沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》单元检测卷（含答案详解）
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学上册试题 第23章《解直角三角形》单元检测卷（含答案详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1007.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-04 16:36:30 | ||
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文档简介
第23章《解直角三角形》单元检测卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在锐角中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，为第一象限内一点，且．将沿轴向右平移得到与交于点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，距离地面高m米的A处，用测倾仪测得树顶端C点的仰角为，测得树底端D点的俯角为，则树的高为（ ）米．
A． B． C． D．
9．如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）
A．km B．km C．km D．km
10．（数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A．80 B．64 C．36 D．18
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ．
13．在△ABC中，（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝ ．
14．比较大小： （填“”“”）．
15．如图，的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则的值为 ．
16． 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .
17．如图，某商场自动扶梯长为15米，若扶梯顶端B到地面距离是7.5米，则该扶梯的坡度是 ．
18．某校无人机社团的同学用无人机测量学校旗杆的高度，组员操作无人机飞至离地面高度为25米的A处时，测得旗杆的顶端B的俯角为，然后操控无人机水平方向飞行20米至旗杆另一侧D处时，测得旗杆的顶端B的俯角为，已知A，B，C，D在同一平面内，则旗杆的高度为 米．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
（1）； （2）．
20．（8分）先化简，再求代数式的值，其中．
21．（10分）如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B．，．
（1）求直线的解析式；
（2）若点C在x轴上方的直线上，的面积为15，求．
22．（10分）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．
23．（10分）如图，、是两座现代化城市，是一个古城遗址，城在城的北偏东，在城的北偏西，城在城的正东方向，且城与城相距120千米，现在、两城市修建一条笔直的高速公路．
（1）请你计算公路的长度（结果保留根号）；
（2）若以为圆心，以60千米为半径的圆形区域内为古迹和地下文物保护区，请你分析公路会不会穿越这个保护区，并说明理由．
24．（12分）如图，，斜坡的长为米，坡度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，点到旗杆底部的距离为米．
（1）求斜坡的坡角的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度的长．（结果精确到0.1米）
答案
一、单选题
1．B
【分析】分别计算三角函数值、零指数幂，化简绝对值，再进行加减即可．
解：
，
故选：B．
2．A
【分析】根据平方及绝对值的非负性可得，，由特殊角的三角函数值求得和，再由三角形内角和为即可解答；
解：∵，
∴，，
∴，，
∴在锐角中，，
故选： A；
3．D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∴．
故选D．
4．B
【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解．
解：铁球上滚的距离铁球距地面的高度，
铁球距地面的高度．
故选：B．
5．C
【分析】由，，得出，根据三角函数求出，根据平移的性质得到，求出，进而得到的长度，再根据三角形面积公式计算．
解：∵，，
∴，
∴，，
∵将沿轴向右平移得到，
∴，
∵，
∴
∴，，
∴，
∴的面积为．
故选：C．
6．B
【分析】根据题意可得，可得，再根据三角形内角和的性质，即可求解．
解：在中，，，
∴，
∴，
由题意可得：，
故选B
7．B
【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，
解：∵在中，，
∴,
∵于点，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】如图，根据题意可得，然后再解直角三角形可得，最后根据即可解答．
解：如图：过点A作于E，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴．
故选A．
9．C
【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案．
解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD -∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3×=（km），
故选择：C．
10．A
【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可．
解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故选：A．
二、填空题
11．1
【分析】根据特殊角的三角函数值计算.
解：，
，
故答案为：1.
12．60°
【分析】利用正弦定义计算即可．
解：如图，
∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
13．75°．
【分析】先根据非负数的性质确定cosA=，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．
解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，
∴cosA﹣＝0，tanB﹣1＝0，
则cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为75°．
14．
【分析】把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．
解：∵．
在锐角范围内，随的增大而增大，
∴，
∴．
故答案为：＜．
15．
【分析】根据，，，得到，推出是直角三角形，，推出．
解：如图，∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
解：过点做，过点作于，过点作于点，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当共线时，的值最小，
即的最小值为，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为．
17．
【分析】根据题意和勾股定理可以求得的长，从而可以解答本题．
解：如图所示，过点B作，
∵自动扶梯长为15米，若扶梯顶端B到地面距离是7.5米，
∴，
该扶梯的坡度是．
故答案为：．
18．
【分析】过点B作于点E，分别在和中，利用锐角三角函数，可得，，再由，可得，即可求解．
解：如图，过点B作于点E，
在中，，
∴，
在中，，
，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：
三、解答题
19．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．
解：
；
因为，
∴，
把代入，
得
21．
（1）解：，点B在y轴正半轴上，
，
，
，
点A在x轴的负半轴上，
，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为，
（2）解：如图，过点C作轴于点H，则，
，
，
点C的纵坐标为5，
点C在直线上，将代入，得，
解得
点C的横坐标为4，即，
，
，
，
．
22．
解：在菱形中，．
∵，∴．
在中，∵为中点，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
23．
解：作CD⊥AB于D点．
（1）在Rt△ACD中，
CD=AC sin60°=120×=千米，AD=AC cos60°=120×=60千米，
在Rt△BCD中，BD=CD tan45°=×1=千米，
所以AB=AD+DB=60+（km）；
（2）不可能．因为CD＝＞60，所以不可能对文物古迹造成损毁．
24．
解：（1）∵
∴
（2）作垂足为
在中，
在矩形中
在Rt△BCE中
∴
∴（米）
答：的长是米
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在锐角中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，为第一象限内一点，且．将沿轴向右平移得到与交于点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．将三角尺按如图所示的方式放置在一张矩形纸片上，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，距离地面高m米的A处，用测倾仪测得树顶端C点的仰角为，测得树底端D点的俯角为，则树的高为（ ）米．
A． B． C． D．
9．如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（ ）
A．km B．km C．km D．km
10．（数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A．80 B．64 C．36 D．18
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，则∠B＝ ．
13．在△ABC中，（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝ ．
14．比较大小： （填“”“”）．
15．如图，的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则的值为 ．
16． 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .
17．如图，某商场自动扶梯长为15米，若扶梯顶端B到地面距离是7.5米，则该扶梯的坡度是 ．
18．某校无人机社团的同学用无人机测量学校旗杆的高度，组员操作无人机飞至离地面高度为25米的A处时，测得旗杆的顶端B的俯角为，然后操控无人机水平方向飞行20米至旗杆另一侧D处时，测得旗杆的顶端B的俯角为，已知A，B，C，D在同一平面内，则旗杆的高度为 米．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
（1）； （2）．
20．（8分）先化简，再求代数式的值，其中．
21．（10分）如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B．，．
（1）求直线的解析式；
（2）若点C在x轴上方的直线上，的面积为15，求．
22．（10分）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．
23．（10分）如图，、是两座现代化城市，是一个古城遗址，城在城的北偏东，在城的北偏西，城在城的正东方向，且城与城相距120千米，现在、两城市修建一条笔直的高速公路．
（1）请你计算公路的长度（结果保留根号）；
（2）若以为圆心，以60千米为半径的圆形区域内为古迹和地下文物保护区，请你分析公路会不会穿越这个保护区，并说明理由．
24．（12分）如图，，斜坡的长为米，坡度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，点到旗杆底部的距离为米．
（1）求斜坡的坡角的度数；
（2）求旗杆顶端离地面的高度的长．（结果精确到0.1米）
答案
一、单选题
1．B
【分析】分别计算三角函数值、零指数幂，化简绝对值，再进行加减即可．
解：
，
故选：B．
2．A
【分析】根据平方及绝对值的非负性可得，，由特殊角的三角函数值求得和，再由三角形内角和为即可解答；
解：∵，
∴，，
∴，，
∴在锐角中，，
故选： A；
3．D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∴．
故选D．
4．B
【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解．
解：铁球上滚的距离铁球距地面的高度，
铁球距地面的高度．
故选：B．
5．C
【分析】由，，得出，根据三角函数求出，根据平移的性质得到，求出，进而得到的长度，再根据三角形面积公式计算．
解：∵，，
∴，
∴，，
∵将沿轴向右平移得到，
∴，
∵，
∴
∴，，
∴，
∴的面积为．
故选：C．
6．B
【分析】根据题意可得，可得，再根据三角形内角和的性质，即可求解．
解：在中，，，
∴，
∴，
由题意可得：，
故选B
7．B
【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值，
解：∵在中，，
∴,
∵于点，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】如图，根据题意可得，然后再解直角三角形可得，最后根据即可解答．
解：如图：过点A作于E，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴．
故选A．
9．C
【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案．
解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD -∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3×=（km），
故选择：C．
10．A
【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可．
解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故选：A．
二、填空题
11．1
【分析】根据特殊角的三角函数值计算.
解：，
，
故答案为：1.
12．60°
【分析】利用正弦定义计算即可．
解：如图，
∵sinB＝，
∴∠B＝60°，
故答案为：60°．
13．75°．
【分析】先根据非负数的性质确定cosA=，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．
解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，
∴cosA﹣＝0，tanB﹣1＝0，
则cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为75°．
14．
【分析】把余弦化成正弦,再通过角度大小比较正弦值的大小即可．
解：∵．
在锐角范围内，随的增大而增大，
∴，
∴．
故答案为：＜．
15．
【分析】根据，，，得到，推出是直角三角形，，推出．
解：如图，∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
解：过点做，过点作于，过点作于点，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当共线时，的值最小，
即的最小值为，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为．
17．
【分析】根据题意和勾股定理可以求得的长，从而可以解答本题．
解：如图所示，过点B作，
∵自动扶梯长为15米，若扶梯顶端B到地面距离是7.5米，
∴，
该扶梯的坡度是．
故答案为：．
18．
【分析】过点B作于点E，分别在和中，利用锐角三角函数，可得，，再由，可得，即可求解．
解：如图，过点B作于点E，
在中，，
∴，
在中，，
，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：
三、解答题
19．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．
解：
；
因为，
∴，
把代入，
得
21．
（1）解：，点B在y轴正半轴上，
，
，
，
点A在x轴的负半轴上，
，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为，
（2）解：如图，过点C作轴于点H，则，
，
，
点C的纵坐标为5，
点C在直线上，将代入，得，
解得
点C的横坐标为4，即，
，
，
，
．
22．
解：在菱形中，．
∵，∴．
在中，∵为中点，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
23．
解：作CD⊥AB于D点．
（1）在Rt△ACD中，
CD=AC sin60°=120×=千米，AD=AC cos60°=120×=60千米，
在Rt△BCD中，BD=CD tan45°=×1=千米，
所以AB=AD+DB=60+（km）；
（2）不可能．因为CD＝＞60，所以不可能对文物古迹造成损毁．
24．
解：（1）∵
∴
（2）作垂足为
在中，
在矩形中
在Rt△BCE中
∴
∴（米）
答：的长是米