苏科版九年级数学下册试题 7.2 正弦、余弦（含答案）

7.2 正弦、余弦
一．单选题
1．在中，，若，，则等于　　
A． B． C． D．
2．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下面四个等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是　　
A．的值越小，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越大，梯子越陡
D．陡缓程度与的三角函数值无关
4．已知圆锥的底面半径为，设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），且的值为，则侧面积为　　
A． B． C． D．
5．三角函数、、之间的大小关系是　　
A． B．
C． D．
6．如图，锐角内接于，点在外（与点在同侧），下列结论：①；②；③，正确的结论为　　
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，均在网格交点上，是的外接圆，则的值为　　
A． B． C． D．
二．填空题
8．已知在中，，，，　　．
9．在中，，如果，，那么等于　　．
10．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则　　．
11．如图，在等腰直角中，，点是上一点，如果，，那么的长为　　．
12．如图，在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点在第一象限内，，，则　　．
13．在直角三角形中，若，则　　．
14．如图，在中，，，，则的长为　　，的面积为　　．
15．如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　　．
16．如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转，点的对应点落在的延长线上，若，则　　．
三．解答题
17．已知，中，，，求、、、．
18．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
　　；　　；　　．
（1）观察上述等式，猜想：在中，，都有　　；
（2）如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
（3）若，且，求的值．
19．知识再现
如图1，在中，，，，的对边分别为，，．
，，
，．
．
拓展探究
如图2，在锐角中，，，的对边分别为，，．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离．
20．如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．若，，求的值
21．如图，为的直径，是延长线上一点，是的弦，，垂足为
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）过点作交于点，交于点，连接，若，，求的长．
22．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）的值为　　．
． ．1 ． ．2
（2）对于，的正对值的取值范围是　　．
（3）已知，其中为锐角，试求的值．
23．在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么
，，．
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图，在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为总是正的），然后把角的三角函数规定为：
，，，
我们知道，图1的四个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点在角的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，
（1）若，则角的三角函数值、、，其中取正值的是　　；
（2）若角的终边与直线重合，则的值；
（3）若角是钝角，其终边上一点，且，求的值；
（4）若00≤a≤900，则的取值范围是　　．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：如图，在中，．
故本题选：．
2．
【详解】解：在中，，
，，选项等式不成立；
，，选项等式成立；
，，选项等式不成立；
，，选项等式不成立．
故本题选：．
3．
【详解】解：、的值越大，梯子越陡，故不符合题意；
、的值越小，梯子越陡，故不符合题意；
、的值越大，梯子越陡，故符合题意；
、陡缓程度与的三角函数值有关，故不符合题意．
故本题选：．
4．
【详解】解：的值为，圆锥的底面半径为，
母线长为，
圆锥的侧面积．
故本题选：．
5．
【详解】解：，
又，余弦值随着角度的增大而减小，
．
故本题选：．
6．
【详解】解：如图，设交于点，连接，
，，
，
；；，
正确的结论有：①③．
故本题选：．
7．
【详解】解：如图，作直径，连接，
由勾股定理得，，
在中，，
由圆周角定理得，，
．
故本题选：．
二．填空题
8．
【详解】解：如图，
，，，
，
则．
故本题答案为：．
9．
【详解】解：如图，，，
，
故．
故本题答案为：．
10．
【详解】解：如图，
大正方形的面积是25，小正方形面积是4，
大正方形的边长，小正方形的边长，
，
．
故本题答案为：．
11．
【详解】解：在中，，，
，
，
是等腰直角三角形，，
．
故本题答案为：．
12．
【详解】解：如图，作，垂足为，
，，
，
，
点，
，
．
，
．
故本题答案为：．
13．
【详解】解：若，设，则，所以，
所以；
若，设，则，所以，
所以；
综上，的值为或．
故本题答案为：或．
14．
【详解】解：如图，过作，
在中，，，
，
在中，，
，即，
，
根据勾股定理得：；
．
故本题答案为：，．
15．
【详解】解：，，
，，，
，，
，故①正确；，故②正确；
在中，，
，故③正确；
，，
，故④正确．
故本题答案为：①②③④．
16．
【详解】解：如图，作于，
绕点按顺时针方向旋转，点对应点落在的延长线上，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
．
故本题答案为：5．
三．解答题
17．解：如图，
中，，，
，
，①
又，，，②
联立①②得：；；
又，
；．
18．解：，
，
，
故答案都为：1；
（1）猜想答案为：1；
（2）证明：，
；
（3）解：，
，
．
19．解：拓展探究
如图，作于点，于点，
在中，，
同理：，，，
，，，，
，，
；
解决问题
在中，，
，
，
，
点到点的距离为．
20．解：如图，连接，过点作于，
由作图可知，，，
，
，
，
，
，，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．解：（1）如图，连接，
为的直径，
，即，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
在中，设，则有，
，
，
是直径，
，
，
，
，
．
22．解：（1）根据正对定义，
当顶角为时，等腰三角形底角为，
则三角形为等边三角形，
则，
故本题选；
（2）当接近时，接近0，
当接近时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2，
于是的取值范围是，
故本题答案为；
（3）在中，，，
如图，在上取点，使，作，为垂足，令，，
则，
又在中，，，
，，
则在中，，，
于是在中，，，
由正对的定义可得：，即．
23．解：（1）当时，
，，，
，，，
故本题答案为：；
（2）若角的终边与直线重合，
，
，
当时，，
当时，，
的值为或；
（3），点，且，
，
，
；
（4），
，
，
∵（x-y）2≥0
∴x2+y2≥2xy，
又∵=1+≤1+1=2
∴≤，
∴1<+≤
故本题答案为：1<+≤