22.3 实际问题与二次函数 学案（含答案）2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数
第 1 课时 几何图形的最大面积
要点归纳
知识要点 几何图形的最大面积
1.求几何图形最大面积的方法：利用平面图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数解析式，并利用二次函数的图象和性质确定最大(小)值.
2.求几何图形最大面积的一般步骤：①利用题目中的已知条件和学过的有关公式列出关系式；②把关系式转化为二次函数解析式(通常是面积或体积关于边长的二次函数)；③结合实际意义，确定自变量的取值范围；④求二次函数的最值.
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1.用长度一定的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长x(m)与面积y(m )满足函数关系式 则该矩形面积的最大值为 .
2.已知一个直角三角形两直角边的和为30，则 这 个 直 角 三 角 形 面 积 的 最 大 值 为
3.如图，用10 m长的篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形种植园，则种植园的最大面积为 m .
4.如图，B 是长度为 1 的线段 AE 上任意一点，在 AE 的同一侧分别作正方形ABCD和矩形BEFG,且 当 x= 时，正方形 ABCD 的面积与矩形BEFG 的面积和最小.
5.如图，某养殖户利用一面长 20m 的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m 宽的门.墙厚度忽略不计,新建墙总长34m,设AB 的长为xm,养殖房的总面积为S m .
(1)求 S 关于x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；
(2)求养殖房的最大面积.
第 2 课时 商品利润最大问题
要点归纳
知识要点 商品利润最大问题
内容 运用策略
商品利润最大问题 此类问题一般是先运用“总利润═总售价—总成本”或“总利润=每件商品的利润×销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式(二次函数)，再根据二次函数求最值的方法，即可求出最大利润. 常见的关系式： ①商品利润=商品售价—商品进价； ②商品利润、进价、利润率之间的关系：商品利润÷商品进价=商品利润率； ③标价=进价×(1+提高率); ④实际售价=标价×打折率.
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1.某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足 y= ，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是 ( )
A.1558元 B.1550 元
C.1508 元 D.20元
2.某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理小明经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与销售单价 x(元)之间满足函数关系式 y=--5x+550.若设该商品每月所获利润为ω(元)，则ω 与x 之间化简后的函数关系式为 ，w 的最大值为 .
3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x≤30,且 x 为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大，每件的售价应为 元.
4.一件工艺品进价为100元,以标价 135元售出,每天可售出 100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可以多售出4 件.要使日利润最大，则每件应降价 元.
5.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销市内外.现有一个产品销售点在经销时发现：若每箱产品盈利 10 元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱.若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高
第 3 课时 拱桥问题和运动中的抛物线
要点归纳
知识要点拱桥问题和运动中的抛物线
常见情形 具体方法
抛物线形实物问题 几种常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形门窗、高脚杯等. (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到平面直角坐标系中； (2)从已知条件中获得求二次函数解析式所需要的条件； (3)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (4)根据所求出的抛物线解析式去解决相关问题.
运 动 路 线(轨迹)问题 运动员空中跳跃轨迹、球类飞行的轨迹、喷头喷出的水的轨迹等.
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1.一足球被踢出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数解析式：h= 则当足球距离地面的高度最大时，飞行时间为 ( )
A.2 秒 B.3 秒 C.4 秒 D.5 秒
2.如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，若以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系，则其解析式为 .
3.如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线 铅球落在A 点处,则OA= 米.
4.某桥洞呈抛物线形状，它的截面在平面直角坐标系中如图所示，现测得水面宽AB=16 m,桥洞顶点 O 到水面距离为16m,当水面上升 7 m时,水面宽 CD为 m.
5.从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是
(1)当小球的高度是 8.4m 时，求此时小球的运动时间；
(2)求小球运动的最大高度.
22.3 实际问题与二次函数
第 1 课时 几何图形的最大面积当堂检测
1.144 m 2.112.5 3.12.5 4.
5.解:(1)S=x(34-3x+2)=x(36-3x)= 易知0<34-3x≤20-2,解得
(2)由( 可得S=--3(x- 当x=6时,S 有最大值，最大值为 108.∴养殖房的最大面积为108 m .
第 2 课时 商品利润最大问题当堂检测
1 03.25 4.5
5.解：设每箱产品涨价 x 元时，利润为 y 元，则y=(50-2x)(10+x)=-2x +30x+500,当 时,y最大.
答：每箱产品应涨价7.5元才能获利最高.第 3 课时 拱桥问题和运动中的抛物线当堂检测
3.7 4.12
5.解:(1)由题意可得 解得t =1.2,t =2.8.∵0≤t≤4,∴t =1.2,t =2.8都符合题意.
答:当小球的运动时间为 1.2 s或2.8s时,它的高度是8.4 m.
∴当t=2时，h 取最大值.即当小球的运动时间为2s时，小球运动的最大高度是10 m.