教学设计6.3.1 二项式定理（表格式）

教学设计
教学课题 6.3.1 二项式定理
学科 数学 年级 高二 时长 1课时
教学背景分析 1.学科知识体系
在高中数学的代数部分，二项式定理是一个重要的内容。它与多项式的乘法运算、排列组合等知识有着密切的联系，是进一步学习概率论、微积分等课程的基础。
2.学生认知水平
高中学生在之前的学习中已经掌握了多项式的运算、组合数的计算等基础知识，具备了一定的逻辑思维和抽象概括能力。但对于二项式定理中较为抽象的概念和复杂的运算，可能会存在理解和应用上的困难。
3.课程标准要求
课程标准明确提出，学生要理解二项式定理，能运用二项式定理解决简单的问题，培养学生的数学运算和逻辑推理素养。
教学目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式； 3.通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养。
重难点 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理； 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式。
教学方式与策略 引导启发法
从简单的二项展开式（如，）入手，引导学生观察系数的规律，启发学生思考和猜想一般形式。
2.直观演示法
利用多媒体工具，展示二项式定理的动态展开过程，让学生更直观地感受各项的生成。制作图表或动画，对比不同次幂的二项展开式，突出系数和指数的变化规律。
3.归纳总结法
让学生计算多个具体的二项展开式，然后共同归纳出二项式定理的一般形式和通项公式。总结二项式定理的性质和应用要点，帮助学生形成系统的知识结构。
4.练习巩固法
布置适量的基础练习题，如求特定项的系数、二项式展开等，让学生熟练掌握定理的运用。设计一些综合性的题目，如与不等式、函数结合的问题，培养学生的综合解题能力。 5.小组合作学习
安排小组讨论活动，让学生共同探讨二项式定理在解决实际问题中的应用。鼓励小组内成员互相交流解题思路和方法，促进学生之间的思维碰撞。
教学活动设计 活动内容 活动意图 时间分配
一、复习回顾 1.排列数公式； 2.组合数公式。 二、检查预习 二项式定理及相关概念 巩固旧知，为推导二项式定理做铺垫。 5分钟
三、新课导入 1.上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开的问题。 2.探究：我们知道， ， ． （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ （2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ （3）进一步地，你能写出的展开式吗？ 从特殊到一般，引发学生的思考和兴趣。 5分钟
四、探索新知 我们先来分析的展开过程．根据多项式乘法法则， 可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项。于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式。 下面我们再来分析一下形如的同类项的个数。 当时，，这是由2个中都不选得到的。因此，出现的次数相当于从2个中取0个（都取）的组合数，即只有1个。 当时，，这是由1个中选，另1个中选得到的。由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即共有2个。 当时，，这是由2个中都选得到的。因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个。 由上述分析可以得到 ． 思考1：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？ 思考2：你能猜想出(a＋b)n展开式吗？ 从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数，我们有如下猜想： 追问：你能说明这一猜想的正确性吗？ 下面我们对上述猜想的正确性予以说明。 由于是个相乘，每个在相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项。因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，的展开式共有项，其中每一项都是的形式。 对于每个，对应的项是由个中选，另外个中选得到的。由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从个中取个的组合数，这样，的展开式中，共有个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式。 培养学生的观察和归纳能力。 培养学生的合作探究能力和思维多样性。 10分钟
五、得出定理 公式叫做二项式定理（binomial theorem），右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项： ． 在二项式定理中，若设，，则得到公式： ． 明确重点知识，加深学生印象 5分钟
六、练习讲解 例1求的展开式。 解：根据二项式定理， ． 例2（1）求的展开式的第4项的系数； （2）求的展开式中的系数。 解：（1）的展开式的第4项是 ． 因此，展开式第4项的系数是280． 的展开式的第4项的二项式系数是．一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念。 （2）的展开式的通项是 ． 根据题意，得 ， ． 因此，的系数是 ． 通过实际应用，让学生掌握定理的运用方法。 及时巩固所学知识，发现学生存在的问题。 15分钟
七、课堂小结 1.教师引导学生回顾本节课学习的主要内容； 2.求二项展开式的特定项的常用方法； 3.在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 帮助学生梳理知识，形成体系。 5分钟
板书设计 6.3.1 二项式定理 1.二项式定理 2.二项式展开式 3.二项式展开式的通项 4.二项式系数 5.练习讲解
教学特色与反思 二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，是排列组合知识的具体运用，定理的证明是计数原理的应用。 本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程。 本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依。 教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体．教学过程中，让学生充分体会到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决一般问题的方法．教学中我特别注重运用通项意识凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式，然后再据题意进行求解。 不足之处：学生在数学课堂中的参与度不够。我认为,像这样面对新学生的展示课,难以操作。因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错。否则,对于有一定难度的数学课,在课堂上先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了。即使可以操作,自主、合作、探究也是走走过场,没有实际效果。在数学课堂上如何让学生讨论、思考值得深入研究。总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯。 改进措施：1、针对学生实际合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导。 2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深，由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。 3、在教学中，鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，渗透了数形结合的数学思想。
总之，教师要树立正确的教材观，尊重教材但不惟教材，基于教材又能再生教材以促进学生主动学习和谐发展。