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第5讲 一元二次不等式
第一章
集合与常用逻辑用语、不等式
1．不等式3x2－7x≤10的解集为__________．
激 活 思 维
2．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为______．
3．已知不等式ax2＋bx－1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a＝________，b＝______．
4．若不等式x2－2x＋k2－2＞0对于任意的x∈[2，＋∞)恒成立，则k的取值范围是__________________________.
【解析】
5．如图，在长为8m，宽为 6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度的取值范围是___________(单位：m).
[1，3)
【解析】
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集
设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表：
聚 焦 知 识
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
{x|x＜x1或x＞x2}
R
{x|x1＜x＜x2}
2．与一元二次不等式有关的恒成立问题
解下列关于x的不等式．
(1) －6x2－5x＋1＜0；
解不等式
举 题 说 法
1
【解答】
解下列关于x的不等式．
(2) ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)；
【解答】
1
若a＝0，原不等式转化为－x＋1＜0，即x＞1.
【解答】
1
解下列关于x的不等式．
【解析】
1
解下列关于x的不等式．
三个二次之间的关系
2
【解析】
【答案】D
【解析】
D
2．若不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2，1)，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为 ( )
A
B
C
D
【解析】
【答案】C
3．若关于实数x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－2，1)，则不等式a(x2＋1)＋b(x＋1)＋c＜3ax的解集为 ( )
A．(0，2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
【解析】
D
4．已知二次函数y＝x2－2ax＋b2的最小值为0，若关于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集为(t，t＋4)，则实数c的值为_____．
【解析】
4
(1) 如果关于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为____________．
一元二次不等式恒成立问题
3
【解析】
[0，4]
(2) 若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为_______．
【解析】
－4
3
(3) 若命题“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题则
实数x的取值范围为__________________．
【解析】
3
命题“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，则其否定为真命题，即“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．
变式 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
【解答】
(1) 因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2].
变式 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
【解答】
由题意原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2]).
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
变式 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(3) 当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．
【解答】
随 堂练习
【解析】
A
【解析】
D
【解析】
【答案】C
【解析】
A
【解析】
[3，5]
配套精练
一、 单项选择题
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 ( )
A．(－2，1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．[－2，1]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
A
【解析】
结合图象易知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2，1).
2．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，则k的取值范围是 ( )
A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
A
【解析】
因为不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，所以Δ＝k2－4≤0，解得－2≤k≤2.
3．不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集为 ( )
A
【解析】
4．当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)
C．[－2，2] D．(2，＋∞)
【解析】
设f(x)＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.
【答案】A
综上所述，实数m的取值范围是(－2，2).
【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】BC
不等式cx2＋bx＋a＞0即为cx2－4cx＋3c＞0 x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜3，故D错误．
【解析】
【答案】AC
对于A，因为x2－3x＋2＜0 (x－2)(x－1)＜0 1＜x＜2，故A正确；
对于C，因为(x＋a)(x－1)＜0的解集为(1，3)，所以a＝－3，故C正确；
对于D，因为x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＜0，所以当a＝1时，不等式的解集为 ，当a＜1时，不等式的解集为(a，1)，当a＞1时，不等式的解集为(1，a)，故D错误．
【解析】
x2－4ax＋3a2＝(x－a)(x－3a)＜0，由于a＜0，所以不等式的解集为(3a，a)，所以x1＝3a，x2＝a，故C错误；
【答案】AB
【解析】
(－∞，－1)∪(1，5)
10．已知f(x)＝x2－x＋1，当x∈[－1，2]时，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，则实数m的取值范围为____________．
【解析】
由题意可得x2－x＋1＞2x＋m对任意的x∈[－1，2]恒成立，即m＜x2－3x＋1对任意的x∈[－1，2]恒成立．
11．已知任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________________________．
(－∞，1)∪(3，＋∞)
【解析】
四、 解答题
12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).
(1) 求a，b的值；
【解答】
四、 解答题
12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).
【解答】
依题意有(2x＋y)min≥k2＋k＋2，即8≥k2＋k＋2，即k2＋k－6≤0，所以－3≤k≤2，所以k的取值范围为[－3，2].
13．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4.
(1) 求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集；
【解答】
由已知易得f(x)≥4＋2a即为x2－(a－2)x－2a≥0.
令x2－(a－2)x－2a＝0，可得x＝－2或x＝a，所以当a＜－2时，原不等式的解集为(－∞，a]∪[－2，＋∞)；当a＝－2时，原不等式的解集为R；当a＞－2时，原不等式的解集为(－∞，－2]∪[a，＋∞).
13．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4.
(2) 若对任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】
14．设f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1) 若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
【解答】
x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于 x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0.
14．设f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(2) 解关于x的不等式f(x)＜a－1(a∈R).
【解答】
依题意，f(x)＜a－1，可化为ax2＋(1－a)x－1＜0.
当a＝0时，可得x＜1；
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-第5讲-一元二次不等式-专项训练（原卷版）
一、 单项选择题
1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )
A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
2．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，则k的取值范围是( )
A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
3．不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集为( )
A．
B．
C．∪[1，＋∞)
D．(－∞，1]∪
4．当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)
C．[－2，2] D．(2，＋∞)
5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋4＞0的解集为(－∞，m)∪，其中m＜0，则＋的最小值为( )
A．－4 B．4
C．5 D．8
二、 多项选择题
6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a＞0
B．c＜0
C．a＋b＞0
D．关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(－3，－1)
7．下列说法正确的是( )
A．不等式x2－3x＋2＜0的解集为(1，2)
B．不等式－2x2－x＋6≤0的解集为
C．若关于x的不等式(x＋a)(x－1)＜0的解集为(1，3)，则a＝－3
D．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为(a，1)
8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(x1，x2)，则( )
A．x1x2＋x1＋x2＜0的解集为
B．x1x2＋x1＋x2的最小值为－
C．不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(a，3a)
D．x1＋x2＋的最小值为
三、 填空题
9．不等式＞x的解集是_．
10．已知f(x)＝x2－x＋1，当x∈[－1，2]时，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，则实数m的取值范围为___．
11．已知任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为__．
四、 解答题
12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).
(1) 求a，b的值；
13．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4.
(1) 求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集；
(2) 若对任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围．
14．设f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1) 若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 解关于x的不等式f(x)＜a－1(a∈R).
2025高考数学一轮复习-第5讲-一元二次不等式-专项训练（解析版）
一、 单项选择题
1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( A )
A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
【解析】结合图象易知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－2，1).
2．若不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，则k的取值范围是( A )
A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．(－2，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】因为不等式x2＋kx＋1＜0的解集为空集，所以Δ＝k2－4≤0，解得－2≤k≤2.
3．不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集为( A )
A．
B．
C．∪[1，＋∞)
D．(－∞，1]∪
【解析】原不等式可以转化为(x－1)(ax－2)≥0，因为a＜0，所以(x－1)≤0，解得≤x≤1，故该不等式的解集为.
4．当－2≤x≤2时，不等式x2－mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为( A )
A．(－2，2) B．(－∞，－2)
C．[－2，2] D．(2，＋∞)
【解析】设f(x)＝x2－mx＋1，其中－2≤x≤2.①当≤－2，即m≤－4时，函数f(x)在区间[－2，2]上单调递增，则f(x)min＝f(－2)＝2m＋5＞0，解得m＞－，此时m不存在；②当－4＜m＜4时，f(x)min＝f＝1－＞0，解得－2＜m＜2；③当≥2，即m≥4时，函数f(x)在区间[－2，2]上单调递减，则f(x)min＝f(2)＝－2m＋5＞0，解得m＜，此时m不存在．综上所述，实数m的取值范围是(－2，2).
5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋4＞0的解集为(－∞，m)∪，其中m＜0，则＋的最小值为( C )
A．－4 B．4
C．5 D．8
【解析】由ax2＋bx＋4＞0的解集为(－∞，m)∪，知a＞0，且m，是方程ax2＋bx＋4＝0的两根．由m＜0，m≤，得m≤－2.由根与系数的关系知解得a＝1，b＝(－m)＋≥4，当且仅当m＝－2时等号成立，故＋＝b＋.设f(b)＝b＋(b≥4)，则函数f(b)在b∈[4，＋∞)上单调递增，所以f(b)min＝f(4)＝4＋＝5.所以＋的最小值为5.
二、 多项选择题
6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是( BC )
A．a＞0
B．c＜0
C．a＋b＞0
D．关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(－3，－1)
【解析】由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，可知a＜0，且和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系可得解得a＝3c，b＝－4c，a＜0，c＜0，a＋b＝－c＞0，故A错误，B正确，C正确．不等式cx2＋bx＋a＞0即为cx2－4cx＋3c＞0 x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜3，故D错误．
7．下列说法正确的是( AC )
A．不等式x2－3x＋2＜0的解集为(1，2)
B．不等式－2x2－x＋6≤0的解集为
C．若关于x的不等式(x＋a)(x－1)＜0的解集为(1，3)，则a＝－3
D．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为(a，1)
【解析】对于A，因为x2－3x＋2＜0 (x－2)(x－1)＜0 1＜x＜2，故A正确；对于B，由－2x2－x＋6≤0，得2x2＋x－6＝(2x－3)(x＋2)≥0，解得x≤－2或x≥，故B错误；对于C，因为(x＋a)(x－1)＜0的解集为(1，3)，所以a＝－3，故C正确；对于D，因为x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＜0，所以当a＝1时，不等式的解集为 ，当a＜1时，不等式的解集为(a，1)，当a＞1时，不等式的解集为(1，a)，故D错误．
8．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(x1，x2)，则( AB )
A．x1x2＋x1＋x2＜0的解集为
B．x1x2＋x1＋x2的最小值为－
C．不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集为(a，3a)
D．x1＋x2＋的最小值为
【解析】x2－4ax＋3a2＝(x－a)(x－3a)＜0，由于a＜0，所以不等式的解集为(3a，a)，所以x1＝3a，x2＝a，故C错误；对于A，x1x2＋x1＋x2＝3a2＋4a＝a(3a＋4)＜0，解得－＜a＜0，即不等式x1x2＋x1＋x2＜0的解集为，故A正确；对于B，x1x2＋x1＋x2＝3a2＋4a，令y＝3a2＋4a(a＜0)，y＝3a2＋4a(a＜0)的图象的开口向上，对称轴为a＝－＝－，所以当a＝－时，y＝3a2＋4a取得最小值为3×＋4×＝－，故B正确；对于D，x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋＜0，故D错误．
三、 填空题
9．不等式＞x的解集是__(－∞，－1)∪(1，5)__．
【解析】由题得－x＞0，即＞0，即－＞0，则(x－1)(x＋1)·(x－5)＜0，根据穿根法解得x∈(－∞，－1)∪(1，5).
10．已知f(x)＝x2－x＋1，当x∈[－1，2]时，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，则实数m的取值范围为____．
【解析】由题意可得x2－x＋1＞2x＋m对任意的x∈[－1，2]恒成立，即m＜x2－3x＋1对任意的x∈[－1，2]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1＝－，x∈[－1，2]，则g(x)min＝g＝－，所以m＜－.
11．已知任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为__(－∞，1)∪(3，＋∞)__．
【解析】令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立转化为f(a)＞0在a∈[－1，1]上恒成立，可得即整理得解得x＜1或x＞3.
四、 解答题
12．已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)(b＞1).
(1) 求a，b的值；
【解答】因为不等式ax2－3x＋2＞0的解集为(－∞，1)∪(b，＋∞)，所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a＞0，所以解得或(舍去).
(2) 当x＞0，y＞0，且满足＋＝1时，有2x＋y≥k2＋k＋2恒成立，求k的取值范围．
【解答】 由(1)知a＝1，b＝2，于是＋＝1，2x＋y＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，＋＝1，即时等号成立. 依题意有(2x＋y)min≥k2＋k＋2，即8≥k2＋k＋2，即k2＋k－6≤0，所以－3≤k≤2，所以k的取值范围为[－3，2].
13．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4.
(1) 求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集；
【解答】由已知易得f(x)≥4＋2a即为x2－(a－2)x－2a≥0.令x2－(a－2)x－2a＝0，可得x＝－2或x＝a，所以当a＜－2时，原不等式的解集为(－∞，a]∪[－2，＋∞)；当a＝－2时，原不等式的解集为R；当a＞－2时，原不等式的解集为(－∞，－2]∪[a，＋∞).
(2) 若对任意的x∈[1，6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】 由f(x)－2a＋14≥0，可得a(x＋2)≤x2＋2x＋18.由1≤x≤6，得x＋2＞0，所以a≤.因为＝x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝6－2，当且仅当x＋2＝，即x＝3－2时等号成立，所以a≤6－2，所以实数a的取值范围是(－∞，6－2].
14．设f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1) 若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
【解答】 x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于 x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0.当a＝0时，x≥0，不满足题意，则a≠0，此时必有即解得a≥，所以实数a的取值范围是.
(2) 解关于x的不等式f(x)＜a－1(a∈R).
【解答】 依题意，f(x)＜a－1，可化为ax2＋(1－a)x－1＜0.当a＝0时，可得x＜1；当a＞0时，可得(x－1)＜0，又－＜1，解得－＜x＜1；当a＜0时，不等式ax2＋(1－a)x－1＜0可化为(x－1)＞0，当a＝－1时，－＝1，解得x≠1，当－1＜a＜0时，－＞1，解得x＜1或x＞－，当a＜－1时，0＜－＜1，解得x＜－或x＞1.综上，当a＞0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜1}；当－1＜a＜0时，原不等式的解集为；当a＝－1时，原不等式的解集为{x∈R|x≠1}；当a＜－1时，原不等式的解集为
