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第1讲 集合及其运算
第一章
集合与常用逻辑用语、不等式
1．若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是 ( )
A．1∈A B．{－1} A
C． A D．{－1，1} A
激 活 思 维
D
2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是 ( )
A．A∪B＝B B．( RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}
C．A∩B＝{x|1＜x≤2} D．( RB)∪( RA)＝R
BC
【解析】
因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}．因为2＜2x≤8，所以1＜x≤3，所以B＝{x|1＜x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，( RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}，( RB)∪( RA)＝{x|x≤1或x＞2}．
3．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝_____．
2
【解析】
因为A∪B＝A，所以B A，所以a＋2∈A.
当a＋2＝3，即 a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；
当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，当a＝－1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意．当a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．
综上，实数a＝2.
4．已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B A，则实数a的取值范围为______________．
[2，＋∞)
【解析】
因为B A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
1．集合与元素
(1) 集合中元素的三个特性：__________、__________、__________．
(2) 常见集合的符号表示
确定性
聚 焦 知 识
互异性
无序性
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
符号 N N*或N＋ Z Q R C
2．集合间的基本关系
关系 定义 记法
相等 集合A与B的所有元素都相同 A＝B
子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A B或B A
真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 A?B
注：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有______个子集，_________个真子集．
2n
2n－1
3．集合的基本运算
集合的并集A∪B 集合的交集A∩B 集合的补集 UA
图形表示
意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x A}
4．常见结论与等价关系
A∩B＝A A B；A∪B＝A B A；
( UA)∪A＝_____； U( UA)＝_____．
U
A
(1) 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是______________．
集合中元素的性质
举 题 说 法
1
【解析】
{1，－1}
若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有且只有一个实数根，即Δ＝(2k)2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}．
【解析】
1
C
变式 (1) 已知集合A＝{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2，3}}，则集合A中的元素个数为_____．
6
【解析】
x∈{1，2}表示x的取值为1、2两个，y∈{1，2，3}表示y的取值为1、2、3三个，构成有序实数对共有2×3＝6对．
变式 (2) 已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数
a＝_________．
【解析】
集合间的关系
2
【解析】
C
(2) 已知集合A＝{x∈N*|x2－2x－3＜0}，则满足B A的非空集合B的个数为( )
A．3 B．4
C．7 D．8
【解析】
A
2
A＝{x∈N*|x2－2x－3＜0}＝{x∈N*|－1＜x＜3}＝{1，2}，所以满足B A的非空集合B有{1}，{2}，{1，2}，故个数为3.
(3) 已知集合A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|y＝ln (6＋x－x2)}，且A B，则( )
A．－1≤a≤2 B．－1＜a＜2
C．－2≤a≤1 D．－2＜a＜1
2
C
【解析】
【解析】
因为A B，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；
若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．
综上所述，a＝1.
B
【解析】
【答案】A
因为B A，所以：①当B＝ 时，ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．
(1) 已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( )
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．2
集合间的运算
3
【解析】
C
方法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．
方法二：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.
(2) 设全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≤1}，B＝{x|2x－4≥0}，则A∩( UB)＝( )
A．(1，2) B．(1，2]
C．[1，2) D．[1，2]
【解析】
C
3
解不等式|x－2|≤1，得1≤x≤3，则A＝[1，3].解不等式2x－4≥0，得x≥2，则B＝[2，＋∞)， UB＝(－∞，2)，所以A∩( UB)＝[1，2).
【解析】
3
B
变式 (1) 若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2－7x＋12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是 ( )
A．{1，3，4} B．{2，3，5}
C．{2，6} D．{1，6}
D
【解析】
集合M＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3，4}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是 U(M∪N)＝{1，6}．
变式 (2) 设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则 U(A∪B)＝ ( )
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．
A
【解析】
因为整数集，k∈＋1，k∈＋2，k∈Z}，U＝Z，所以 U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．
随 堂 练习
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪( UM)＝( )
A．{2，3，5} B．{1，3，4}
C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5}
A
【解析】
因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以 UM＝{2，3，5}．又N＝{2，5}，所以N∪( UM)＝{2，3，5}．
2．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A． B．S
C．T D．Z
C
【解析】
任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T S.因此，S∩T＝T.
3．已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{x|x2－2x≥0}，则M∩N＝ ( )
A．(－∞，0]∪(1，＋∞) B．(1，2]
C．(1，＋∞) D．[2，＋∞)
D
【解析】
由x2－2x≥0，解得x≤0或x≥2，故M∩N＝[2，＋∞).
4．集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为 ( )
A．2 B．4
C．8 D．16
B
【解析】
A＝{x∈N|1＜x＜4}＝{2，3}，故其子集个数为22＝4.
5．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有_____人．
7
【解析】
设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4人．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝(9－x)人．因为总人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，得x＝45－38＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人．
配套精练
【解析】
D
2．设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪( UN)＝( )
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
A
【解析】
由题得 UN＝{2，4，8}，所以M∪( UN)＝{0，2，4，6，8}．
【解析】
A
4．设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的子集个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
C
【解析】
由题可知A＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，所以其子集分别是 ，{1}，{0}，{0，1}，共有4个子集．
5．已知集合A＝{x|3x－1＞8}，B＝{x|x≤10}，则A∩B＝ ( )
A．(10，＋∞) B．(3，10)
C．(3，10] D．[10，＋∞)
C
【解析】
如图，将集合A＝{x|3x－1＞8}＝{x|x＞3}和集合B标在数轴上，由图可知C正确．
6．设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝ ( )
A． U(M∪N) B．N∪( UM)
C． U(M∩N) D．M∪( UN)
A
【解析】
由题意可得M∪N＝{x|x＜2}，则 U(M∪N)＝{x|x≥2}，故A正确；
UM＝{x|x≥1}，则N∪( UM)＝{x|x＞－1}，故B错误；
M∩N＝{x|－1＜x＜1}，则 U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，故C错误；
UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪( UN)＝{x|x＜1或x≥2}，故D错误．
7．已知集合A＝{1，2}，B＝{a－1，a2＋2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C
【解析】
因为A＝{1，2}，B＝{a－1，a2＋2}，且A∩B＝{1}，又a2＋2≠1，所以a－1＝1，即a＝2，此时B＝{1，6}，符合题意．
8．能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－2x＝0}的关系的Venn图是 ( )
【解析】
由x2－2x＝0，解得x＝2或x＝0，则N＝{0，2}．又M＝{x|0≤x≤2}，则N M，故M和N对应的Venn图如B所示．
B
【解析】
C
10．某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为 ( )
A．36 B．35 C．34 D．33
B
【解析】
如图，设两个项目都参加的有x人，“你追我赶”为集合A，“携手共进”为集合B，则数学组共有5＋18－x＋x＋20－x＝43－x(x≥8)人，显然43－x≤35.
【解析】
对于A，A∪D＝{x|x≥－2}≠R，所以A错误；
对于B，A∩B＝ ，所以B正确；
对于C，因为A∪B＝{x|x≤－1或x＞0}，所以 R(A∪B)＝{x|－1＜x≤0}?D，所以C正确；
对于D，因为D＝{z|z≥－2}，所以 RD＝{z|z＜－2}．因为B＝{y|y≤－1或y＞1}，所以 RD?B，所以D正确．
【答案】BCD
12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则( )
A．P M B．M∩P＝M
C．N∪P＝P D．M∩( PN)＝
BC
【解析】
由M∩N＝N可得N M.由M∪P＝P，可得M P，推不出P M，故A错误；
由M P可得M∩P＝M，故B正确；
因为N M且M P，所以N P，则N∪P＝P，故C正确；
由N M可得M∩( PN)不一定为空集，故D错误．
13．已知M，N均为实数集R的子集，且N∩( RM)＝ ，则下列结论正确的是 ( )
A．M∩( RN)＝ B．M∪( RN)＝R
C．( RM)∪( RN)＝ RM D．( RM)∩( RN)＝ RM
BD
【解析】
因为N∩( RM)＝ ，所以N M.若N是M的真子集，则M∩( RN)≠ ，故A错误；
由N M，得M∪( RN)＝R，故B正确；
由N M，得( RN) ( RM)，故C错误，D正确．
14．我们知道，如果集合A S，那么A的补集为 SA＝{x|x∈S且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x B}叫做集合A和B的差集，记作A－B.例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}．下列选项正确的是 ( )
A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8}
B．如果A－B＝ ，那么A B
C．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩( UB)
D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4}
【解析】
【答案】BD
对于A，由B－A＝{x|x∈B且x A}，知B－A＝{3，8}，A错误；
对于B，由A－B＝{x|x∈A且x B}，A－B＝ ，知A B，B正确；
对于C，由韦恩图知B－A如图中阴影部分所示，则B－A＝B∩( UA)，C错误；
对于D， RB＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩( RB)＝{x|x＜－2或x≥4}，D正确．
三、 填空题
15．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝______________．
{－2，0}
【解析】
由x2＋2x－3＜0，解得－3＜x＜1，所以A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，B是偶数集，所以A∩B＝{－2，0}．
16．已知集合A＝{x|ax2－2x＋a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围是___________________________________．
(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}
【解析】
由题意，原问题转化为方程ax2－2x＋a＝0至多只有一个根．当a＝0时，方程为－2x＝0，解得x＝0，此时方程只有一个实数根，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－2x＋a＝0为一元二次方程，所以Δ＝4－4a2≤0，解得a≤－1或a≥1.
综上，实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}．
【解析】
(－∞，1]
由x－a≥0，得x≥a，所以B＝[a，＋∞).因为A＝[1，6]，且A B，所以a≤1，所以实数a的取值范围是(－∞，1].
18．已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为_____．
5
【解析】
【解析】
15
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-第1讲-集合及其运算-专项练习
[基础强化]
一、选择题
1．设集合A＝{x|－2
A．{2} B．{2，3}
C．{3，4} D．{2，3，4}
2．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
3．若集合{x|ax2－2x＋1＝0}＝{b}，则a＋b等于( )
A．2 B．或0
C．0或2 D．或2
4．已知M，N均为R的子集，且( RM) N，则M∪( RN)＝( )
A． B．M
C．N D．R
5．若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝( )
A．{x|0≤x<2} B．
C．{x|3≤x<16} D．
6．设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则 U(A∪B)＝( )
A．{1，3} B．{0，3}
C．{－2，1} D．{－2，0}
7．设全集为R，集合A＝{x|0A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|08．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则 U(A∪B)＝( )
A. {－2，3}
B. {－2，2，3}
C. {－2，－1，0，3}
D. {－2，－1，0，2，3}
9．设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
二、填空题
10．已知U＝{1，2，a2－2a－3}，A＝{|a－2|，2}， UA＝{0}，则a的值为________．
11．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}．若B A，则实数a＝________．
12．集合A＝{x|2≤x≤6－m}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若A∩B≠ ，则实数m的取值范围为________．
[能力提升]
13．已知集合A＝{x|x2－x－2<0，x∈Z}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{0，1，2}
C． D．{0，1，2，4}
14．(多选)已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B A，则实数a的可能取值为( )
A．－3 B．－2
C．0 D．3
15．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含任何元素，则实数a的取值范围是________．
16．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若B A，则实数m的取值范围是_______________________________________________．
参考答案
1．B 由题设有A∩B＝，
故选B.
2．C 由得或或或所以A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，故A∩B中元素的个数为4，选C.
3．A 由题意得，Δ＝4－4a＝0得a＝1.此时方程x2－2x＋1＝0的根为1，即b＝1，∴a＋b＝1＋1＝2.
4．B 解法一：由( RM) N，得( RN) M，
所以M∪( RN)＝M，故选B.
解法二：根据题意作出集合M，N，如图所示，
集合M为图中阴影部分，集合N为图中除内部小圆之外的部分，
显然满足( RM) N，由图易得( RN) M，所以M∪( RN)＝M，故选B.
5．D 由＜4，得0≤x＜16，即M＝{x|0≤x＜16}．易得N＝，所以M∩N＝.故选D.
6．D 因为方程x2－4x＋3＝0的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．又A＝{－1，2}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}．因为U＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以 U(A∪B)＝{－2，0}．故选D.
7．B ∵ RB＝{x|x<1}，∴A∩ RB＝{x|08．A ∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，∴A∪B＝{－1，0，1，2}，又∵集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴ U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.
9．B 由已知可得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，
又∵A∩B＝{x|－2≤x≤1}，
∴－＝1，
∴a＝－2.故选B.
10．3
解析：由U＝{1，2，a2－2a－3}， UA＝{0}可得a2－2a－3＝0.又A＝{|a－2|，2}，故|a－2|＝1，所以得解得a＝3.
11．－1或2
解析：∵B A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，
由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，符合题意．
当a2－a＋1＝a时，得a＝1，不符合集合的互异性，故舍去，
∴a的值为－1或2.
12.
解析：因为A∩B≠ ，所以A，B为非空集合，所以，解得－2≤m≤4.同时，要使A∩B≠ ，则需或，解得≤m≤3或≤m≤，即≤m≤.综上，≤m≤.
13．B A＝{x|－114．BCD 由题知B A，B＝{x|ax＋1＝0}，则B＝或B＝或B＝ .当B＝时，－a＋1＝0，解得a＝3；当B＝时，a＋1＝0，解得a＝－2；当B＝ 时，a＝0.综上可得，实数a的可能取值为3，0，－2.故选BCD.
15．[0，4)
解析：当a＝0时，原方程无解．
当a≠0时，方程ax2＋ax＋1＝0无解，
则需Δ＝a2－4a<0，
解得0综上，0≤a<4.
16．(－∞，－2)∪
解析：显然A＝{x|－1≤x≤6}，当B＝ 时，m－1>2m＋1，即m<－2符合题意；当B≠ 时，
得0≤m≤.
综上得m<－2或0≤m≤.