苏科版九年级数学下册试题 7.5 解直角三角形（含答案）

7.5 解直角三角形
一．单选题
1．在中，，，，则　　
A． B． C． D．
2．如图，中，，，的垂直平分线交于，连接，若，则的长为　　
A．8 B．6 C．4 D．2
3．如图，已知是的直径，与相切于点，连接，．若，则的值为　　
A． B． C． D．
4．已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是　　
A． B． C． D．
5．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则的值为　　
A． B． C．2 D．
6．如图，，，底边上的高为，底边上的高为，则有　　
A． B． C． D．以上都有可能
7．如图，在中，，，平分交于点，，垂足为．若，则的长为　　
A．3 B． C． D．
8．如图，中，，，，为边上一动点，且，则的长度为　　
A． B． C．5 D．
9．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，则这个正多边形为　　
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
10．如图，点，是以为直径的上的两点，分别在直径的两侧，其中点是的中点，若，，则的长为　　
A． B． C．1 D．2
11．如图，有两张矩形纸片和，，．把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角最小时，等于　　
A． B． C． D．
12．如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，联结，如果，，那么的值是　　
A．3 B．6 C．9 D．12
二．填空题
13．如图，在中，，垂足为点，若，，，则等于　　．
14．如图所示，四边形中，，，，，若，则　　．
15．如图，在正六边形外作正方形，连接，则等于　　．
16．如图，在中，，，点为边的中点，于点，连接，则的值为　　．
17．如图，在中，，点是的中点，交于点．设，且，则　　．
18．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为　　．
19．如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间的取值范围是　　秒时，是锐角三角形．
20．如图，点的坐标为，直线与坐标轴交于点，，连接，如果，则　　．
21．已知中，，，，则的面积等于　　．
三．解答题
22．如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，．
（1）求的长；
（2）求的值．
23．如图，已知在中，，垂足为点，，，，点是边的中点．
（1）求边的长；
（2）求的正弦值．
24．如图，已知在中，，是斜边上的中线，过点作，分别与、相交于点、，．
（1）求的值；
（2）如果，求的值．
25．阅读下面的材料
小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：
如果，都为锐角，且，，求的度数．
小敏是这样解决问题的：如图1，把，放在正方形网格中，使得，，且，在直线的两侧，连接，可证得是等腰三角形，因此可求得　　
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出，由此可得　 　．
26．如图，已知中，，，，以为圆心，为半径画圆，与边交于另一点．
（1）求的长；
（2）连接，求的余弦值．
27．阅读下面的材料：
（1）锐角三角函数概念：在中，，，，的对边分别是，，，称，是两个锐角，的“正弦”，特殊情况：直角的正弦值为1，即，也就是．
由，可得；由，可得，
而，于是就有
（2）其实，对于任意的锐角，上述结论仍然成立，即三角形各边与对角的正弦之比相等，我们称之为“正弦定理”，我们可以利用三角形面积公式证明其正确性．
证明：如图1作于则在中，，
，，
在中，，．
．同理可得．
因此有．
也就是．
每项都除以，得，故
请你根据对上面材料的理解，解答下列问题：
（1）在锐角中，，，，求；
（2）求问题（1）中的面积；
（3）求的值（以上均求精确值，结果带根号的保留根号）
28．如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，为上一点，且．
（1）证明：为的切线；
（2）若，，求的长．
29．如图，在中，，，过点作交于点，动点、同时出发，点从点出发沿运动到终点，速度为每秒5个单位长度，点从点出发沿运动到终点，速度为每秒个单位长度，连接，过点作，，点在的下方，设点运动的时间为秒．
（1）　　，　　．
（2）求的长（用含的代数式表示）．
（3）连接，若，求的值．
（4）连接，当的某一个内角与互余时，直接写出的值．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：如图，
在中，，，，
则，故．
故本题选：．
2．
【详解】解：在中，，
设，，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
．
故本题选：．
3．
【详解】解：是的直径，与相切于点，
，
，
，
设，，
，
，
．
故本题选：．
4．
【详解】解：如图，
的延长线于点，，
，
，，
，，
，
，
设，则，，
，得，
，
．
故本题选：．
5．
【详解】解：如图，过作于，
由图形知：，，
，
，
．
故本题选：．
6．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，
在中，，，
，
，
，
在中，，
．
故本题选：．
7．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
故本题选：．
8．
【详解】解：如图，作于点，
设长为，则，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
9．
【详解】解：如图，设是正多边形的一边，为正多边形的内切圆与外接圆的圆心，于，
正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，
，
在中，，
，
，
则正多边形边数为：．
故本题选：．
10．
【详解】解：如图，连接，连接，延长交于，
点是的中点，
，
，
设，，
在中，，
，
，
，过圆心，
．
故本题选：．
11．
【详解】解：如图，
四边形和四边形是矩形，
，，
，且，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，
设，则，
，
，
，
．
故本题选：．
12．
【详解】解：，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
又，
．
故本题选：．
二．填空题
13．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故本题答案为：2．
14．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
．
故本题答案为：．
15．
【详解】解：如图，连接，
由正六边形和正方形的性质得：、、三点共线，
设正六边形的边长为，则，
在中，，，
，
，
在中，．
故本题答案为：．
16．
【详解】解：，，
．
，
，
，
，
设的长为，
则，
点为边的中点，
，
在中，
，
，
，
在中，
．
故本题答案为：．
17．
【详解】解：如图，连接，
点是的中点，，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，设，
，，
，
，
，
．
故本题答案为：．
18．
【详解】解：如图，设的半径为，设的内接正方形，过作于，连接、，即为正方形的边心距，
四边形是正方形，是正方形的外接圆，
为正方形的中心，
，
，，
，，
；
如图，设的内接正，过作于，连接，即为正的边心距，
正是的外接圆，
，
，
．
故本题答案为：．
19．
【详解】解：如图，过作于，，交于，
则，，
，
，，
，
，，
当运动时间的取值范围是秒时，是锐角三角形．
故本题答案为：．
20．
【详解】解：直线与坐标轴交于点，，
点的坐标为，，点的坐标为，
点的坐标为，，
，
，，
，
即
解得，（舍去）．
故本题答案为：．
21．
【详解】解：如图，作交（或延长线）于点，
①如图1，当、位于异侧时，
在中，，，
，，
在中，，
，
则，
；
②如图2，当、在的同侧时，
由①知，，，
则，
；
综上，的面积是或．
故本题答案为：或．
三．解答题
22．解：（1）在中，是边上的高，
，
，，
在中，，，，
，
在中，，，，
，
，
；
（2）是边上的中线，，
，
．
23．解：（1），
、均为直角三角形．
在中，，，
，
在中，；
（2）如图，过点作，垂足为，
，，
，
又点是边的中点，
是的中位线，
，，
，
在中，，
．
24．解：（1），是斜边上的中线，
，
，
，
，
又
，即，
，
由勾股定理得，
；
（2），，
，
，，
，
，
，
，
．
25．解：如图1，把，放在正方形网格中，使得，，且，在直线的两侧，连接，可证得是等腰三角形，因此可求得；
参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出，由此可得；
故本题答案为：45；45．
26．解：（1）如图1，过点作于，
，，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，过点作于，
由（1）得：，，，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
27．解：（1），
，
；
（2）如图，作于，
在中，，
，
在中，，
，
的面积；
（3），，
，
的面积，
，
．
28.（1）证明：，
，
，
，，
，，
，
，
，
为的切线；
（2）解：如图，连接，
为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故的长为．
29.解：（1），
，，
，
，
，
，
，
故本题答案为：6，；
（2）设点运动的时间为秒，
则，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）若，则有点落在上，
易得四边形是平行四边形，，
则，
，解得：；
（4）如图，连接，
分三种情况讨论：
①第一种情况，当时，，
，
此种情况不成立；
②第二种情况，当时，，
，
，
则有，
，，
，解得：；
③第三种情况，当，，
，
，
则有，
，，
，解得：，
综上，的值为或．