2025高考数学一轮复习-第34讲-直线、平面平行的判定与性质-专项训练
基 础 巩固练
1.已知平面α∥平面β,直线a∥平面α,直线b∥平面β,那么a与b的位置关系可能是( )
A.平行或相交 B.相交或异面
C.平行或异面 D.平行、相交或异面
2.若平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A.AB∥CD
B.AD∥CB
C.AB与CD相交
D.A,B,C,D四点共面
3.若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形,则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
4.(2023泰州月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AM=2MA1,BN=2NB1,过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC,AC分别于点E,F,则( )
A.MF∥NE
B.四边形MNEF为梯形
C.四边形MNEF为平行四边形
D.A1B1∥NE
5.(多选题)(2023镇江调研)m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,下列命题中的假命题为( )
A.若m α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若α∥β,m β,则m∥α
D.若α∥β,m∥α,则m∥β
6.(2023南京调研)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD上一点,且,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,= .
第6题图
第7题图
7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面,交AB于点M,交BC于点N,则= .
8.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,DC,PC上共面的四点,BC∥平面GEFH.
(1)证明:GH∥EF.
(2)若EB=2,平面PDA∥平面GEFH,求四边形GEFH的面积.
综 合 提升练
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段BD上任意一点(包括端点),则一定有( )
A.PC1与AA1异面
B.PC1与AA1相交
C.PC1与平面AB1D1平行
D.PC1与平面AB1D1相交
10.(2023连云港期中)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1D1,A1B1的中点,过直线BD的平面α与平面AMN平行,则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
11.有一木块如图所示,点P在平面A'B'C'D'内,棱BC∥平面A'B'C'D',要经过P和棱BC将木块锯开,锯开的面必须平整,有N种锯法,N=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.(2023无锡调研)设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在平面α,β内运动时,那么所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当A,B分别在两条直线上移动时才共面
C.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D.不论A,B如何移动,都共面
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DC=1,DD1=2,分别在对角线A1D,CD1上取点M,N,使得直线MN∥平面A1ACC1,则线段MN长的最小值为 .
14.(2023南京质检)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=,过点B1,D1,P的平面与底面ABCD的交线为PQ,点Q在直线CD上,则PQ= .
15.(2023淮安调研)如图,在等腰直角三角形PAD中,∠A=90°,AD=8,AB=3,B,C分别是PA,PD上的点,且AD∥BC,M,N分别为BP,CD的中点,现将△BCP沿BC折起,得到四棱锥P-ABCD,连接MN.证明:MN∥平面PAD.
创 新 应用练
16.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界),若D1Q∥平面A1PD,则线段D1Q长度的取值范围为 .
参考答案
1.D 2.D 3.C 4.B 5.ABD
6 7
8.解 (1)∵BC∥平面GEFH,
BC 平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,
∴BC∥GH.
又BC∥平面GEFH,BC 平面ABCD,且平面ABCD∩平面GEFH=EF,
∴BC∥EF,
∴EF∥GH.
(2)∵平面PDA∥平面GEFH,
平面PAB∩平面PAD=PA,且平面PAB∩平面GEFH=GE,
∴GE∥PA,∵BE=2,BA=8,
∴BE=BA,∴GE=PA=,
同理可得HF=PD=,
又由(1)知,BC∥GH,∴GH=BC=6,
在四边形GEFH中,GE=HF=,GH=6,EF=8且EF∥GH,
∴四边形GEFH为等腰梯形,
如图,过点G作GM⊥EF于点M,
过点H作HN⊥EF于点N,
在Rt△GEM中,GM=,
∴S梯形EFGH=(GH+EF)·GM=
9.C 10.B 11.B 12.D 13
14a
15.解 如图,在四棱锥P-ABCD中,取AB的中点E,连接EM,EN.
因为M,N分别为BP,CD的中点,AD∥BC,
所以ME∥PA,EN∥AD,
又PA 平面PAD,ME 平面PAD,
所以ME∥平面PAD,
同理可得,EN∥平面PAD,
又ME∩EN=E,ME,EN 平面MNE,
所以平面MNE∥平面PAD,
因为MN 平面MNE,
所以MN∥平面PAD.
16(共54张PPT)
第34讲 直线、平面平行的判定与性质
第七章
立体几何
1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是 ( )
A．α内的所有直线都与直线a异面 B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点
激 活 思 维
【解析】
D
直线a不平行于平面α，包括两种情况：a α或a∩α＝P.当a α时，α内的所有直线都与直线a共面，A错误；
当a α时，α内必然有直线与直线a平行，B错误；由B知C也错误；
当a α时，直线a和平面α有无数个公共点，当a∩α＝P时，直线a与平面α有唯一公共点P，D正确．
2．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是 ( )
A．平行 B．相交
C．AC在此平面内 D．平行或相交
A
【解析】
如图，把这三条线段放在正方体内，显然AC∥EF.因为AC 平面EFG，EF 平面EFG，所以AC∥平面EFG.
3．平面α与平面β平行的充分条件可以是 ( )
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
【解析】
对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；
对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故B错误；
对于C，直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；
对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确．
【答案】
D
4．(多选)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面中，与AB平行的平面是 ( )
A．平面A′B′C′D′ B．平面DCC′D′
C．平面BCC′B′ D．平面A′D′DA
AB
【解析】
由于AB∥A′B′，AB 平面A′B′C′D′，A′B′ 平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，故A符合．
同理证得AB∥平面DCC′D′，故B符合．
而AB∩平面BCC′B′＝B，AB∩平面A′D′DA＝A，故C，D不符合．
1．直线和平面平行
(1) 定义：直线和平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行．
(2) 判定方法：
聚 焦 知 识
(3) 性质定理：
2．两个平面平行
(1) 定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行．
(2) 判定方法：
(3) 性质定理：
3．常用结论
(1) 垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2) 平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3) 垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若a α，b β，a∥b，则α∥β
C．若a∥β，a∥α，则α∥β
D．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c
与线、面平行相关命题的判定
举 题 说 法
1
D
如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将△AEF沿EF翻折至△A1EF，得到四棱锥A1-EFCB，P为A1C的中点．求证：FP∥平面A1BE.
线面平行的判定定理的应用
2
【解答】
如图，取A1B的中点Q，连接PQ，EQ.
变式 如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，G是线段BF的中点，求证：EG∥平面DAF.
【解析】
如图，连接OE，OG.在圆柱OE中，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，所以OE∥DA.
又OE 平面DAF，DA 平面DAF，所以OE∥平面DAF.在△ABF中，O，G分别是AB和BF的中点，所以OG∥AF.又OG 平面DAF，AF 平面DAF，所以OG∥平面DAF.
又OE∩OG＝O，OE，OG 平面OEG，所以平面OEG∥平面DAF.又EG 平面OEG，所以EG∥平面DAF.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点．
(1) 求证：PC∥平面BFD；
线面平行的性质定理的应用
3
如图，连接FM，交AD的延长线于点G，连接BG，交CD于点N，连接EF，FN，PG.
【解答】
因为在△PAC中，F为PA中点，O为AC中点，所以PC∥FO.又因为PC 平面BFD，FO 平面BFD，所以PC∥平面BFD.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点．
3
如图，连接AC，交BD于点O，连接OF.
【解答】
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1) 求证：平面A1BD∥平面CD1B1；
面面平行的判定定理与性质定理的应用
4
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥AD，且A1D1＝AD，AD∥BC，AD＝BC，所以A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又因为A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.同理，A1D∥平面CD1B1.又因为A1B∩A1D＝A1，且A1B，A1D 平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.
【解答】
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(2) 若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，求证：B1D1∥l.
4
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，平面A1B1C1D1∩平面B1D1C＝B1D1，所以B1D1∥l.
【解答】
变式 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1) 求证：平面A1C1G∥平面BEF;
因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1.因为A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F＝BG.
又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G.因为A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，所以平面A1C1G∥平面BEF.
【解答】
变式 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(2) 若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，且平面A1C1G∩BC＝H，即平面A1C1G∩平面ABC＝GH，所以A1C1∥GH，所以GH∥AC.因为G为AB的中点，所以H为BC的中点．
【解答】
随 堂 内 化
1．设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是 ( )
A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B．若m α，l β，m∥l，则α∥β
C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
C
【解析】
对于A，m，l可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，α，β可能相交或平行，故B错误；对于D，α∥β，故D错误；由线面平行的性质得C正确．
2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，下列说法错误的是 ( )
A．E，F，G，H四点共面 B．平面EGH∥平面ABC1
C．直线A1A与FH异面 D．直线BC∥平面AFH
【解析】
因为GH∥BC1，GH 平面ABC1，BC1 平面ABC1，所以GH∥平面ABC1.易得EH∥平面ABC1，又EH∩GH＝H，EH，GH 平面EGH，所以平面EGH∥平面ABC1，故B正确．
易得AA1∥平面BB1F，又FH 平面BB1F，且FH与AA1不平行，所以直线A1A与FH异面，故C正确．
如图，取CC1的中点M，连接HM.因为HM∥BC，HM与平面AFH相交于点H，所以直线BC与平面AFH相交，故D错误．
【答案】D
【解析】
如图，连接AC，与BE相交于点O，连接FO.
【答案】D
4．(多选)在下列四棱锥中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN ∥平面ABC的有 ( )
A
B
C
D
【解析】
图(1)
图(2)
图(3)
又MN 平面PNMB，MN 平面ABC，平面PNMB∩平面ABC＝BH，假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故C错误．
图(4)
对于D，如图(4)，连接AE，与FN交于点H，FN交AC于点G，则H为FN的中点，连接BH，BG.
由于B为MF的中点，故BH∥MN.又MN 平面NMF，MN 平面ABC，平面NMF∩平面ABC＝BG，假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，即在平面NMF内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故D错误．
【答案】AB
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ( )
A．若m∥n，n α，则m∥α
B．若m α，n β，α∥β，则m∥n
C．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
D．若m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β
C
2．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不重合的平面．若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是 ( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
D
3．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是 ( )
A．MN∥平面ABE
B．MN∥平面ADE
C．MN∥平面BDH
D．MN∥平面CDE
【解析】
【答案】C
根据题意得到正方体的直观图如图所示，取FH的中点O，连接ON，BO，易知ON与BM平行且相等，所以四边形ONMB为平行四边形，所以MN∥BO，因为BO与平面ABE(即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误.
因为平面ADE∥平面BCF，MN∩平面BCF＝M，所以MN与平面ADE
相交，故B错误．
因为BO 平面BDH，MN∥BO，MN 平面BDH，所以MN∥平面BDH，故C正确．
显然M，N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误．
4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，E，F，G分别是AB，A1C1，A1B1的中点，O是BC1的中点．下列结论错误的是 ( )
【解析】
【答案】D
若P是AC1的中点时，OP∥AB，而AB∥A1B1，有OP∥A1B1，所以A正确．
如图，过A作与BC平行的直线l，由l∥FG，可得平面AFG与底面ABC的交线为l，且l与直线EC相交，则平面AGF与平面EB1C相交，所以D错误．
二、 多项选择题
5．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论正确的是 ( )
A．直线A1C1与AD1为异面直线
B．A1C1∥平面ACD1
C．平面A1C1B∥平面ACD1
【解析】
【答案】ABC
根据异面直线的定义易知直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确．
因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以A1C1∥AC.又A1C1 平面ACD1，AC 平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确．
同理可证BC1∥平面ACD1，又A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1 平面A1C1B，所以平面A1C1B∥平面ACD1，故C正确．
【解析】
对于A，如图(1)，连接BD，则BD∥PQ，又平面ABC∩BD＝B，则BD 平面ABC，所以PQ不平行于平面ABC，故A错误；
对于B，因为PQ∥AC，PQ 平面ABC，AC 平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故B正确；
图(1)
6．如图，A，B，C，P，Q是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足PQ∥平面ABC的有 ( )
A B C D
对于C，如图(2)，取FN中点D，连接EF，MN，CD，BD，DQ，由正方体得AB∥EF，PQ∥MN，EF∥MN∥CD，所以AB∥PQ，同理AC∥DQ，CP∥BD，所以A，B，C，D，P，Q六点共面，故C错误；
【答案】BD
对于D，如图(3)，连接PD交AB于O，连接OC，在正方体中，由于四边形APBD为正方形，所以O为PD中点，又C为DQ中点，所以OC∥PQ，又PQ 平面ABC，OC 平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故D正确.
图(2)
图(3)
【解析】
8．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，平面α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC＝_________．
9∶49
【解析】
因为平面α∥平面ABC，所以A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，所以△PA′B′∽△PAB，△PB′C′∽△PBC，△PA′C′∽△PAC，所以PA′∶PA＝PB′∶PB＝A′B′∶AB，PB′∶PB＝PC′∶PC＝B′C′∶BC，
PC′∶PC＝PA′∶PA＝A′C′∶AC，所以A′B′∶AB＝B′C′∶BC＝A′C′∶AC，故△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝A′B′2∶AB2.
又因为PA′∶A′A＝3∶4，所以PA′∶PA＝A′B′∶AB＝3∶7，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝9∶49.
四、 解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(1) 求证：QN∥平面PAD；
【解答】
(1) 因为N，Q分别为PB，PC的中点，所以QN∥BC.因为底面ABCD是菱形，所以BC∥AD，所以QN∥AD.因为QN 平面PAD，AD 平面PAD，所以QN∥平面PAD.
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
(2) 记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并给出证明．
【解答】
直线l与平面PBD平行，证明如下：因为N，M分别为PB，PD的中点，所以MN∥BD.
因为MN 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.因为平面CMN与底面ABCD的交线为l，MN 平面CMN，由线面平行的性质定理可得MN∥l.
因为MN∥BD，所以BD∥l.因为BD 平面PBD，l 平面PBD，所以直线l∥平面PBD.
10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中．
(1) 若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG；
【解答】
因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.
因为G为A1B1中点，所以A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.又A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.
10．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中．
【解答】
如图，连接A1B，AB1，设AB1∩A1B＝O，连接OD1.
【解析】
D
【解析】
【答案】
如图，作出圆锥的轴截面SAB，设CD为水面，O为圆锥底面中心，O1为水面中心，
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2a sin C－2c cos A.
(1) 求sin 2A；
【解答】
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2a sin C－2c cos A.
(2) 若a＝2，求△ABC面积的最大值．
【解答】
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