2025高考数学一轮复习-第3讲-全称量词和存在量词-专项训练【原卷版】
时间：45分钟
一、选择题
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x≤1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x>1
D．存在实数x，使x≤1
2．命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是( )
A．不存在x∈R，使得x2－2x＋1≥0
B．存在x∈R，使得x2－2x＋1≤0
C．存在x∈R，使得x2－2x＋1<0
D．对任意的x∈R，都有x2－2x＋1<0
3．存在量词命题“ x M，p(x)”的否定是( )
A． x∈M， p(x) B． x M，p(x)
C． x M， p(x) D． x∈M，p(x)
4．命题“ x∈R，x2>x－1”的否定是( )
A． x∈R，x2≤x－1 B． x∈R，x2
C． x∈R，x2≤x－1 D． x∈R，x25．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<1} B．{a|a≤1}
C．{a|a>1} D．{a|a≥1}
6．命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为( )
A． x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
B． x {x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
C． x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
D． x {x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
7．命题“负数的平方是正数”的否定是( )
A．负数的平方不是正数
B．有些负数的平方是正数
C．所有负数的平方是正数
D．有些负数的平方不是正数
8．(多选题)给出下列命题，其中真命题有( )
A．存在x<0，使|x|>x
B．对于一切x<0，都有|x|>x
C．已知a＝2n，b＝3n，则存在n∈N*，使得a＝b
D．已知A＝{a|a＝2n，n∈N*}，B＝{b|b＝3n，n∈N*}，则A∩B＝
二、填空题
9．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则綈q为 ．
10．已知命题p： x≥7,2x－1三、解答题
11．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；
(2)p：有的素数是偶数；
(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
(4)p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
12．命题p是“对任意实数x，都有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定．
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
13．(多选题)已知a>0，函数y＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，当x＝m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为真命题的是( )
A． x∈R，ax2＋bx＋c≤M
B． x∈R，ax2＋bx＋c≥M
C． x∈R，ax2＋bx＋c≤M
D． x∈R，ax2＋bx＋c≥M
14．已知命题p： x∈R，x2A．p，q B．綈p，q
C．p，綈q D．綈p，綈q
15．已知命题p：“ x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，为真命题，则a的取值范围是 ；若命题q：“ x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，为真命题，则a的取值范围是 .
16．设集合A＝{1,2,4,6,8,10,12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： n∈A，n<12.
(2)q： x∈{x|x是奇数}，x∈A.
2025高考数学一轮复习-第3讲-全称量词和存在量词-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( A )
A．对任意实数x，都有x≤1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x>1
D．存在实数x，使x≤1
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
2．命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是( C )
A．不存在x∈R，使得x2－2x＋1≥0
B．存在x∈R，使得x2－2x＋1≤0
C．存在x∈R，使得x2－2x＋1<0
D．对任意的x∈R，都有x2－2x＋1<0
解析：命题“对任意的x∈R，都有x2－2x＋1≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2－2x＋1<0”．故选C.
3．存在量词命题“ x M，p(x)”的否定是( C )
A． x∈M， p(x) B． x M，p(x)
C． x M， p(x) D． x∈M，p(x)
解析：由存在量词命题的否定的定义可得C正确．
4．命题“ x∈R，x2>x－1”的否定是( A )
A． x∈R，x2≤x－1 B． x∈R，x2C． x∈R，x2≤x－1 D． x∈R，x2解析：将“ ”改写为“ ”，再否定结论可得，命题的否定为“ x∈R，x2≤x－1”．
5．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( D )
A．{a|a<1} B．{a|a≤1}
C．{a|a>1} D．{a|a≥1}
解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以 x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，故选D.
6．命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为( C )
A． x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
B． x {x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
C． x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
D． x {x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2≤0”的否定为“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－3x＋2>0”，故选C.
7．命题“负数的平方是正数”的否定是( D )
A．负数的平方不是正数
B．有些负数的平方是正数
C．所有负数的平方是正数
D．有些负数的平方不是正数
解析：先将命题中省略的量词补回，则“任意一个负数的平方是正数”，再进行否定，“有些负数的平方不是正数”．故选D.
8．(多选题)给出下列命题，其中真命题有( AB )
A．存在x<0，使|x|>x
B．对于一切x<0，都有|x|>x
C．已知a＝2n，b＝3n，则存在n∈N*，使得a＝b
D．已知A＝{a|a＝2n，n∈N*}，B＝{b|b＝3n，n∈N*}，则A∩B＝
解析：易知A、B为真命题，C中，“存在n∈N*，使得a＝b”的否定是“对于任意的n∈N*，都有a≠b”，由于a－b＝2n－3n＝－n，所以对于任意的n∈N*，都有a二、填空题
9．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则綈q为存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆．
10．已知命题p： x≥7,2x－1解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即 x≥7,2x－1≥a，即2x－1≥13≥a，∴a≤13.
三、解答题
11．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；
(2)p：有的素数是偶数；
(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
(4)p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
解：(1)綈p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．綈p为真命题．
(2)綈p：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，故綈p为假命题．
(3)綈p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.綈p为真命题．
(4)綈p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.綈p为真命题．
12．命题p是“对任意实数x，都有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．
(1)写出命题p的否定．
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解：(1)命题p的否定：存在实数x，
使x－a≤0且x－b>0.
(2)要使命题p的否定为真，
则需要使的解集不为空集．
a，b应满足的条件是b13．(多选题)已知a>0，函数y＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，当x＝m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为真命题的是( ABD )
A． x∈R，ax2＋bx＋c≤M
B． x∈R，ax2＋bx＋c≥M
C． x∈R，ax2＋bx＋c≤M
D． x∈R，ax2＋bx＋c≥M
解析：方程2ax＋b＝0的解为m＝－.
由当x＝m时的函数值记为M知A、B为真命题；
∵a>0，∴函数y＝ax2＋bx＋c在x＝－＝m处取得最小值．∴M是函数y＝ax2＋bx＋c的最小值，
因此D为真命题，C为假命题，故选ABD.
14．已知命题p： x∈R，x2A．p，q B．綈p，q
C．p，綈q D．綈p，綈q
解析：对于命题p，采用特值法，
取x＝－1，可知p为假命题；
命题q：当x0＝1时，x－5x0＋4＝0成立，
故q为真命题，故选B.
15．已知命题p：“ x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，为真命题，则a的取值范围是a≤1；若命题q：“ x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，为真命题，则a的取值范围是a≤4.
解析：将命题p转化为当x∈{x|1≤x≤4}时，x≥a恒成立，因此x的最小值大于或等于a，即a≤1.
命题q：存在x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，就是x≥a在x∈{x|1≤x≤4}有解，因此x的最大值大于或等于a，即a≤4.
16．设集合A＝{1,2,4,6,8,10,12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： n∈A，n<12.
(2)q： x∈{x|x是奇数}，x∈A.
解：(1)綈p： n∈A，n≥12.
因为当n＝12时，綈p成立，所以綈p是真命题．
(2)綈q： x∈{x|x是奇数}，x A.綈q是假命题．(共43张PPT)
第3讲 全称量词和存在量词
第一章
集合与常用逻辑用语、不等式
1．若命题p： x∈R，x＋1≥0，则命题p的否定是 ( )
A． x∈R，x＋1＜0
B． x∈R，x＋1≥0
C． x∈R，x＋1＜0
D． x∈R，x＋1≥0
激 活 思 维
A
2．(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的有 ( )
A．每一个末位是0的整数都是5的倍数
B．有些菱形是正方形
C．对任意负数x，x的平方是正数
D．梯形的对角线相等
AC
【解析】
(－∞，2)
4．已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是_____________．
(3，＋∞)
【解析】
因为“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，所以“ x＞1，使2x＋1≤λ”是真命题．因为当x＞1时，2x＋1＞3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞).
5．设命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠
0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为________．
【解析】
若命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；
1．全称量词命题与存在量词命题
聚 焦 知 识
全称量词命题 存在量词命题
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题形式 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 __________________，是________量词命题 __________________，是________量词命题
x∈M， p(x)
存在
x∈M， p(x)
全称
2．常见词语的否定
词语 是 都是 大于 小于
词语的否定 ________ __________ ______________ ______________
词语 且 至少有n个 至多有一个 所有x成立
词语的否定 ______ ________________ ______________ __________________
不是
不都是
大于或等于
或
至多有n－1个
至少有两个
存在一个x不成立
小于或等于
写出下列命题的否定，并判断其真假性．
(1) x∈Z，|x|∈N；
含量词的命题的否定
举 题 说 法
1
【解答】
x∈Z，|x| N；假命题．
(2) 每一个平行四边形都是中心对称图形；
【解答】
有些平行四边形不是中心对称图形；假命题．
写出下列命题的否定，并判断其真假性．
(3) 有些三角形是直角三角形；
【解答】
1
【解答】
所有三角形都不是直角三角形； 假命题．
(4) x∈R，x＋1≤0；
(5) x∈R，x2＋2x＋3＝0.
x∈R，x＋1＞0；假命题．
【解答】
x∈R，x2＋2x＋3≠0；真命题．
变式 (1) 命题“ n∈Z，n∈Q”的否定为 ( )
A． n∈Z，n Q B． n∈Q，n∈Z
C． n∈Z，n∈Q D． n∈Z，n Q
变式 (2)设命题p： x＞0，sin x＞1＋cos x，则 p为 ( )
A． x≤0，sin x＞1＋cos x B． x＞0，sin x＜1＋cos x
C． x＞0，sin x≤1＋cos x D． x≤0，sin x≤1＋cos x
D
C
(1) 已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________________．
结合命题真假确定参数
2
【解析】
(－∞，－2]
由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2].
(2) 若命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是__________________________．
【解析】
(－∞，－1)∪(3，＋∞)
2
若对 x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，则Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.因为命题“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
【解析】
因为命题p： x∈R，x2＋2x＋a≤0为假命题，所以 x∈R，x2＋2x＋a＞0为真命题，则满足Δ＝22－4a＜0，解得a＞1.
综上，实数a的取值范围为(1，2).
C
变式 (2) 已知命题p： x∈(0，＋∞)，使得x2－λx＋1＜0成立．若p为假命题，则λ的取值范围是 ( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
A
【解析】
双量词成立问题
3
【解析】
【答案】
【解析】
随 堂 练习
1．命题“存在无理数m，使得m2是有理数”的否定为( )
A．任意一个无理数m，m2都不是有理数
B．存在无理数m，使得m2不是有理数
C．任意一个无理数m，m2都是有理数
D．不存在无理数m，使得m2是有理数
A
B
3．若命题“ x∈[0，3]，x2－2x－a＜0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
B
【解析】
由题意得a＞x2－2x在x∈[0，3]上有解，当x＝1时，x2－2x取最小值－1，则a＞(x2－2x)min＝－1，故a可取的最小整数值为0.
4．甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最后有人去看电影，有人没去看电影，则没去的人是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
D
【解析】
由题意，若甲不去，则丙不去，乙也不去，同时丁也不去，故没有人去，不符合题意，则甲一定去了，所以乙去了，丙也去了，则丁不去．
【解析】
(－∞，－1]∪[6，＋∞)
配套精练
一、 单项选择题
1．命题“ x∈Q，x2－5≠0”的否定为 ( )
A． x Q，x2－5＝0
B． x∈Q，x2－5＝0
C． x Q，x2－5＝0
D． x∈Q，x2－5＝0
D
2．命题“ x＞1，x2＋2x－1≤0”的否定是 ( )
A． x＞1，x2＋2x－1≤0
B．不存在x＞1，x2＋2x－1≤0
C． x≤1，x2＋2x－1＞0
D． x＞1，x2＋2x－1＞0
D
3．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加铅球. 下列说法正确的为 ( )
A．丙参加了铅球 B．乙参加了铅球
C．丙参加了标枪 D．甲参加了标枪
A
【解析】
由①乙没有参加跑步，知乙参加铅球或标枪．若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪．显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步．综上可得，甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球．
4．已知p： x∈R，x2＋2x＋a≥0；q： x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为 ( )
A．(－2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D．(－2，1)
A
【解析】
若p为真，则Δ1＝4－4a≤0，解得a≥1.若q为真，则Δ2＝4a2－4(2－a)＜0，解得－2＜a＜1.
若p真q假，则a≥1；若p假q真，则－2＜a＜1.
综上所述，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为(－2，＋∞).
5．已知命题“ x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1≤0”是真命题，则实数m的取值范围是 ( )
A．(－∞，－1)∪[3，＋∞) B．[－1，3] C．(－∞，0]∪[1，＋∞) D．(－1，3)
A
【解析】
若不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对任意x∈R恒成立，则有①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式显然成立；②当m＋1＞0时，Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)＜0，解得－1＜m＜3；③当m＋1＜0时，不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对任意x∈R显然不恒成立，舍去．
综上①②③可知，若不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0对任意x∈R恒成立，则－1≤m＜3，所以当“ x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1＞0”是假命题时，m∈(－∞，－1)∪[3，＋∞).
二、 多项选择题
6．下列说法正确的有 ( )
【解析】
【答案】BC
命题“ n∈N，n2＞2n”的否定是命题“ n∈N，n2≤2n”，C正确．
命题“ n＞4，2n＞n2”的否定是命题“ n＞4，2n≤n2”，D错误．
7．已知命题p： m∈[－1，1]，a2－5a＋3≥m＋2，若p是真命题，则实数a的取值可以是 ( )
A．0 B．5
C．－2 D．4
ABC
【解析】
由题意可得a2－5a＋3≥3，即a2－5a≥0，解得a≤0或a≥5.
【解析】
AB
三、 填空题
9．甲、乙、丙三人参加数学知识应用能力比赛，他们分别来自A、B、C三个学校，并分别获得第一、二、三名．已知：①甲不是A校选手；②乙不是B校选手；③A校选手不是第一名；④B校选手获得第二名；⑤乙不是第三名．根据上述情况，可判断出丙是_____校选手，他获得的是第______名．
A
【解析】
三
因为乙不是B校选手且B校选手获得第二名，所以乙不是第二名．又因为乙不是第三名，所以乙是第一名．
因为乙不是B校选手且A校选手不是第一名，所以乙是C校选手．
因为甲不是A校选手，所以甲是B校选手，故丙是A校选手．因为B校选手获得第二名，所以甲是第二名，故丙是第三名．
10．已知“ x∈R，ax2＋1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是______________．
[0，＋∞)
【解析】
因为命题“ x∈R，ax2＋1＜0”为假命题，则命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题．
11．已知命题p： x∈R，a＜3x2 024＋1，若p为假命题，则实数a的取值范围是______________．
[1，＋∞)
【解析】
由题知命题“ x∈R，a≥3x2 024＋1”为真命题，等价于a≥(3x2 024＋1)min.因为x2 024≥0，当且仅当x＝0时等号成立，所以3x2 024＋1≥1，即(3x2 024＋1)min＝1，可得a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞).
【解答】
【解答】
13．已知m∈R，命题p： x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立；命题q： x∈[－1，1]，使得m≤x成立．
(1) 若p为真命题，求实数m的取值范围；
【解答】
x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立，令f(x)＝－3x＋1(－1≤x≤1)，则f(x)min≥m2－3m，当x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(1)＝－2，则m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，当p为真命题时，实数m的取值范围是[1，2].
13．已知m∈R，命题p： x∈[－1，1]，不等式－3x＋1≥m2－3m恒成立；命题q： x∈[－1，1]，使得m≤x成立．
(2) 若q和p一真一假，求实数m的取值范围．
【解答】
若q为真命题，则m≤xmax，即m≤1.
综上所述，实数m的取值范围为(－∞，1)∪(1，2].
【解答】
由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，而函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，则ymax＝－3，所以a≥－3，所以实数a的最小值为－3.
【解答】
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