沪科版九年级数学上册试题 第22章《相似形》单元测试卷（含答案详解）

第22章《相似形》单元测试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
2．如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（ ）

A． B． C． D．
3．将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图，点D是△ABC中AB边上靠近A点的四等分点，即4AD＝AB，连接CD，F是AC上一点，连接BF与CD交于点E，点E恰好是CD的中点，若S△ABC＝8，则四边形ADEF的面积是（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，画使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是（ ）

A． B． C．或 D．或
6．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
8．如图，四边形是矩形，平分，，、的延长线交于点，连接，连接交于点．下列结论错误的是（ ）

A．图中共有三个等腰直角三角形 B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点，点B是线段上任意一点，在射线上取一点C，使，在射线上取一点D，使．所在直线的关系式为，点F、G分别为线段的中点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．4．8
10．如图所示，正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形，连接，．已知正方形与正方形面积之比为，若，则（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知，且，则 ．
12．在中，M，N分别是BC，AC边上一点，连接AM，BN交于点P，若，，则 ．
13．正方形中，E，F分别是，上的点，连结交对角线于点G，若恰好平分，，则的值为 ．
14．宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝ ．
15．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，垂足为E，F是的中点，连接交于点P，那么 ．
16．如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为 ．

17．如图：等腰直角三角形中，E为边上一点，．将沿着翻折得到线段，连接，若，则 ．

18．如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．

三、解答题
19．（8分）如图，，于点D，M是的中点，交于点P，．若，求的长．

20．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
21．（10分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．
22．（10分）如图1，在，，，D为上一点，连接，分别过点A、B作于点N，于点M．
（1）求证：；
（2）若点D满足，求的长；
（3）如图2，若点E为中点，连接，求证：．

图1 图2
23．（10分）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且，线段、的长是一元二次方程的两个根，且.
（1）求点A、点的坐标；
（2）求点的坐标；
（3）若直线过点A交线段于点，且，求点坐标；
（4）在平面内是否存在一点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
一、单选题
1．A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20 x，则，即可求解．
解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20 x，
∴，
∴（20 x）2＝20x，
故选：A．
2．A
【分析】过点F作交AC于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得．
解：过点F作交AC于点G,
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵,
∴．
∴．
设，则，
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
故选：A
3．B
【分析】设交于点，由，得三角形BCM为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC为x，可得MA为，再由平行线分线段成比例求解．
解：设交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
三角形为等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，设长为，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．D
【分析】过D点作DG∥EF，连接AE，，GF＝FC，再计算△ADE和△AEF的面积即可．
解：过D点作DG∥EF，连接AE，
∵点E恰好是CD的中点，4AD＝AB，
∴，GF＝FC，
设AG＝k，则AF＝4k，GF＝3k，FC＝3k，
∴，
∵，S△ABC＝8，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴＝．
故选：D．
5．C
【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可．
解：如图所示，当和在原点同侧时，
∵与的相似比为2，，
∴，即；
如图所示，当和在原点两侧时，
∵与的相似比为2，，
∴，即；
综上所述，或，
故选C．

6．A
【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．
解：、，，
∴，
，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，
点是的中点，
，
，
，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
7．D
【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．
解：∵点为平面内一动点，，
∴点在以点为圆心，为半径的上，
在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴轴，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
解得，
同理可得，，
∴即，
解得，
∴，
∴当线段取最大值时，点的坐标是，
故选D．
8．A
【分析】根据矩形的性质以及角平分线的性质得，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，由证明，可得，，则，是等腰直角三角形，由，可得，由三角形外角的性质可得，证明，列比例式并结合等量代换可得．
解：如图：

四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，故A错误；
，
，
，
，故B正确；
，
，故D正确；
，
，，
，
，故C正确．
故选：A．
9．A
【分析】如图所示，连接，设射线交射线于H，过点H作于M，连接，先根据三线合一定理得到，，进而证明四边形是矩形，得到，，故当点B与点M重合时，最小，即最小，最小值为，设，则，求出，证明，利用相似三角形的性质求出或（舍去），则的最小值为．
解：如图所示，连接，设射线交射线于H，过点H作于M，连接，
∵，，点F、G分别为线段的中点，
∴，，
∵，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴当最小时，最小，
∴当点B与点M重合时，最小，即最小，最小值为，
∵点H在直线上，
∴可设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴的最小值为，
故选A．

10．A
【分析】设，，则，根据正方形与正方形面积之比为，得到，求出，作交于点M，作交于点P，证明出，设，则然后利用相似三角形的性质得到，然后解方程求解即可．
解：由题意可得，
∴设，，则，
∵，
∴，
∵正方形与正方形面积之比为，
∴，即，
∴整理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
如图所示，作交于点M，作交于点P，

由题意可得，，
∵，
∴四边形，是矩形，
∴，，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴整理得，
∴，
∴解得或（舍去），
∴．
故选：A．
二、填空题
11．30
【分析】设，，，根据得到，求得，从而得出，，，代入进行计算即可．
解：，
设，，，
，
，
解得：，
，，，
，
故答案为：30．
12．
【分析】过点M作，交于点Q，根据平行线分线段成比例可得，设，求出，即可求解．
解：过点M作，交于点Q，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
故答案为：．
13．或4
【分析】延长交于R，作于T，不妨设，，，可证得是等腰三角形，可推出，进而表示出，然后解，从而求出x的值，进而可得结果．
解：如图，延长交于R，作于T，
，
不妨设，，则，设，
四边形是正方形，
，，
，，，
，
恰好平分，
，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得，
解得，，
或，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，或4，
故答案为：或4．
14．
【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．
解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴，
∴，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=AF=，
∴DF=AD -AF=，
故答案为：．
15．
【分析】根据矩形性质得到，利用三角形的三线合一得，过O作交于点Q，则有，，计算即可．
解：∵是矩形，
∴，
∵F是的中点，
∴，
又∵，
∴，
过O作交于点Q，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】证明，，由相似三角形的性质得出 ， ，设， 可得，， 从而可得出答案．
解：∵四边形为正方形， ，
∴，，
∴，，
∴， ，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为 ．
17．2
【分析】如图，作，使，连接，，交于，过作于，可得，，，证明，可得，求解，，可得，，由对折可得：，，，，证明，可得，再证明，可得，，则有，，求解，可得，证明，从而可得答案．
解：∵等腰直角三角形，，
∴，，
如图，作，使，连接，，交于，过作于，

∵等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
由对折可得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2
18．10
【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．
解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，

易知四边形、、为矩形，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设两点运动时间为，则，，
则有，即，
∵，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
作点关于直线的对称点，如图，
则，，
由轴对称的性质可得，
当三点共线时，的值最小，即取最小值，
此时，在中，，
∴的最小值为．
故答案为：10．
三、解答题
19．
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点M是线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．
解：（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∴∠ACD+∠BDC=90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∵PD⊥AD，
∴∠ADC+∠PDC=90°，
∴∠BDC=∠PDC；
（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，
∵∠BDC=∠PDC，
∴CE=CM，
∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，
∴△CPM∽△APD，
∴=，
设CM=CE=x，
∵CE：CP=2：3，
∴PC=x，
∵AB=AD=AC=1，
∴=，
解得：x=，
故AE=1-=．
21．
解：如图，过点D作，交AE于点F，过点F作，垂足为点G.
由题意得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
答：塔高AB为24m.
22．
解：（1）证明：∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设，则，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴（负根已经舍去），
∴，，
∴，
∴；
（3）解：延长，相交于点H，

∵E为的中点，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又
∴，
∴，
∴．
23．
解：（1）证明：∵是正方形的对角线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
24．
（1）解：∵，
∴．
∴．
∵点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，
∴A点坐标为，B点坐标为，
（2）∵A点坐标为，B点坐标为，
∴，
设点C的坐标为，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴点C的坐标是；
（3）过点D作轴于点E，轴于点F，如图，

则，
∴，，
∵，
∴．
∴；，
∵，，
∴；，
解得．
∴．
（4）解：存在，求解过程如下：
设，由题意可得：，，，，，
当时，，
即，，
解得，或，
即点坐标为或，
当时，，
即，，
解得或，
即点坐标为或，
综上可知，满足条件的P点为：或或或