3＝x，
即x2－x－3＝0，
解得，（不合题意，舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程－公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a＝1，则这个正方形的面积是 ．
【思路点拔】从图中可以看出，正方形的边长＝a＋b，所以面积＝（a＋b）2，矩形的长和宽分别是2b＋a，b，面积＝b（a＋2b），两图形面积相等，列出方程得＝（a＋b）2＝b（a＋2b），其中a＝1，求b的值，即可求得正方形的面积．
解：根据图形和题意可得：
（a＋b）2＝b（a＋2b），
其中a＝1，
则方程是（1＋b）2＝b（1＋2b）
解得：b所以正方形的面积为（1）2，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．
11．解下列方程：
（1）（x＋2）2＋6（x＋2）－91＝O；
（2）x2－（1＋2）x－30．
【思路点拔】（1）先设x＋2＝y，再把原方程进行变形，求出y的值，再把y的值代入x＋2＝y，即可求出x的值；
（2）先把方程的左边因式分解，得出x－（3）＝0，x＋（2）＝0，再求出x的值即可．
解：（1）（x＋2）2＋6（x＋2）－91＝O；
设x＋2＝y，则原方程可变形为：
y2＋6y－91＝0，
解得：y1＝7，y2＝－13，
当y1＝7时，x＋2＝7，
x1＝5，
当y2＝－13时，x＋2＝－13，
x2＝－15；
（2）x2－（1＋2）x－30，
[x－（3）][x＋（2）]＝0，
x－（3）＝0，x＋（2）＝0，
x1＝3，x2＝－2．
【点评】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元法是把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
12．当x为何值时，代数式5x2－x的值与4x－2的值互为相反数．
【思路点拔】代数式5x2－x的值与4x－2的值互为相反数，则两代数式的和为0，解方程可得结论．
解：∵代数式5x2－x的值与4x－2的值互为相反数，
∴5x2－x＋4x－2＝0，
整理得，5x2＋3x－2＝0，
∵Δ＝32－4×5×（－2）＝49＞0，
∴x，
∴x1＝－1，x2．
即x＝－1或时，代数式5x2－x的值与4x－2的值互为相反数．
【点评】本题考查解一元二次方程－公式法，解题的关键是掌握公式法的步骤，属于中考常考题型．
13．观察以下方程：①3x2－7x－15＝0；②2x2＋10x－9＝0；③x2＋5x＋6＝0；④4x2－3x＋11＝0，解答下列问题：
（1）上面的四个方程有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示出这个特点；
（2）请你写出符合这个条件的一元二次方程的一般形式．
【思路点拔】（1）观察得出①③④的一次项系数都为奇数；
（2）写出符合这个条件的一元二次方程的一般形式即可．
解：（1）上面的四个方程有三个方程①③④的一次项系数有共同特点为一次项系数为奇数2n＋1（n是整数）；
（2）ax2＋（2n＋1）x＋c＝0．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
延伸探究
14．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD，则AD的长就是所求方程的解．
（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．
（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
【思路点拔】（1）先根据勾股定理求得AB的长，再求AD的长．
（2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．
解：（1）∵∠C＝90°，BC，AC＝b，
∴AB，
∴AD；
（2）用求根公式求得：；（2分）
正确性：AD的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．（2分）
【点评】本题考查了一元二次方程的解法－公式法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可．
15．为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
（1）解不等式组：；
（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2－2x－m＝0．
【思路点拔】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根据（1）中不等式的解集得出m的一个值，求出x的值即可．
解：（1）由①得，x＜4，由②得，x＞1，
故不等式组的解集为：1＜x＜4；
（2）由（1）知1＜x＜4，
∴令m＝2，
则方程变为x2－2x－2＝0，
∵Δ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，
∴x1±，
∴x1＝1，x2＝1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是解一元二次方程及解一元一次不等式组，先根据题意得出x的取值范围是解题的关键．
