沪科版九年级数学上册试题 21.1-21.4 二次函数 复习题（含答案）

21.1-21.4《二次函数》复习题
一、单选题
1．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
2．抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
3．已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．（为实数）
4．在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
6．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
8．已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
10．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（ ）

①， ②， ③当线段长取最小值时，则的面积为
④若点，则
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
12．一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
13．二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
14．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
15．已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
16．已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ．
17．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是 ．
18．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．

三、解答题
19．如图，已知二次函数图象经过点和．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
20．设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若，求二次函数的表达式；
（2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
21．已知点和在二次函数是常数，的图像上．
（1）当时，求和的值；
（2）若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；
（3）求证：．
22．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
23．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
24．某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润（售价成本）产销数量专利费】
答案
一、单选题
1．B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
2．D
【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
解：抛物线与直线交于，两点，
，
．
，
∵，
．
当，时，直线经过第一、三、四象限，
当，时，直线经过第一、二、四象限，
综上所述，一定经过一、四象限．
故选：D．
3．C
【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线可得，，由此即可判断A；根据对称性可得当时，，当时，，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的最小值为，由此即可判断D．
解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故A中结论错误，不符合题意；
∵当时，，抛物线对称轴为直线，
∴当时，，
∴，故B中结论错误，不符合题意；
∵当时，，抛物线对称轴为直线，
∴当时，，
∴，
又∵，
∴，故C中结论正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为，
∴，
∴，故D中结论错误，不符合题意；
故选C．
4．C
【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．
解：解不等式组可得:，且
所以对称轴的取值范围在，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，
即根据增减性可得，
故选C．
5．D
【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．
解：∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上
∴点在抛物线上
故选：D
6．D
【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
解：由题意可得：三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，和至少有一个交点，
令，整理得：，
则，解得，
，
∴，
∴或
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上，c的取值范围是，
故选：D．
7．A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
解：令，则，
解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为．
故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，
把代入，得，
∵
∴当，时，y有最小值，最小值为，
故C、D错误，
故选：A．
8．B
【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，
∴分别是A、B、C、D的横坐标，
∴，
故选B．

9．B
【分析】根据点在第四象限，得出，进而根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
解：点在第四象限，
，
，
方程的判别式，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
10．C
【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．
解：直线与抛物线交于、两点，
∴，
整理得：，
∴，
∴正确；
∵，
解得：，，
∴，，
∴；
∴正确；
∵，
当时，即轴时，有最小值，
∴，
∴；
∴正确；
当点时，假设，则：
是直角三角形，
取的中点为点，连接，
∴，
∵，
∴，，
∴点，
∴点，
∵点，
∴，
∴时，，
即与不一定垂直；
∴错误；
∴正确的为：．
故选：C．

二、填空题
11．
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，
∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案为：．
12．y=-x2+1（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．
解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，
∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是y=-x2+1（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
13．（答案不唯一）
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，
即二元一次方程的根为、，
由根与系数的关系得：，，
一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，
，为异号，
，
故答案为：（答案不唯一）．
14．
【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．
解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
15．
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当a≤x≤时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：
16．8
【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。
解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8．
17．或
【分析】根据抛物线求出对称轴，轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，分两种情况讨论：当时，当时，利用抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，即可求解．
解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，解得（舍去），
当，抛物线与线段只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则，解得，
当时，且抛物线过点时，
，解得，
当抛物线过点时，
解得，m=-1
由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，
，
综上所述，的取值范围为或，
故答案为或．
18．
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
解：如图所示：

当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即
解得，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，
故答案为：．
三、解答题
19．
（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）当时，，
∴
解得：，，

如图，当时，
∴．
20．
（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，在图象上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，则时，随的增大而减小，
当时，则时，随的增大而减小．
（3）解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴，解得：．
21．
（1）解：当时，图像过点和，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）解：∵函数图像过点和，
∴函数图像的对称轴为直线．
∵图像过点，
∴根据图像的对称性得．
∵，
∴．
（3）解：∵图像过点和，
∴根据图像的对称性得．
∴，顶点坐标为．
将点和分别代人表达式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
22．
（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．

∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
23．
（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
24．
（1）解：由题意得，，
（2）解：∵，
∴，
∴随x增大而增大，
∴当时，最大，最大为元；
，
∵，
∴当时，随x增大而增大，
∴当时，最大，最大为元；
（3）解：当，即时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；
当，即时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；
当，即时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润；
综上所述，当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润．