2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件-专项训练【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．无法判断
D．既不充分又不必要条件
2．“x＝3”是“x2＝9”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．使x>3成立的一个充分条件是( )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
4．设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2,4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A.>1 B.<－1
C．a＋b<0 D．a－b>0
6．已知a，b∈R，则ab>0是>的( )
A．无法判断
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
8．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
二、填空题
9．“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的 条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
10．“x>3”是“x<－2或x>2”的 条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
三、解答题
11．判断下列各项中，p是否是q的必要条件，并说明原因．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x>1或x<－1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．
12．设p：实数x满足a
0)，q：实数x满足213．设A，B，C三个集合，则A?B是A?(B∪C)的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．无法判断 D．既不充分也不必要条件
14．(多选题)给出四个条件：
①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<<.
其中能成为x>y的充分条件的有( )
A．① B．②
C．③ D．④
15．若“a≥b c>d”和“a16．已知p：－1b恒成立的实数b的取值范围．
2025高考数学一轮复习-第2讲-充分条件与必要条件-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的( A )
A．充分条件
B．必要条件
C．无法判断
D．既不充分又不必要条件
解析：由题意可知，好货 不便宜，故选A.
2．“x＝3”是“x2＝9”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当x＝3时，有x2＝9.当x2＝9时，x＝3或x＝－3.故“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．
3．使x>3成立的一个充分条件是( A )
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
解析：∵x>4 x>3，∴x>4是x>3成立的一个充分条件．
4．设集合A＝{1，a2，－2}，B＝{2,4}，则“a＝2”是“A∩B＝{4}”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝2时，A＝{1,4，－2}，A∩B＝{4}．当A∩B＝{4}时，a可以为－2，故不能推出a＝2.由此可知“a＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
5．a<0，b<0的一个必要条件为( C )
A.>1 B.<－1
C．a＋b<0 D．a－b>0
解析：a<0，b<0 a＋b<0，故选C.
6．已知a，b∈R，则ab>0是>的( B )
A．无法判断
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查充分条件与必要条件、不等式的性质．因为－＝，当ab>0，且a＝b时，－＝0；当>0时，ab>0，且a≠b，所以ab>0是>的必要不充分条件，故选B.
7．任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为( B )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：∵ a>b， abca>b，而a>bac>bc，∴“ac>bc”既不是“a>b”的充分条件，也不是其必要条件，故A，C错误．又a＝b， a＝b，∴由ac＝bca＝b，而由a＝b ac＝bc，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．故选B.
8．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是( A )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
解析：要求使a>b成立的充分条件，必须满足由选项推出a>b.A中，a>b＋1能使a>b成立，故A正确．B中，a>b－1时，a>b不一定成立，故B错误．C中，a2>b2时，a>b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，所以C错误．D中，a3>b3是a>b成立的充要条件，故D错误．
二、填空题
9．“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的充分不必要条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
解析：当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．
10．“x>3”是“x<－2或x>2”的充分不必要条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
解析：令集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x<－2或x>2}，∵A?B，∴x>3是x<－2或x>2的充分不必要条件．
三、解答题
11．判断下列各项中，p是否是q的必要条件，并说明原因．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x>1或x<－1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．
解：(1)数a能被3整除时，不一定能被6整除，即qp，∴p不是q的必要条件．
(2)∵x>1或x<－1x>1，∴qp.
∴p不是q的必要条件．
(3)∵正三角形三个角都相等，故当△ABC为正三角形时，必有两个角相等，即q p，∴p是q的必要条件．
12．设p：实数x满足a0)，q：实数x满足2解：因为q是p的充分条件，
所以q对应的集合是p对应集合的子集，
所以{x|2则得得即实数a的取值范围是13．设A，B，C三个集合，则A?B是A?(B∪C)的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．无法判断 D．既不充分也不必要条件
解析：A?B A?(B∪C)，但A?(B∪C) A?B，例如A＝Z，B＝N，C＝R，所以A?B是A?(B∪C)的充分不必要条件，故选A.
14．(多选题)给出四个条件：
①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<<.
其中能成为x>y的充分条件的有( AD )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，
故xt2>yt2 x>y；
②当t>0时，x>y，当t<0时，xytx>y；
③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2 x>y；
④由0<< x>y.故选AD.
15．若“a≥b c>d”和“a解析：由题意知a≥b c>d，
类比集合中由A B UB UA，
利用补集思想可推知c≤d a故c≤d e≤f，故“c≤d”是“e≤f”的充分条件．
16．已知p：－1b恒成立的实数b的取值范围．
解：因为－a0)，
所以{x|－10}，
所以解得a≥2，
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}．(共49张PPT)
第2讲 充分条件与必要条件
第一章
集合与常用逻辑用语、不等式
1．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
激 活 思 维
C
2．“x∈A”是“x∈A∩B”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
B
3．(多选)若“x2－x－2＜0”是“－2＜x＜a”的充分不必要条件，则实数a的值可以是 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
BCD
【解析】
由x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2，所以(－1，2)?(－2，a)，所以a≥2，所以实数a的值可以是2，3，4.
4．已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
充分不必要
【解析】
因为函数f(x)是奇函数，且x1＋x2＝0，所以x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；
若f(x)是奇函数，且当x1＝x2＝2时，满足f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．
故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．
5．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的________条件，p是q的________条件．
充要
【解析】
必要
因为q s r q，所以r是q的充要条件．又q s r p，所以p是q的必要条件．
1．充分条件、必要条件与充要条件
充分
聚 焦 知 识
必要
充分不必要
充要
既不充分又不必要
2．命题(补充内容)
命题 能够判断真假的语句 原命题：若p，则q
逆命题：若q，则p 否命题：若 p，则 q 逆否命题：若 q，则 p (1) 已知x∈R，则“x＜－1”是“x2＞1”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
充要条件的判断
举 题 说 法
1
【解析】
A
解不等式x2＞1，可得x＞1或x＜－1，则由充分不必要条件的判定可知“x＜－1”是“x2＞1”的充分不必要条件．
(2) “sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】
B
1
当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即由sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.
综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的必要不充分条件．
1．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
B
【解析】
由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；
由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立．
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．
2．“x为整数”是“2x＋1为整数”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A
【解析】
3．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1，0，1}，则“M N”是“a＝0”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】
若M N，则a＝0或a＝－1，故“M N”推不出“a＝0”；
反之，若a＝0，则M N.故“M N”是“a＝0”的必要不充分条件．
B
4．已知直线l：y＝kx和圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则“k＝0”是“直线l与圆C相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】
C
(1) 已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1].若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是( B )
A．(－∞，3] B．(2，3]
C． D．[2，3]
结合充要条件确定参数
2
【解析】
【解析】
2
(2，＋∞)
变式 (1) 已知a∈R，且“x＞a”是“x2＞2x”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______________．
[2，＋∞)
【解析】
由x2＞2x，得x＜0或x＞2.因为“x＞a”是“x2＞2x”的充分不必要条件，所以a≥2.
变式 (2) 已知p：|x－1|＞2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________．
(0，2]
【解析】
已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
充要条件的证明
3
【解答】
先证明充分性：若a2－b2＝1，则a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1成立，所以“a2－b2＝1”是“a4－b4－2b2＝1”成立的充分条件．
再证明必要性：若a4－b4－2b2＝1，则a4－b4－2b2－1＝0，即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，所以a4－(b2＋1)2＝0，所以(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0，因为a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1成立．所以“a2－b2＝1”是“a4－b4－2b2＝1”成立的必要条件．
综上，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
【解答】
随 堂 练习
1．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a＜b－1”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
B
【解析】
如2＜2.9，但2＞2.9－1，所以由“a＜b”推不出“a＜b－1”；由a＜b－1可得a＜b－1＜b，所以由“a＜b－1”能推出“a＜b”．所以“a＜b”是“a＜b－1”的必要不充分条件．
【解析】
A
3．设z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“ab＜0”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
A
【解析】
当点M在第四象限时，a＞0，b＜0，可得ab＜0；当ab＜0时，a＞0，b＜0或a＜0，b＞0.从而可判断是充分不必要条件．
4．已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
D
【解析】
当a＝－1，b＝4时，p不能推出q；当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p，所以p是q的既不充分又不必要条件．
【解析】
(－∞，0]
配套精练
一、 单项选择题
1．a3＋a9＝2a6是数列{an}为等差数列的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
B
【解析】
如果数列{an}是等差数列，则一定有a3＋a9＝2a6；反之，由a3＋a9＝2a6不一定能得到数列{an}是等差数列.故a3＋a9＝2a6是数列{an}为等差数列的必要不充分条件．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】
C
【解析】
C
4．关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等正根的充要条件是( )
A．a＜－1 B．－1＜a＜0
C．a＜0 D．0＜a＜1
B
【解析】
5．若1＜x＜2是不等式(x－a)2＜1成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ( )
A．[1，2) B．(1，2]
C．[1，2] D．(1，2)
C
【解析】
二、 多项选择题
6．下列说法正确的是 ( )
A．“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分条件
B．“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充要条件
C．“sin α＝sin β”是“α＝β”的充要条件
D．“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件
BD
7．下列选项与“x2＞x”互为充要条件的是 ( )
【解析】
BC
x2＞x的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).对于A，因为(1，＋∞)为(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A不符合；
对于B，因为2x2＞2x等价于x2＞x，解集也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B符合；
对于D，由|x(x－1)|＝x(x－1)，得x(x－1)≥0，解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)为(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D不符合．
8．已知p：|2x－1|＜3，q：2x2－ax－a2≤0，若p是q的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围可以是 ( )
A．(－1，0) B．(－2，0]
C．(－1，1) D．(－1，2]
【解析】
综上，可得－1＜a＜2.故只要实数a的取值集合是集合{a|－1＜a＜2}的子集即可．
【答案】AC
三、 填空题
9．“x＞1”是____________________的充分不必要条件．(请在横线处填上满足要求的一个不等式)
x＞0(答案不唯一)
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，例如：由x＞1，一定有x＞0；而x＞0，不一定有x＞1.
10．已知条件p：－1＜x＜1，q：x＞m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．
(－∞，－1]
【解析】
因为p是q的充分不必要条件，所以{x|－1＜x＜1}?{x|x＞m}，故m≤－1.
乙：a为整数；
丙：p是q成立的充分不必要条件；
丁：r是q成立的必要不充分条件；
甲：三位同学说得都对．
则a的值为_______．
【解析】
【答案】－1
四、 解答题
12．已知集合A＝{x|m－1＜x＜m2＋1}，B＝{x|x2＜4}．
(1) 当m＝2时，求A∪B，A∩B；
【解答】
当m＝2时，A＝{x|1＜x＜5}，B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∪B＝{x|－2＜x＜5}，A∩B＝{x|1＜x＜2}．
12．已知集合A＝{x|m－1＜x＜m2＋1}，B＝{x|x2＜4}．
(2) 若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解答】
由“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，得A?B.
13．已知p：|4x－3|≤1，q：x2－4ax＋3a－1≤0.
(1) 是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】
无解，故假设不成立，所以不存在实数a，使得p是q的充要条件．
13．已知p：|4x－3|≤1，q：x2－4ax＋3a－1≤0.
(2) 若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】
14. 求证：“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根”的充要条件为“a≤0或a＝1”.
【解答】
综上所述，“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根”的充要条件为“a≤0或a＝1”．
谢谢观赏