24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 学案（含答案）2024—2025学年人教版数学九年级上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
要点归纳
知识要点 点和圆的位置关系
内容 运用策略
点和圆的位置关系 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r,则有: 点在圆内 d ________r; 点在圆上 d ________r; 点在圆外 d ________r. 判断点和圆的位置关系的方法：首先计算出点到圆心的距离，再将这个距离与圆的半径进行比较.
确定圆的条件 ____________的三个点确定一个圆. 确定圆需要两个条件：一是圆心，二是半径.
三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的________. 找外心的方法：作三角形两边的垂直平分线，其交点即为该三角形的外心.
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当堂检测 (建议用时：10分钟)
1.已知⊙O的半径为4,线段OP=4,则点 P与⊙O的位置关系是 ( )
A.点 P 在⊙O 外 B.点 P 在⊙O 内
C.点 P 在⊙O 上 D.不能确定
2.已知⊙O 的直径为 10 cm,点 P 不在⊙O外,则OP 的长 ( )
A.小于 5cm B.不大于 5cm
C.小于 10cm D.不大于 10cm
3.在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC =5,BC=12,则 Rt△ABC 的外接圆的半径长为 .
4.如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点 A、B、C(网格小正方形的边长为1).
(1)请写出该圆弧所在圆的圆心 P 的坐标为 ,⊙P 的半径为 (结果保留根号)；
(2)判断点 M(--1,1)与⊙P 的位置关系:
5.如图,已知矩形 ABCD 的边AB=3 cm,BC=4cm,以点 A 为圆心,4 cm为半径作⊙A,则点 B,C,D 与⊙A 有怎样的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第 1 课时 直线和圆的位置关系
知识要点 直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数 ________个 ________个 ________个
圆心到直线的距离d 与半径r 的关系 d________r d________r d________r
运用策略 当无法确定直线和圆有几个公共点时，通常将直线与圆的位置关系转化为点与圆的位置关系，即过圆心作直线的垂线，计算垂线段的长度，再与圆的半径进行比较即可.
当堂检测 (建议用时：15分钟)
1.已知⊙O的半径是 6 cm,点 O 到直线 l 的距离为 7 cm,则直线 l 与⊙O 的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.已知⊙O的半径为5,直线 AB 与⊙O有公共点，则点 O到直线AB 的距离可能为( )
A.5.5 B.6 C.4.5 D.7
3.已知⊙O 的半径为 3,M 为直线 AB 上一点,若MO=3,则直线 AB 与⊙O 的位置关系为 ( )
A.相切 B.相交
C.相切或相离 D.相切或相交
4.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以C 为圆心，4 为半径的圆与 AB 的位置关系为 .
5.在平面直角坐标系中，以点(3，-4)为圆心，2为半径的圆，与直线x=1的位置关系为 ·
6.如图,在△ABC 中,AB = AC = 4 cm,∠BAC=120°,以底边 BC 的中点 D 为圆心，1cm为半径的⊙D 与AB 有怎样的位置关系 若以 D 为圆心,分别以√ cm,2cm为半径的⊙D 与AB 又有怎样的位置关系
第 2 课时 切线的判定与性质
要点归纳
知识要点1 切线的判定定理
文字语言 经过半径的________并且________这条半径的直线是圆的切线. 图形
数学语言 如图,直线l⊥OA 于点A,OA 是⊙O 的半径,则直线l是⊙O 的切线.
解题策略 ①有公共点时，连半径，证垂直；②公共点不明确时，作垂直，证半径.
知识要点 2 切线的性质
切线的性质：圆的切线 过切点的半径.当图形中有切线或切点时，通常连接经过切点的半径，构造直角三角形.
当堂检测 (建议用时：15分钟
1.如图,AB 和⊙O 相切于点 B,∠AOB =60°,则∠A 的大小为 ( )
2.如图,AB 与⊙O 相切于点B,AO 的延长线交⊙O 于点 C,连接 BC.若∠A=36°,则∠C= °.
3.如图,CB 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于A 点,若⊙O 的半径长为3,PA=4,则PB= .
4.如图,已知O是∠ACB 的平分线CD 上一点,OE⊥AC于E.以点O 为圆心,OE长为半径作⊙O.求证:⊙O 与CB 相切.
5.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 O 在AB 上，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆与AC 相切于点D,交BC 于点E.求证:BD 平分∠ABC.
第 3 课时 切线长定理及三角形的内切圆
知识要点 1 切线长定理
内容 图例
切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长_______，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图,PA,PB 为⊙O 的切线,A,B 为切点,则 PA _______PB,p←∠APO=_______ _______
知识要点 2 三角形的内切圆与内心
内容 解题策略
三角形的 内切圆 与内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切 圆 的 圆 心 是 三 角 形___________的交点，叫做三角形的_______. 如图,⊙O 为 △ABC 的 内 切 圆, 则S△ABC lr(为△ABC 的周长,r 为⊙O 的半径),∠BOC=90° ∠A
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1.如图,PA,PB 是⊙O 的两条切线,切点分别是 A,B.若 AP =4,∠APB = 60°,则∠APO= °,PB= .
2.如图,已 知 点 O 是 △ABC 的内心,若∠BAC=50°,则∠BOC= °.
3.如图,直线AB、BC、CD 分别与⊙O 相切于E、F、G,且 AB∥CD,OB=6 cm,OC=8cm,则∠BOC= °,BE+CG= cm.
4.如图,在△ABC 中,AB = AC,⊙O 是△ABC 的内切圆,它与 AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F.
(1)求证:BE=CE;
(2)若∠A=90°,AB=AC=2,求⊙O 的半径.
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系
要点归纳
知识要点：< = > 不在同一条直线上外接圆
当堂检测
1. C 2. B 3.
4.(1)(2,0) (2)点 M 在圆内
5.解:连接 AC.∵AB=3 cm,BC=AD =4cm,∴AC=5cm.∵⊙A 的半径为4 cm,∴点 B 在⊙A 内,点 D 在⊙A 上,点 C 在⊙A 外.
24.2.2 直线和圆的位置关系
第 1 课时 直线和圆的位置关系
要点归纳
知识要点:2 1 0 < = >
当堂检测
1. C 2. C 3. D 4.相离 5.相切
6.解:连接 AD,作 DH⊥AB 于 H.∵AB=AC═4 cm,∠BAC═120°,D 为 BC 的中点,∴∠B=30°,AD⊥BC.∴AD=2cm.由勾股定理得 √ cm.∴以 1 cm为半径的⊙D 与 AB 相离,以√ cm为半径的⊙D 与 AB 相切,以 2cm为半径的⊙D 与AB 相交.
第 2 课时 切线的判定与性质
要点归纳
知识要点 1：外端 垂直于
知识要点2：垂直于
当堂检测
1. B 2.27 3.2
4.证 明:作 OF ⊥ BC 于 F,∵CD 平 分∠ACB,OE⊥AC,∴OE=OF.又 OE 为半径,∴⊙O 与CB 相切.
5.证明:如图,连接 OD.∵AC 为 ⊙O 的 切线,∴OD⊥AC.∴∠ODA=90°.∵∠C=90°,∴OD∥BC.∴∠2=∠3.∵OB=OD,∴∠1 =∠3.∴∠1 = ∠2.∴BD平分∠ABC.
第3课时 切线长定理及三角形的内切圆要点归纳
知识要点 1:相等 = ∠BPO ∠APB
知识要点2：三条角平分线 内心
当堂检测
1.30 4 2.115
3.(1)90 (2)10 解析:(1)根据切线长定理得 BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD = 180°. ∴∠OBF + ∠OCF = 90°.∴∠BOC=90°.(2)由(1)知∠BOC=90°.∵OB=6 cm,OC=8cm,∴由勾股定理得 BF+CF=BC=10cm.
4.(1)证明:∵⊙O 是△ABC 的内切圆,切点为D、E、F,∴AD=AF,BD=BE,CE=CF.∵AB=AC,∴AB-AD=AC--AF,即 BD=CF.∴BE=CE.
(2)解:连接OD、OF.∵⊙O是△ABC 的内切圆,切点为 D、E、F,∴∠ODA=∠OFA=∠A = 90°. ∴ 四 边 形 ODAF 是 矩 形. 又∵OD=OF,∴四边形 ODAF 是正方形.设OD=AD=AF=r,则 BE=BD=CF =CE=2-r.在△ABC中,∠A=90°,∴BC= .又∵BC= BE+CE,∴(2-r)+(2--r)=2 ,解得 ∴⊙O的半径是