苏科版九年级数学下册试题 7.6 用锐角三角函数解决问题（含答案）

7.6 用锐角三角函数解决问题
一．单选题
1．小明沿斜坡上行，其上升的垂直高度为20米，则斜坡的坡度　　
A． B． C． D．
2．小明沿着坡度为的直路向上走了，则他沿垂直方向升高了　　
A．50 B．100 C．25 D．
3．如图，某堤坝的坝高为4米，若迎水坡的坡度为，则该大坝迎水坡的长度为　　
A．米 B．3米 C．米 D．5米
4．如图，要测量山高，可以把山坡“化整为零”地划分为和两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长，，测得坡角，，则山高为　　
A． B． C． D．
5．如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的长度为米，则斜坡的长度为　　
A．米 B．米 C．米 D．24米
6．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为　　
A．米 B．12米 C．米 D．10米
7．如图，小王在高台上的点处测得塔底点的俯角为，塔顶点的仰角为，已知塔的水平距离，则此时塔高的长为　　
A． B．
C． D．
8．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为　　米．（参考数据：，，
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
9．如图，在岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西向东航行到处时，发现岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向，为航行安全，需要计算到的距离．下列算法正确的是　　
A． B． C． D．
10．如图，点到点的距离为200米，要测量河对岸点到河岸的距离．小明在点测得在北偏东的方向上，在点测得在北偏东的方向上，则点到河岸的距离为　　
A．100米 B．200米 C．米 D．米
11．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点与的距离分别是　　
A．海里，海里 B．海里，海里
C．海里，海里 D．海里，海里
二．填空题
12．一个斜坡的坡度是，则这个斜坡的坡角等于　　．
13．若某人沿坡度的斜坡前进，则他所在的位置比原来的位置升高　　．
14．2022年北京第24届冬季奥运会刚刚圆满结束，很多学校都开展了冰雪项目学习，如图，滑雪轨道由、两部分组成，、的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由点滑到了点，若与水平面的夹角为，与水平面的夹角为，则他下降的高度为　　米（结果保留根号）
15．东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环．小亮在如意桥上看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面的处测得在处的游艇俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的游艇俯角为，则两次观测期间游艇前进了　　米．
（结果精确到，参考数据：，，，
16．如图，热气球位于观测塔北偏西方向，距离观测塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔南偏西方向的处，这时，处与观测塔相距
　　．（结果保留整数，参考数据：，，，，，
三．解答题
17．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为．
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的左侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．
18．如图，某公路紧邻一个山坡，坡面与地平面平行，斜坡米，坡比，为防止山体滑坡，有关单位准备对斜坡进行改造，将斜坡改为，坡度为，请求出的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，
19．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到，参考数据：，
20．交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）．
（1）求，两点之间的距离（结果精确到；
（2）若该隧道限速，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，
21．在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度．研究表明：当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角，即望向屏幕中心的视线与水平线的夹角时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时（如图，观看屏幕最舒适，此时测得，，液晶显示屏的宽为．
（1）求眼睛与显示屏顶端的水平距离；
（2）求显示屏顶端与底座的距离．（参考数据：，
22．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋项的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，
（1）求屋项到横梁的距离；
（2）求房屋的高．
23．如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树的高度，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，朝大树方向下坡走6米到达坡底处，在处测得大树顶端的仰角是．若斜坡的坡比，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，
24．小明和好朋友一起旅游．他们租住的宾馆坐落在坡度为的斜坡上．宾馆高为129米．小明在宾馆顶楼的海景房处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像（雕像的高度忽略不计），已知雕像距离海岸线的距离为260米，与宾馆的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船的俯角为．
（1）求的长度；
（2）求轮船距离海岸线的距离的长．（参考数据：，
25．如图，一艘渔船位于观测站的北偏东方向的点处，它沿着点的正南方向航行，航行15海里后，观察站测得该渔船位于南偏东方向的点处．
（1）求证：；
（2）若渔船从点处继续按着原方向航行海里后到达点时突然发生事故，渔船马上向观测站处的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点的航程最短？
（参考数据：，
26．如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港，途经渤海海域处时，葫芦岛军港的中国海军发现点在南偏东方向上，旅顺军港的中国海军发现点在正西方向上．已知军港在军港的北偏西方向，且、两地相距120海里．（计算结果保留根号）
（1）求出此时点到军港的距离；
（2）若“昆明舰”从处沿方向向军港驶去，当到达点时，测得军港在的南偏东的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离．
27．如图，在某海域内有三个港口、、．港口在港口北偏东方向上，港口在港口北偏西方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东的方向驶离港口3小时后到达点位置处，测得港口在处的南偏东方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．
（1）试判断此时哪个港口离处最近，说明理由，并求出最近距离．
（2）若海水以每小时48吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？
28．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点沿滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知压柄的长度为，，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角时，如图①点从点滑动了，求连接杆的长度；
（2）当压柄从（1）中的位置旋转到与底座的夹角，如图②．求这个过程中点滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：，．
29．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？
（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
（参考数据：，，
答案
一．单选题
1．
【详解】解：由题意得：，，，
，
在中，由勾股定理得：，
斜坡的坡度，
故本题选：．
2．
【详解】解：设斜坡的坡角为，
则，
，
他沿垂直方向升高的高度为：，
故本题选：．
3．
【详解】解：如图，过点作垂直于水平面于点，
，
，
（米，
（米，
即该大坝迎水坡的长度为5米，
故本题选：．
4．
【详解】解：如图，由题意可知，四边形为矩形，
，
在中，，，
则，
，
在中，，，
，
，
故本题选：．
5．
【详解】解：如图，过作于，过作于，
则四边形是矩形，
，
背水坡的坡比，米，
（米，
米，
又斜坡的坡比，
（米，
（米，
故本题选：．
6．
【详解】解：如图，延长交延长线于点，作于，则，
在中，，，
（米，（米，
在中，
同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
即（米，，
（米，
（米，
在中，米，
故本题选：．
7．
【详解】解：，，
在中有，，
在中有，，
，
故本题选：．
8．
【详解】解：由题意可得：四边形是矩形，
米，
中，，
米，
米，
的坡度为，
，，
，
故本题选：．
9．
【详解】解：由题意可得：轴，
，
，
即，
，
故本题选：．
10．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
由题意得：，，
，
，
米，
在中，（米，
点到河岸的距离为米，
故本题选：．
11．
【详解】解：如图，过点作于，在上取一点，
使，
则，，
，
，
，
，
，，，
设海里，则海里，海里，
，
，解得：，
海里，海里，
（海里），
故本题选：．
二．填空题
12．
【详解】解：设这个斜坡的坡角为，
由题意得：，
，
故本题答案为：30．
13．
【详解】解：如图，
设，，
则，
，
，
故所在的位置比原来的位置升高了，
故本题答案为：10．
14．
【详解】解：如图，过点作水平面于点，过点作水平面于点，于，
则四边形为矩形，
，
在中，，米，
则米，
在中，，
米，
他下降的高度为：米，
故本题答案为：．
15．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，，，
在中，，解得：，
在中，，解得：，
，
答：两次观测期间游艇前进了约．
16．
【详解】解：由已知得：，，，
在中，，
，
在中，，
，
答：这时，处距离观测塔约有，
故本题答案为：128．
三．解答题
17．解：（1）在中，，
，
在中，，
，
答：新传送带的长度为；
（2）在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
货物需要挪走．
18．解：如图，作于，于，则四边形是矩形，
设米，
斜坡的坡比，
米，
由勾股定理得：，即，解得：，
（米，（米，
米，，
在中，，
（米，
（米，
答：的长约为4.4米．
19．解：如图，连接，作于点，
，，分别垂直平分踏步，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，，
，，
该中学楼梯踏步的高度符合规定，
，，
该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
20．解：（1）由题意得：
，，米，
在中，米，
（米，
在中，米，
（米，
（米，
，两点之间的距离约为760米；
（2）小汽车从点行驶到点没有超速，理由如下：
由题意得：米秒，
米秒米秒，
小汽车从点行驶到点没有超速．
21．解：（1）由已知得：，
在中，，，
，
答：眼睛与显示屏顶端的水平距离约为；
（2）如图2，过点作于点，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
答：显示屏顶端与底座的距离约为．
22．解：（1）房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，米，
（米；
答：屋顶到横梁的距离约为4.2米；
（2）如图，过作于，
设米，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
米，
，解得：，
（米，
答：房屋的高约为15.4米．
23．解：如图，过点作于点，于点，
则四边形是矩形，
，斜坡的坡比，
，，
设大树的高度为，
在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，
，
，
，
在中，，
，解得：．
答：树高约13米．
24．解：（1）如图，延长交的延长线于点，过点作，垂足为，
由题意得：米，，
斜坡坡度为，
，
米，
在中，（米，
的长度为39米；
（2）如图，过点作，
由题意得：，
，
米，米，
米，
斜坡坡度为，
，
设米，则米，
（米，
，
，
（米，（米，
米，
（米，
在中，（米，
（米，
轮船距离海岸线的距离的长约为212米．
25．（1）证明：由题意得，，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于，
在中，，，，
（海里），（海里），
（海里），
海里，
（海里），
，即，
，
答：救援队从处出发沿着南偏东方向航行到达事故地点的航程最短．
26．解：（1）如图，延长，过点作延长线于点，
由题意可得：，海里，
则海里，
，
即，
（海里），
即此时点到军港的距离为海里；
（2）如图，过点作于点，
由（1）得：海里，海里，
，
，
，
，
，
，
即平分，
，
设，则，，
，，
，
，
，解得：，
海里，
即此时“昆明舰”的航行距离为海里．
27．解：（1）如图，连接、、、，过作于点，
由已知得：，，（海里），
从而（海里），
港口在处的南偏东方向上，
．在等腰中，（海里），
．
是△，
，
综上，可得港口离点位置最近，为海里；
（2）设由驶向港口船的速度为每小时海里，
则据题意有，
解不等式，得（海里），
答：此船应以速度至少不低于每小时海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．
28．解：（1）如图①，作于，
在中，，，，
，，
，．
，，
，
，
答：连接杆的长度为；
（2）如图②，作的延长线于点，
，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
点滑动的距离为：，
答：这个过程中点滑动的距离为．
29．解：（1）如图1，连接，
由题意，筒车每秒旋转，
在中，，
，
（秒，
答：经过27.4秒时间，盛水筒首次到达最高点；
（2）如图2，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时，
，
过点作于，
在中，，
，
答：浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面；
（3）如图3，
点在上，且与相切，
当点在上时，此时点是切点，连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
需要的时间为（秒，
答：盛水筒从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线上．