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第4课时 公式法(2)根的判别式
提优目标：1.能用一元二次方程根的判别式判别一元二次方程的根的情况.
2.能运用一元二次方程根的判别式解决简单的数学问题.
基础巩固
1．一元二次方程x2﹣5x+2＝0根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【思路点拔】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac即可求出值．
解：x2﹣5x+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝25﹣8＝17．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．
2．一元二次方程x2+5x﹣6＝0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
【思路点拔】直接根据一元二次方程根的判别式解答即可．
解：一元二次方程x2+5x﹣6＝0中，a＝1，b＝5，c＝﹣6，
∴Δ＝25﹣4×1×（﹣6）＝25+24＝49＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．﹣9 B． C． D．9
【思路点拔】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于 m 的等式，即可求解．
解：∵关于 x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，
解得m．
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
4．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．
【思路点拔】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
解：∵方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝4﹣4k＞0，解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出4﹣4k＞0是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 （写出一个即可）．
【思路点拔】根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0求出a的范围，写出一个即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣8a≥0，
解得：a≤2，
则a的值可以是1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
6．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m＝0，当m取何值时：
（1）它没有实数根；
（2）它有两个相等的实数根；
（3）它有两个不相等的实数根．
【思路点拔】（1）根据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m＝0有两个不相等的实数根时，Δ＜0，列式求解即可．
（2）根据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m＝0有两个不相等的实数根时，Δ＝0，求出m的值，再代入计算即可，
（3）根据关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m＝0有两个不相等的实数根时，Δ＞0，列式求解即可．
解：（1））∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m﹣1）m＜0，
8m+1＜0，∴m，
（2）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m﹣1）m＝0，∴m，
（3）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m＝0没有实数根，
∴Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m﹣1）m＞0，
∴m且m≠1．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根，也考查了解一元二次方程．
思维拓展
7．x2﹣6x+8＝±k只有两个实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k＞1 C．0≤k＜1 D．k＞1或k＝0
【思路点拔】根据题意x2﹣6x+8﹣k＝0有两个实根，x2﹣6x+8+k＝0无实根，利用根的判别式即可求得k＞1，由x2﹣6x+8＝0时，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×8＞0，从而求得k的取值范围是k＞1或k＝0，
解：若x2﹣6x+8＝±k只有两个实根，则x2﹣6x+8﹣k＝0有两个实根，x2﹣6x+8+k＝0无实根，
∴（﹣6）2﹣4（8﹣k）＞0，（﹣6）2﹣4（8+k）＜0，
解得k＞1，
∵x2﹣6x+8＝0时，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×8＞0，
∴x2﹣6x+8＝0只有两个实根，
故k的取值范围是k＞1或k＝0，
故选：D．
方法二：
∵函数y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣6x+8开口向上，顶点为（3，﹣1），
∴若抛物线y＝x2﹣6x+8与直线y＝﹣k无交点，则k＞1，
∵y＝x2﹣6x+8＝（x﹣4）（x﹣2），
∴抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴有两个交点为（4，0）和（2，0），
故x2﹣6x+8＝±k只有两个实根，则k的取值范围是k＞1或k＝0，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
8．对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如：3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【思路点拔】根据运算“ ”的定义将方程（k﹣3） x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
解：∵（k﹣3） x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
9．在等腰三角形ABC中，BC＝6，AB，AC的长是关于的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则m的值是 ．
【思路点拔】当AB＝AC时，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣10）2﹣4m＝0；当AB＝BC＝6或AC＝BC＝6，把x＝6代入方程得36﹣60+m＝0，然后分别解关于m的方程即可．
解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AB＝BC＝6或AC＝BC＝6，
当AB＝AC时，Δ＝（﹣10）2﹣4m＝0，解得m＝25，此时AB＝AC＝5，满足条件；
当AB＝BC＝6或AC＝BC＝6，把x＝6代入方程得36﹣60+m＝0，解得m＝24，解得x1＝6，x2＝4，即AB、AC的长为6、4，满足条件；
综上所述，m的值为25或24．
故答案为25或24．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
10．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 ．
【思路点拔】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案．
解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2﹣9＝0，
解得k＝±3，
②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，
即Δ＝b2﹣4ac＝0，
即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0
解得：k＝﹣5．
故答案为±3或﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题．
11．设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
【思路点拔】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解．
解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x，
∴x1，x2；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1，x2．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式和公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：不论m取任何实数，该方程总有两个实数根；
（2）如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
【思路点拔】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m+1）＝0，然后解关于m的方程即可；
（2）利用公式法解方程得到x1＝m+1，x2＝1，则m+1＜0，然后解不等式即可．
解：（1）根据题意得，
Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m+1）＝m2，
∴Δ≥0，
∴不论m取任何实数，该方程总有两个实数根；
（2）x，
所以x1＝m+1，x2＝1，
∵该方程有一个根小于0，
∴m+1＜0，解得m＜﹣1，
∴m的取值范围为m＜﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，是解题关键．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在k的值，使k为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据一元二次方程的定义以及根的判别式，建立关于k的不等式组，求得k的取值范围．
（2）根据（1）中所求k的取值范围，得出使k为非负整数的值，代入Δ＝b2﹣4ac中，进而求解即可．
解：（1）由题意知，k≠0且Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k＞0，
解得：k且k≠0；
（2）存在k的值，使k为非负整数，且方程的两根均为有理数．理由如下：
∵k且k≠0，k为非负整数，
∴k＝1，2．
当k＝1时，Δ＝9﹣4＝5，此时方程的两根均为无理数，不符合题意舍去；
当k＝2时，Δ＝9﹣8＝1，此时方程的两根均为有理数，符合题意；
故满足条件的k的值为2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：①Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；②Δ＝0 方程有两个相等的实数根；③Δ＜0 方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
延伸探究
14．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“如意数”．（1）已知一个“如意数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；
（2）利用（1）中“如意数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【思路点拔】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
解：（1）∵k＝100a+10b+c是如意数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
故答案为：b2﹣4ac＝0；
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．
15．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．
（1）已知[x，3]*[x﹣1，4]的值为0，求x的值；
（2）若关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
【思路点拔】（1）用新定义运算法则列式计算；
（1）先根据新定义得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m≥0且m≠0，解不等式即可．
解：（1）[x，3]*[x﹣1，4]＝x（x﹣1）﹣12＝0，
解得 x1＝4，x2＝﹣3；
（2）x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，
整理得 mx2+（1﹣2m）x+m＝0，
∵关于x的方程有两个实数根，
∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m m≥0]且m≠0，
解得 且m≠0．
【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第4课时 公式法(2)根的判别式
提优目标：1.能用一元二次方程根的判别式判别一元二次方程的根的情况.
2.能运用一元二次方程根的判别式解决简单的数学问题.
基础巩固
1．一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
2．一元二次方程x2＋5x－6＝0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
3．若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．－9 B． C． D．9
4．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．
5．关于x的一元二次方程x2－4x＋2a＝0有实数根，则a的值可以是 （写出一个即可）．
6．已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－（2m＋1）x＋m＝0，当m取何值时：
（1）它没有实数根；
（2）它有两个相等的实数根；
（3）它有两个不相等的实数根．
思维拓展
7．x2－6x＋8＝±k只有两个实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＝0 B．k＞1 C．0≤k＜1 D．k＞1或k＝0
8．对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2－ab，例如：3 2＝22－3×2＝－2，则关于x的方程（k－3） x＝k－1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
9．在等腰三角形ABC中，BC＝6，AB，AC的长是关于的方程x2－10x＋m＝0的两根，则m的值是 ．
11．设一元二次方程x2＋bx＋c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝－1；
④b＝2，c＝2．
12．已知关于x的一元二次方程x2－（m＋2）x＋m＋1＝0．
（1）求证：不论m取任何实数，该方程总有两个实数根；
（2）如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
13．关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在k的值，使k为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
延伸探究
14．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“如意数”．（1）已知一个“如意数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；
（2）利用（1）中“如意数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0①与cx2＋bx＋a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m＋n＝－2，请直接写出满足条件的所有k的值．
15．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac－bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5－2×1＝13．
（1）已知[x，3]*[x－1，4]的值为0，求x的值；
（2）若关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．
