2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（原卷版）
一、 单项选择题
1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是( )
A．＞ B．a2＜b2
C．＜ D．a3＜b3
2．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是( )
A．＞ B．＞
C．＜ D．a2＞c2
3．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为( )
A．1 B．3
C．8 D．9
4．已知x＞0，y＞0，且＋＝，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－4，6) B．(－3，0)
C．(－4，1) D．(1，3)
5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)＝若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为( )
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
二、 多项选择题
6．下列结论中，正确的有( )
A．若a＞b，则＞
B．若ab＝4，则a2＋b2≥8
C．若a＞b，则ab＜a2
D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有( )
A．(a＋2b)2≥8ab B．＋≥2
C．ab有最大值4 D．＋有最小值9
8．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则( )
A．ab的最大值为
B．a＋b的最小值为1
C．a2＋b2的最小值为
D．的最小值为
三、 填空题
9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是___．
10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为___．
11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则＋的最小值为____．
四、 解答题
12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.
(1) 求ab的最大值，并求此时a，b的值；
(2) 求a的最大值，并求此时a，b的值．
13．已知a＞1，b＞2.
(1) 若(a－1)(b－2)＝4，求＋的最小值及此时a，b的值；
(2) 若2a＋b＝6，求＋的最小值及此时a，b的值；
(3) 若＋＝1，求＋的最小值及此时a，b的值．
14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1) 要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2) 设备占地面积x为多少时，y的值最小？
2025高考数学一轮复习-第4讲-不等式的性质、基本不等式-专项训练（解析版）
一、 单项选择题
1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是( D )
A．＞ B．a2＜b2
C．＜ D．a3＜b3
【解析】对于A，取a＝－1，b＝1，则＜，A错误；对于B，取a＝－1，b＝1，则a2＝b2，B错误；对于C，取a＝－1，b＝1，则＝，C错误；对于D，由a＜b，可得b3－a3＝(b－a)·(b2＋ab＋a2)＝(b－a)＞0，所以a3＜b3，D正确．
2．已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是( A )
A．＞ B．＞
C．＜ D．a2＞c2
【解析】对于A，因为a＞b＞0＞c，所以＞0＞，故A正确；对于B，因为函数y＝在R上单调递减，且a＞c，所以＜，故B错误；对于C，因为a＞0＞c，则＞0＞，故C错误；对于D，若a＝1，c＝－2，满足a＞0＞c，但a2＜c2，故D错误．
3．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为( D )
A．1 B．3
C．8 D．9
【解析】由题可知两条直线的斜率一定存在，因为两直线垂直，所以斜率乘积为－1，即－×＝－1，即2a＋b＝ab，整理得＋＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)·＝＋1＋4＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．因此a＋2b的最小值为9.
4．已知x＞0，y＞0，且＋＝，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是( C )
A．(－4，6) B．(－3，0)
C．(－4，1) D．(1，3)
【解析】因为x＞0，y＞0，且＋＝，所以x＋2＋y＝(x＋2＋y)＝≥＝6，当且仅当＝，即y＝3，x＝1时取等号，所以x＋y≥4.因为x＋y＞m2＋3m恒成立，所以m2＋3m＜4，即(m－1)(m＋4)＜0，解得－4＜m＜1.所以实数m的取值范围是(－4，1).
5．(2023·深圳罗湖期末)某科技企业开发生产一种智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元．其中ω(x)＝若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为( C )
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
【解析】该企业每年利润为f(x)＝当0＜x≤40时，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，当x＝30时，f(x)取得最大值875；当x＞40时，f(x)＝920－≤920－2＝720，当且仅当x＝100时等号成立，即在x＝100时，f(x)取得最大值720.由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．
二、 多项选择题
6．下列结论中，正确的有( BD )
A．若a＞b，则＞
B．若ab＝4，则a2＋b2≥8
C．若a＞b，则ab＜a2
D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
【解析】对于A，若c＝0，则，无意义，故A错误；对于B，若ab＝4，则a2＋b2≥2ab＝8，当且仅当a＝b＝±2时等号成立，故B正确；对于C，由于不确定a的符号，故无法判断，例如a＝0，b＝－1，则ab＝a2＝0，故C错误；对于D，若a＞b，c＞d，则－d＞－c，所以a－d＞b－c，故D正确．
7．(2023·曲靖一模)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有( AC )
A．(a＋2b)2≥8ab B．＋≥2
C．ab有最大值4 D．＋有最小值9
【解析】对于A，(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4ab≥2·a·2b＋4ab＝8ab，故A正确；对于B，找反例，当a＝b＝2时，＋＝，2＝4，＋＜2，故B错误；对于C，因为a＋b＝4≥2，所以ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故C正确；对于D，＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故D错误．
8．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则( ACD )
A．ab的最大值为
B．a＋b的最小值为1
C．a2＋b2的最小值为
D．的最小值为
【解析】对于A，a＞0，b＞0，2≤a＋2b＝2 ab≤，当且仅当a＝1，b＝时取等号，故A正确；对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；对于C，a2＋b2＝(2－2b)2＋b2＝5b2－8b＋4＝5＋≥，当且仅当a＝，b＝时取等号，故C正确；对于D，＝＝＝＋＝·(a＋2b)·＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，故D正确．
三、 填空题
9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__．
【解析】因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b的取值范围是[6，19].
10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为__6__．
【解析】因为ab＝a＋b＋3≤(a＋b)2，所以(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b－6)(a＋b＋2)≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2.因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥6(当且仅当a＝b＝3时取等号).
11．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则＋的最小值为__8__．
【解析】＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故＋的最小值为8.
四、 解答题
12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.
(1) 求ab的最大值，并求此时a，b的值；
【解答】由不等式4a2＋b2≥4ab，解得ab≤，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为，此时a＝，b＝1.
(2) 求a的最大值，并求此时a，b的值．
【解答】 由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3.由4a2＋(1＋b2)≥2＝4a，得a≤，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝，b＝时取等号，所以a的最大值为，此时a＝，b＝.
13．已知a＞1，b＞2.
(1) 若(a－1)(b－2)＝4，求＋的最小值及此时a，b的值；
【解答】因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以＋＝(a－1)(b－2)＝[(b－2)＋(a－1)]≥×2＝1，当且仅当即a＝3，b＝4时等号成立，所以＋的最小值为1，此时a＝3，b＝4.
(2) 若2a＋b＝6，求＋的最小值及此时a，b的值；
【解答】 由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋＝1，所以＋＝×＝＋＋≥，当且仅当即a＝3－，b＝2时等号成立，所以＋的最小值为，此时a＝3－，b＝2.
(3) 若＋＝1，求＋的最小值及此时a，b的值．
【解答】 因为b＞2，由＋＝1，可得a＝，所以a－1＝，所以＋＝b－2＋＋1≥3，当且仅当a＝，b＝3时等号成立，所以＋的最小值为3，此时a＝，b＝3.
14．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝(x＞0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元)．
(1) 要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
【解答】由题意得y＝0.2x＋(x＞0).由y≤7.2，得0.2x＋≤7.2，整理得x2－31x－220≤0，解得11≤x≤20，即设备占地面积x的取值范围为[11，20].
(2) 设备占地面积x为多少时，y的值最小？
【解答】y＝0.2x＋＝＋－1≥2－1＝7，当且仅当＝，即x＝15时等号成立. 所以设备占地面积为15平方米时，y的值最(共53张PPT)
第4讲 不等式的性质、基本不等式
第一章
集合与常用逻辑用语、不等式
激 活 思 维
【解析】
对于A，c2＝0时不成立；
对于B，因为a＞b＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，所以a2＞b2，所以B成立；
对于C，因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞b2，所以C不成立；
B
【解析】
|a|＜|b|，B错误；
a3＞b3，C正确；
函数y＝2x在R上单调递增，所以2a＞2b，故D正确．
ACD
C
【解析】
【解析】
5．用一段长为 30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长
18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为____m时，菜园面积最大，最大面积是_____ m2.
【解析】
15
1．两个实数比较大小的方法
聚 焦 知 识
2．不等式性质
3．基本不等式：
a＝b
(1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一定成立的是 ( )
A．ac(a－c)＞0 B．c(b－a)＜0
C．cb2＜ab2 D．ab＞ac
不等式的性质
举 题 说 法
1
【解析】
BCD
因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0，所以ac(a－c)＜0，c(b－a)＜0，cb2＜ab2，ab＞ac.
【解析】
B
1
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.
综上，p≤q.
【解析】
1
【解析】
对于A，ac2－bc2＝c2(a－b).因为b＜a＜0，所以a－b＞0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，即bc2≤ac2，故A错误．
【答案】BD
【解析】
利用基本不等式求最值
2
【答案】BC
因为实数a，b＞0，2a＋b＝4，所以ln a＋ln b＝ln (ab)＝ln [a(4－2a)]＝ln [－2(a－1)2＋2]，当a＝1＞0，b＝2＞0时，ln a＋ln b有最大值ln 2，因此D不正确．
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
A
【解析】
【答案】BD
利用基本不等式解恒成立问题
3
【解析】
4
【解析】
【答案】C
随 堂 练习
【解析】
D
2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站______处． ( )
A．4 km B．5 km C．6 km D．7 km
B
【解析】
3．(多选)下列结论正确的是 ( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞|b|，则a2＞b2
C．若a＞b，则a3＞b3 D．若|a|＞b，则a2＞b2
BC
【解析】
对于A，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错误；
对于B，若a＞|b|，则a＞0，故|a|＞|b|，两边平方，可得a2＞b2，故B正确；
对于C，因为y＝x3在R上单调递增，所以若a＞b，则a3＞b3，故C正确；
对于D，若|a|＞b，不妨设a＝0，b＝－2，显然不满足a2＞b2，故D错误．
【解析】
【答案】AC
配套精练
一、 单项选择题
1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是 ( )
D
【解析】
对于B，取a＝－1，b＝1，则a2＝b2，B错误；
【解析】
A
对于D，若a＝1，c＝－2，满足a＞0＞c，但a2＜c2，故D错误．
3．已知a＞0，b＞0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为 ( )
A．1 B．3
C．8 D．9
D
【解析】
A．(－4，6) B．(－3，0) C．(－4，1) D．(1，3)
【解析】
C
因为x＋y＞m2＋3m恒成立，所以m2＋3m＜4，即(m－1)(m＋4)＜0，解得－4＜m＜1.所以实数m的取值范围是(－4，1).
【解析】
【答案】C
当0＜x≤40时，f(x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，当x＝30时，f(x)取得最大值875；
由875＞720，可得该企业每年利润的最大值为875万元．
二、 多项选择题
6．下列结论中，正确的有( )
BD
【解析】
对于B，若ab＝4，则a2＋b2≥2ab＝8，当且仅当a＝b＝±2时等号成立，故B正确；
对于C，由于不确定a的符号，故无法判断，例如a＝0，b＝－1，则ab＝a2＝0，故C错误；
对于D，若a＞b，c＞d，则－d＞－c，所以a－d＞b－c，故D正确．
7．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有( )
【解析】
对于A，(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4ab≥2·a·2b＋4ab＝8ab，故A正确；
AC
8．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝2，则 ( )
【解析】
对于B，a＋b＝2－b，a＝2－2b.因为a＞0，b＞0，所以0＜b＜1，1＜a＋b＜2，故B错误；
【答案】ACD
三、 填空题
9．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是_____________．
[6，19]
【解析】
因为3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a＋b)≤3，由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b的取值范围是[6，19].
10．已知a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为_____.
6
【解析】
【解析】
8
四、 解答题
12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.
(1) 求ab的最大值，并求此时a，b的值；
【解答】
四、 解答题
12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2.
【解答】
13．已知a＞1，b＞2.
【解答】
13．已知a＞1，b＞2.
【解答】
13．已知a＞1，b＞2.
【解答】
【解答】
(1) 要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
【解答】
(2) 设备占地面积x为多少时，y的值最小？
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