沪科版九年级数学上册试题 第二十二章《相似形》章节测试卷（含答案详解）

第二十二章《相似形》章节测试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知：，，，则满足关系式的图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB,AC上，∠ADE=∠C，如果AE=4，△ADE的面积为5，四边形的面积为15，那么AB的长为（ ）.
A．8 B． C．6 D．
5．两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应高之比为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将一个矩形纸片沿、的中点E、F的连线对折，要使对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，每个小正方形的边长均为，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，矩形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，中，，，，，分别是边，上的动点，与点，，不重合），直线，垂足为，把沿直线翻折，直角顶点的对应点恰好落在直线上，则线段长的取值范围为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知三条长分别为3cm，6cm，9cm的线段，现添加一条线段a使得这四条线段成比例，则线段a的长度的所有可能值为 cm．
12．如图，在平行四边形ABCD，点E在BC上，AE、BD相交于点F，若BE=3，EC=5，BF=2.7，则FD= ．
13．如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是 .
14．已知在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F，S =5，BC=10，则DE为 .
15．如图，和是位似图形，原点O为位似中心，且．若点B的坐标为，则点的坐标为 ．

16．如图，在边长为4的正方形中，P为的中点，点Q在射线上，过点Q作于点E，连接，请探究下列问题：

（1） ；
（2）当时， ．
17．如图，在平面直角坐标中，的顶点，的横坐标分别为2和5，顶点的坐标为，直线与轴交于点，点为直线上任意一点，连接，若，则的最小值为 ．

18．如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转90°，得到，连接，交于点，则的长为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且．已知，，，求、的长．
20．（8分）如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD=AD，BE=EC．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）若CD＝CF，试求∠ABC的度数．
21．（10分）如图，直线和直线是两排树，其中点E、B、P、F、C、H、Q为每棵树所在的位置，且，，为测量这两排树之间的距离，小明先在两棵树的延长线上选取一点A，恰好发现点A、B、C在一条直线上，然后小明后退到达点D处，发现点D、E、F也在一条直线上，图中，求两排树之间的距离．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．
23．（10分）如图1，中，点C是边上一点，，点D是上一点，连接，，满足，若．
（1）求证：；
（2）探究与的数量关系，并证明：
（3）如图2，延长交于点F，求的值．
24．（12分）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据比例的性质求解即可．
解：A、∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，故B符合题意；
C、∵，
∴，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可
解：，即
A、∵，
∴，即，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，即，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，即，故此选项符合题意；
D、∵，
∴，即，故此选项不符合题意；
故选C．
3．C
【分析】A．根据中位线性质得出，根据平行线分线段成比例定理，即可判断A正确；
B．根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可判断B正确；
C．根据，，即可判断C错误；
D．根据，，即可判断D正确．
解：A．∵是的中位线，
∴，，，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，故C错误，符合题意；
D．∵，，
∴，故D正确，不符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，构建方程即可解决问题；
解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AE=4，
∴AB=8，
故选A.
5．A
【分析】利用相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求得相似多边形的相似比，再由相似多边形对应高的比等于相似比即可求得结果．
解：∵两个相似多边形的面积之比为，
∴相似比是，
又∵相似多角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为．
故选：A．
6．C
【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．
解：根据条件可知：矩形与矩形相似．
∴，
设，，则．
则，
即：
∴，
即原矩形长与宽的比为．
故选：C
7．B
【分析】根据题意可得：，，，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．
解：∵每个小正方形的边长均为，
∴，，，
A．该三角形的三边分别为：，，，但，则这个三角形与不相似，故此选项不符合题意；
B．该三角形的三边分别为：，，，且，则这个三角形与相似，故此选项符合题意；
C．该三角形的三边分别为：，，，但，则这个三角形与不相似，故此选项不符合题意；
D．该三角形的三边分别为：，，，但，则这个三角形与不相似，故此选项不符合题意．
故选：B．
8．C
【分析】过点作轴于点．首先证明，利用相似三角形的性质求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可．
解：如图，过点作轴于点．
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第1次旋转结束时，点的坐标为；
则第2次旋转结束时，点的坐标为；
则第3次旋转结束时，点的坐标为；
则第4次旋转结束时，点的坐标为；
发现规律：旋转4次一个循环，
，
则第2021次旋转结束时，点的坐标为．
故选：C．
9．A
【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．
解：、，，
∴，
，，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，
点是的中点，
，
，
，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
10．C
【分析】过点作于点，假设点与点重合时，求得，便是的上限值，假设点与点重合时，求得，便是的下限值，由此便可写出的取值范围．
解：过点作于点，
设，，，则，，，，，
，
，
，
，
，
即，

若点在点位置时，则，有，
解得，（舍，或，
若点在点位置时，则，
，与点，，不重合，
，
即线段长的取值范围为，
故选：C．
二、填空题
11．18或2或4.5．
【分析】根据四条线段成比例进行分类讨论，列出比例式，分别求出a的值即可求解．
解：依题意有：
当3：6＝9：a时，解得a＝18；
当3：6＝a：9时，解得a＝4.5；
当9：3＝6：a时，解得a＝2；
当9：3＝a：6时，解得a＝18；
当6：9＝3：a时，解得a＝4.5；
当6：9＝a：3时，解得a＝2．
故符合条件的值有3个，分别是18cm，2cm，4.5cm．
故答案为：18或2或4.5．
12．7.2
【分析】由BE=3，EC=5：可以求出BE：BC=3：8，由条件可以得出△BEF∽△DAF，可以求出BF：DF=3：8，再利用代数法就可以求出结论．
解：∵BE=3，EC=5，
∴BC=8,
∴BE：BC=3：8．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，BC∥AD，
∴BE：AD=3：8．△BEF∽△DAF，
∴BF：FD= BE：AD=3：8．
∵BF=2.7，
∴FD=7.2
故答案为7.2
13．：1
【分析】先利用勾股定理求出AC，那么AC：A′C′即是相似比．
解：由图可知：AC与A1C1是对应边，A1C1＝1，
再由勾股定理得：AC＝＝，
∴AC：A1C1＝：1，
即△ABC与△A1B1C1的相似比是：1，
故答案为：1.
14．
【分析】利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．
解：过点A作AM⊥BC于M，
由于∠B=∠ECD，且∠ADC=∠ACD，得△ABC与△FCD相似，
那么 = =4，
又S =5,那么S =20，
由于S = BC AM，BC=10，得AM=4，
此时BD=DC=5，M为DC中点，BM=7.5，
由于 ,所以DE= .
故答案为.
15．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，且．
∴位似比为，
∵点B的坐标为，且两个图形位于位似中心的异侧，
∴把点B的横纵坐标都乘以可得其位似对应点的坐标，
∴点的坐标为．
故答案为：．
16． 5
【分析】（1）由勾股定理可求解．
（2）由相似三角形的性质可求，，由平行线的性质可证，可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
解：（1）四边形是正方形，
，
点P为的中点，
，
，
故答案为：；
（2），
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
故答案为：
17．
【分析】法一、过点作轴于点，过点作轴的垂线交于点，过点作于点，此时最小，利用对顶角相等及等角的余角相等可证明，所以，即，解之即可得出结论．
法二、利用等积法求出的值，即可得出的长，由勾股定理可得出结论．
解：法一、如图，过点作轴于点，过点作轴的垂线交于点，过点作于点，此时最小；

，，
由图可知，，，，
，
，
，
，即，
解得．
法二、如图，过点作轴于点，过点作轴的垂线交于点，过点作于点，此时最小；
过点作于点，
，，
，
，
，即，
解得，
由图可知，，，，
，
，
，
，
由勾股定理可得，．
故答案为：．
18．
【分析】过点作于点，利用勾股定理求得根据旋转的性质可证是等腰直角三角形，可得，再由，证明，可得即，再由，求得从而求得即可求解．
解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵，
，

∵将绕点A逆时针方向旋转得到
是等腰直角三角形，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，即
∵，，
∴，
，
即，
又∵
，
，
，
故答案为∶．
三、解答题
19．
解：∵，
∴
，，，
∴，
解得：，
则．
20．
解：（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE
∴∠BAD＝∠BCE
而∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE
（2）解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，
∴∠ADC＝
又∵CD＝CF
∴∠ADC＝∠DFC＝
∴
∴
即
21．
解：设，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，即，
∴，
解得，即，
答：两排树之间的距离．
22．
解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠BDF，
∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，
∴∠AFE=∠ADC，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△AFE∽△ADC；
（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF=∠C，
∵∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EB=2FD．
23．
解：（1），，
∵，
又∵，
∴，
∴．
（2）如图1，过点D作交于点F，

∴，
∵，
∴，
∴∠BDF=∠CED，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）如图2，过点A作交延长线于点G，

∵，，
∵，
∴， ①
由（2）知，，
∴， ②
①×②得，
∵，
∴．
24．
解：（1）∵AD∥BC，
∴，．
∵DB=DC=15，DE=DF=5，
∴，
∴，
∴BG=CH．
（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．
∵DB=DC=15，BC=18，
∴BP=CP=9，DP=12．
∵，
∴BG=CH=2x，
∴BH=18+2x．
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝．
∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DBC，
∴，
∴NQ＝．
∴y＝AD NQ＝x （0＜x≤9）．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN=∠FHG．
（i）当∠ADN=∠FGH时，
∵∠ADN=∠DBC，
∴∠DBC=∠FGH，
∴BD∥FG，
∴，
∴，
∴BG=6，
∴AD=3．
（ii）当∠ADN=∠GFH时，
∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，
又∵∠AND=∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴，
∴x （18 2x）＝ 10，整理得x2-3x-29=0，
解得x＝，或x＝（舍去）．
综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或．