2025高考数学一轮复习-第16讲-导数与函数的极值、最值-专项训练【原卷版】
1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知函数f(x)＝(x2－a)ex ，则“a≥－1”是“f(x)有极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设函数f(x)＝，若f(x)的极小值为，则a＝( )
A．－ B．
C． D．2
4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x＝( )
A． B．
C． D．
5．设函数f(x)＝若函数存在最大值，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a＜1
C．a≤ D．a＜
6．(多选)若函数f(x)＝2x3－ax2(a<0)在上有最大值，则a的取值可能为( )
A．－6 B．－5
C．－4 D．－3
7．(多选)已知函数f(x)＝x＋sin x－xcos x的定义域为[－2π，2π)，则( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)在[0，π)上单调递增
C．f(x)恰有4个极大值点
D．f(x)有且仅有4个极值点
8．已知函数f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数，则函数f(x)的最小值为________，最大值为________．
9．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－xln x存在两个极值点，则实数a的取值范围是________．
10．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
11．关于x的不等式2sin3xcos x－a≤0在x∈(0，π)恒成立，则实数a的最小值为( )
A．－ B．0
C．1 D．
12．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
13．有三个条件：①函数f(x)的图象过点(0,1)，且a＝1；②f(x)在x＝1时取得极大值；③函数f(x)在x＝3处的切线方程为4x－2y－7＝0，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题．
题目：已知函数f(x)＝x3＋x2＋2x＋b存在极值，并且________．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,3]时，求函数f(x)的最值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
14．(多选)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．f(a)＜f(b)＜f(c)
B．f(e)＜f(d)＜f(c)
C．x＝c时，f(x)取得最大值
D．x＝d时，f(x)取得最小值
15．设函数f(x)＝ln x＋x2＋2ax＋1．
(1)当a＝－时，求f(x)的极值；
(2)判断函数f(x)在(a＋2，＋∞)上是否存在极值．若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
2025高考数学一轮复习-第16讲-导数与函数的极值、最值-专项训练【解析版】
1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：A f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，当x＝1时导函数值为0，但在此零点两侧导函数均大于0，所以此处不是函数的极值点，所以函数极值点个数为0．
2．已知函数f(x)＝(x2－a)ex ，则“a≥－1”是“f(x)有极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B f′(x)＝(x2＋2x－a)ex＝0，x2＋2x－a＝0，Δ＝4＋4a．若Δ＝4＋4a≤0，a≤－1，则f′(x)＝(x2＋2x－a)ex≥0恒成立，f(x)为增函数，无极值；若Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1，则f(x)有两个极值．所以“a≥－1”是“f(x)有极值”的必要不充分条件．故选B．
3．设函数f(x)＝，若f(x)的极小值为，则a＝( )
A．－ B．
C． D．2
解析：B 由已知得f′(x)＝(x≠－a)，令f′(x)＝0，有x＝1－a，且当x＜1－a时函数f(x)单调递减，当x＞1－a时函数f(x)单调递增，∴f(x)的极小值为f(1－a)＝e1－a＝，即1－a＝，得a＝．故选B．
4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x＝( )
A． B．
C． D．
解析：C 由题中图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，所以1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2，x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1·x2＝，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2×＝．
5．设函数f(x)＝若函数存在最大值，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a＜1
C．a≤ D．a＜
解析：C 显然x＜a时，f(x)＜a无最大值，x≥a时，f(x)＝存在最大值，f′(x)＝，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)递增，当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)递减，所以x＝1时，f(x)取得极大值也是最大值．f(1)＝，因此f(x)要有最大值，必须满足所以a≤．故选C．
6．(多选)若函数f(x)＝2x3－ax2(a<0)在上有最大值，则a的取值可能为( )
A．－6 B．－5
C．－4 D．－3
解析：ABC 令f′(x)＝2x(3x－a)＝0，得x1＝0，x2＝(a<0)，当0时，f′(x)>0，则f(x)的增区间为，(0，＋∞)，减区间为， 从而f(x)在x＝处取得极大值f＝－，由f(x)＝－，得2＝0，解得x＝或x＝－，又f(x)在上有最大值，所以<≤－，即a≤－4，故选A、B、C．
7．(多选)已知函数f(x)＝x＋sin x－xcos x的定义域为[－2π，2π)，则( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)在[0，π)上单调递增
C．f(x)恰有4个极大值点
D．f(x)有且仅有4个极值点
解析：BD 因为f(x)的定义域为[－2π，2π)，所以f(x)是非奇非偶函数．f′(x)＝1＋cos x－(cos x－xsin x)＝1＋xsin x，当x∈[0，π)时，f′(x)>0，则f(x)在[0，π)上单调递增，显然f′(0)≠0，令f′(x)＝0，得sin x＝－，在同一坐标系中分别作出y＝sin x，y＝－在区间[－2π，2π)上的图象如图所示，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点，故选B、D．
8．已知函数f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数，则函数f(x)的最小值为________，最大值为________．
解析：f′(x)＝－e－x－ex＝－．当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上单调递减．故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0．即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0．
答案：e－a－ea 0
9．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－xln x存在两个极值点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数的定义域为(0，＋∞)，由题意得f′(x)＝3ax2－x－ln x，因为函数f(x)有两个极值点，所以f′(x)有两个变号零点．由f′(x)＝0得3ax2＝x＋ln x，即3a＝，令g(x)＝，则g′(x)＝，易知函数y＝－x＋1－2ln x是减函数，且当x＝1时，y＝0，所以当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．故g(x)max＝g(1)＝1，又当0＜x＜时，g(x)＜0，当x＞1时，g(x)＞0，所以要使f′(x)有两个零点，需0＜3a＜1，即0＜a＜．
答案：
10．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
x (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ln 2－1 ?
故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，若x∈，则f′(x)>0，
若x∈，则f′(x)<0，
故函数在x＝处有极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝．
11．关于x的不等式2sin3xcos x－a≤0在x∈(0，π)恒成立，则实数a的最小值为( )
A．－ B．0
C．1 D．
解析：D 依题意，令f(x)＝2sin3xcos x，所以f′(x)＝6sin2xcos2x－2sin4x＝2sin2x(3cos2x－sin2x)＝2sin2x(4cos2x－1)，又x∈(0，π)，令f′(x)＝0，可得cos x＝±，所以x＝或x＝，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)＝2sin3xcos x在x∈单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，所以f(x)＝2sin3xcos x在x∈单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)＝2sin3xcos x在x∈单调递增，所以当x＝时，函数取最大值为f＝，所以实数a的最小值为．故选D．
12．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若该商品的成本为3元/千克，则当销售价格为________元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解析：商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，f′(x)＝10＝30(x－4)·(x－6)．令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)．故当x∈(3,4)时f′(x)＞0，当x∈(4,6)时f′(x)＜0．则函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，∴当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42．故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
`答案：4
13．有三个条件：①函数f(x)的图象过点(0,1)，且a＝1；②f(x)在x＝1时取得极大值；③函数f(x)在x＝3处的切线方程为4x－2y－7＝0，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题．
题目：已知函数f(x)＝x3＋x2＋2x＋b存在极值，并且________．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,3]时，求函数f(x)的最值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解：选①：(1)f(0)＝b＝1，所以a＝b＝1，故f(x)＝x3＋x2＋2x＋1．
(2)由(1)知f′(x)＝x2＋x＋2＝2＋＞0，
所以f(x)单调递增，故f(x)max＝f(3)＝，f(x)min＝f(1)＝．
选②：(1)因为f(x)＝x3＋x2＋2x＋b，所以f′(x)＝x2＋ax＋2，
由题意知
解得
故f(x)＝x3－x2＋2x＋1，
经检验f(x)在x＝1时取得极大值，故符合题意，所以f(x)＝x3－x2＋2x＋1．
(2)由(1)知f′(x)＝x2－3x＋2，令f′(x)＝x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，
所以x∈[1,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(2,3]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，则f(1)＝－＋2＋1＝，f(2)＝×23－×22＋2×2＋1＝，f(3)＝×33－×32＋2×3＋1＝，所以f(x)min＝，f(x)max＝．
选③：(1)由题意知又因为f′(x)＝x2＋ax＋2，
所以
解得
所以f(x)＝x3－x2＋2x＋1．
(2)由(1)知，f′(x)＝x2－3x＋2，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝2，所以x∈[1,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(2,3]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
又因f(1)＝，f(2)＝，f(3)＝，
所以f(x)max＝f(3)＝，
f(x)min＝f(2)＝．
14．(多选)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．f(a)＜f(b)＜f(c)
B．f(e)＜f(d)＜f(c)
C．x＝c时，f(x)取得最大值
D．x＝d时，f(x)取得最小值
解析：AB 由f′(x)图象可知，当x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(c，e)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上单调递增，在(c，e)上单调递减．对于A，∵a＜b＜c，∴f(a)＜f(b)＜f(c)，A正确；对于B，∵c＜d＜e，∴f(e)＜f(d)＜f(c)，B正确；对于C，由单调性知f(c)为极大值，当x＞e时，可能存在f(x0)＞f(c)，C错误；对于D，由单调性知f(e)＜f(d)，D错误．故选A、B．
15．设函数f(x)＝ln x＋x2＋2ax＋1．
(1)当a＝－时，求f(x)的极值；
(2)判断函数f(x)在(a＋2，＋∞)上是否存在极值．若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－时，函数f(x)＝ln x＋x2－3x＋1(x＞0)．
对f(x)求导，得f′(x)＝＋2x－3＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝．
当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0．
所以函数f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
于是f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为f(1)＝－1，在x＝处取得极大值，且极大值为f＝ln－，
所以函数f(x)的极大值为ln －，极小值为－1．
(2)存在．
对f(x)求导，得f′(x)＝＋2x＋2a＝(x＞0)．
令f′(x)＝0，即2x2＋2ax＋1＝0，令g(x)＝2x2＋2ax＋1，则函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝－．
因为a＋2≥0，所以a≥－2．
①当－≤a＋2，即a≥－时，
g(a＋2)＝2(a＋2)2＋2a(a＋2)＋1＝4a2＋12a＋9＞0恒成立，
所以f(x)在(a＋2，＋∞)上无极值．
②当－＞a＋2，即a＜－时，则－2≤a＜－，g＝2×＋2a＋1＝－＋1．
当－＋1≥0时，有－≤a≤，即－≤a＜－时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(a＋2，＋∞)上无极值．
当－＋1＜0时，有a＜－或a＞，又－2≤a＜－，所以－2≤a＜－，因为g(a＋2)＝4a2＋12a＋9≥0，g＝－＋1＜0，当x→＋∞时，g(x)＞0，
所以存在x1∈，使得f′(x1)＝0，存在x2∈，使得f′(x2)＝0．
所以当x∈(a＋2，x1)时，f′(x)＞0；当x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0．
由此可知，当－2≤a＜－时，f(x)有极值．
综上所述，函数f(x)在(a＋2，＋∞)上存在极值，且实数a的取值范围为[－2，－)．(共68张PPT)
第16讲 导数与函数的极值、最值
第三章
一元函数的导数及其应用
1．(多选)下列四个函数在x＝0处取得极值的是 ( )
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
激 活 思 维
BC
【解析】
22
3．已知函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值点是_____，极小值点是_____．
【解析】
因为x2，x4处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f′(x)＞0，当x∈(x2，x3)时，f′(x)＜0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f′(x)＜0，当x∈(x4，x5)时，f′(x)＞0，所以x4是极小值点．
x2
x4
4．若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________ ____________．
【解析】
【解析】
【答案】
1．极值
(1) 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0为f(x)的____________；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)______f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0为f(x)的____________．极小值点与极大值点统称为__________，极大值与极小值统称为极值．
(2) 当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：
如果x＜x0有f′(x)______0，x＞x0有f′(x)______0，那么f(x0)是极大值．
如果x＜x0有f′(x)______0，x＞x0有f′(x)______0，那么f(x0)是极小值．
≤
聚 焦 知 识
极大值点
≥
极小值点
极值点
＜
＞
＞
＜
2．最值
在闭区间[a，b]上的____________一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的最小者．
3．常用结论
(1) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)；
(2) 给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
连续函数
求函数的极值
举 题 说 法
1
【解答】
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ ln 2－1 ↘
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．
【解答】
1
当a≤0时，f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)在定义域上无极值点；
变式 若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex-1的极值点，则f(x)的极大值为_________．
5e-3
【解析】
因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex-1，所以f′(x)＝ex-1[x2＋(a＋2)x＋a－1]，因为x＝1是函数f(x)的极值点，所以f′(1)＝0，即2a＋2＝0，解得a＝－1.
此时f′(x)＝ex-1(x2＋x－2)＝ex-1(x＋2)(x－1).由f′(x)＞0可得x＜－2或x＞1；由f′(x)＜0可得－2＜x＜1，故f(x)的极大值点为x＝－2，则f(x)的极大值为f(－2)＝(4＋2－1)e-3＝5e-3.
根据极值求参数
2
【解析】
f(x)＝(ax2＋x＋a)e－x的导数为f′(x)＝(2ax＋1)e－x－(ax2＋x＋a)e－x＝－e－x[ax2＋(1－2a)·x＋a－1]＝－e－x(x－1)·(ax＋1－a).
【答案】2
【解析】
－2
2
1．若x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
D
【解答】
f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex.令f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0.
设g(x)＝(x－1)(x－a).当a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值．当a＞1时，若x＞a或x＜1，则g(x)＞0，f′(x)＞0，若1＜x＜a，则g(x)＜0，f′(x)＜0，所以x＝1是函数f(x)的极大值点，不合题意．当a＜1时，若x＞1或x＜a，则f′(x)＞0，若a＜x＜1，则f′(x)＜0，所以x＝1是f(x)的极小值点，满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1).
【解析】
【答案】A
3．已知函数f(x)＝ex－e1-x－ax有两个极值点x1与x2，若f(x1)＋f(x2)＝－4，则实数a＝_____．(提示：e1－x1＝a－ex1，e1－x2＝a－ex2)
【解析】
因为函数f(x)＝ex－e1-x－ax有两个极值点x1与x2，所以f′(x)＝ex＋e1-x－a＝0，即(ex)2－aex＋e＝0有两根x1与x2，所以ex1＋ex2＝a，ex1·ex2＝ex1＋x2＝e，得x1＋x2＝1.
因为f(x1)＋f(x2)＝－4，所以(ex1＋ex2)－(e1－x1＋e1－x2)－a(x1＋x2)＝－4，又e1－x1＝a－ex1，e1－x2＝a－ex2，所以2(ex1＋ex2)－2a－a(x1＋x2)＝2a－2a－a＝－4，所以a＝4.
4
(1) 已知函数f(x)＝ex＋cos x－2，f′(x)为f(x)的导数．当x≥0时，求f′(x)和f(x)的最小值．
求函数的最值
【解答】
3-1
f′(x)＝ex－sin x，令g(x)＝ex－sin x，x≥0，则g′(x)＝ex－cos x≥1－cos x≥0，g(x)为增函数，故g(x)min＝g(0)＝1，即f′(x)的最小值为1，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(0)＝0.
【解析】
3-1
用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，则当高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？
【解析】
3-2
随 堂 练习
1．设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
(提示：直接画f(x)的图象) ( )
A．a＜b B．a＞b
C．ab＜a2 D．ab＞a2
D
【解析】
当a＞0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，观察可知b＞a.当a＜0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象如图(2)所示，观察可知a＞b.综上，ab＞a2.
图(1)
图(2)
2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝ ( )
【解析】
B
【解析】
A
D
【解析】
配套精练
练习1
A组 夯基精练
【解析】
当f′(x)＞0时，函数单调递增，当f′(x)＜0时，函数单调递减，根据极小值点的定义并结合导函数f′(x)在(a，b)内的图象知函数f(x)在开区间(a，b)内有1个极小值点.
一、 单项选择题
1．若函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A
【解析】
B
【解析】
C
【解析】
当a∈(0，1)时，由f′(x)＞0，可得0＜x＜a或x＞1，由f′(x)＜0，可得a＜x＜1，函数在x＝a处取得极大值；当a＝1时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值；
当a∈(1，＋∞)时，由f′(x)＞0，可得0＜x＜1或x＞a，由f′(x)＜0，可得1＜x＜a，函数在x＝a处取得极小值．
综上，a∈(0，1).
【答案】C
二、 多项选择题
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0 B．a＋b＝－7
C．f(x)一定有两个极值点 D．f(x)一定存在单调递减区间
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】BCD
三、 填空题
7．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝－1和x＝1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝_____．
1
【解析】
8．函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为_____．
1
【解析】
[－2，1)
【解析】
由于f′(x)＝－x2＋1，易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增.
四、 解答题
10．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．
(1) 求a；
【解答】
10．已知函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．
(2) 求f(x)的单调区间和极值．
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
(2) 设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数f(x)的图象上．设矩形ABCD的面积为S，求证：0＜S＜1.
【解答】
练习2
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是 ( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【解析】
【答案】
当x＜－2时，1－x＞0，(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当－2＜x＜1时，1－x＞0，(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当1＜x＜2时，1－x＜0，(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞2时，1－x＜0，(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2).
D
2．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为 ( )
A．2 B．4
C．6 D．2或6
【解析】
f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)·(3x－c)，则f′(2) ＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.
综上，c＝2.
【答案】
A
【解析】
C
4．函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为( )
【解析】
D
【解析】
【答案】
ACD
【解析】
6．已知函数f(x)＝x3－ax＋2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则( )
A．a的取值范围是[0，＋∞) B．x1x2＜0
C．f(x1)＞f(x2) D．f(x)的图象关于点(0，2)中心对称
由题可得f′(x)＝3x2－a＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝0＋12a＞0，所以a＞0，故A错误；
因为x1＜x2，且x1，x2为3x2－a＝0的两个根，所以由f′(x)＝3x2－a＞0得x＜x1或x＞x2，由f′(x)＝3x2－a＜0得x1＜x＜x2，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，所以f(x1)＞f(x2)成立，故C正确；
因为g(x)＝x3－ax为奇函数，所以g(x)＝x3－ax关于(0，0)对称，所以f(x)＝g(x)＋2＝x3－ax＋2关于(0，2)对称，故D正确．
【答案】
BCD
三、 填空题
7．若函数f(x)＝(2x＋1)ln x－ax是(0，＋∞)上的增函数，则实数a的最大值为___________．
4－2ln 2
【解析】
8．已知函数f(x)＝x2＋a ln (2x＋1)有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，则实数a的取值范围是________．
【解析】
100
【解析】
四、 解答题
10．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
(1) 试把方盒的容积V表示为x的函数；
【解答】
10．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
(2) 当x多大时，方盒的容积V最大？
【解答】
【解答】
【解答】
因为f(e)＝0，f(0)＝0，由(1)知当x∈[0，e]时，－1≤f(x)≤0.因为f′(e)＝1，所以曲线f(x)在点(e，0)处的切线方程为y＝x－e.
令g(x)＝x ln x－2x＋e(0＜x≤e)，则g′(x)＝ln x－1≤0，所以g(x)在(0，e]上单调递减，g(x)≥g(e)＝0，所以f(x)≥x－e，所以曲线y＝f(x)(0≤x≤e)在x轴、y轴、y＝－1和y＝x－e之间．
B组 滚动小练
12．已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)＞2的解集为_____________．
(1，＋∞)
【解析】
令g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x，定义域为R，且g(－x)＝e－x－ex＋2x＝－g(x)，所以g(x)＝f(x)－1＝ex－e－x－2x为奇函数．
13．设函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数．
(1) 求p的值；
【解答】
13．设函数f(x)＝2x＋(p－1)·2－x是定义域为R的偶函数．
(2) 若g(x)＝f(2x)－2k·(2x－2－x)在[1，＋∞)上的最小值为－4，求k的值．
【解析】
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