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第38讲 直线的方程及位置关系
第八章
解析几何
1．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
激 活 思 维
【解析】
D
由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.
2．已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是 ( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
A
【解析】
3．已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )
【解析】
C
4．已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是 ( )
A．4x－3y＝0 B．4x＋3y＝0
C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0
A
【解析】
经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0，将原点O(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0.
5．(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是( )
A．2 B．－1
C．－2 D．1
AB
【解析】
因为两直线平行，所以a(a－1)－2＝0，且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0，且 a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.
1．直线的倾斜角
(1) 定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2) 范围：直线l的倾斜角的取值范围是___________．
2．斜率公式
(1) 若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝_________．
(2) 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝________．
向上方向
聚 焦 知 识
[0，π)
tan α
3．直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
4．两条直线平行与垂直的判定
(1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 _______.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2 _____________.特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
5．三个距离公式
(1) 点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝__________________．
(2) 点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______．
(3) 线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
_________．
k1＝k2
k1·k2＝－1
6．常用结论
(1) “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
(2) “直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．
直线的方程
举 题 说 法
1
【解析】
A
(2) 在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为 ( )
A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0
C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0
A
1
【解析】
【解析】
B
变式 (2) 倾斜角为150°，在y轴上的截距为－3的直线方程为_______________．
【解析】
(1) 若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a的值为 ( )
A．－1 B．－2
C．－2或0 D．0
两直线的位置关系
2
D
【解析】
由题设知(a＋1)2＝1，解得a＝0或a＝－2.当a＝0时，l：x－y＋3＝0，m：x－y－3＝0，满足题设；当a＝－2时，l：x＋y－3＝0，m：x＋y－3＝0，不满足题设．所以a＝0.
(2) 已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B
2
【解析】
因为直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，且l1⊥l2，所以1·a＋1·b＝0，即a＋b＝0.
变式 (1) 设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝______；若l1⊥l2，则a＝_______．
【解析】
－7
变式 (2) 已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：2x＋y－1＝0，直线l3：x＋ny＋1＝0.若l1∥l2，l2⊥l3，求实数m＋n的值．
【解答】
距离问题
3
【解析】
C
(2) 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 ( )
A
3
【解析】
由题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0的距离和与l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
变式 (1) 已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为______________________________．
2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
【解析】
【解析】
±1
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).
(1) 求点A关于直线l的对称点A′的坐标；
对称问题
4
【解答】
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).
(2) 求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
4
【解答】
在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
又m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).
(3) 求直线l关于点A对称的直线l′的方程.
4
【解答】
方法一：在l：2x－3y＋1＝0上取两点P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
变式 已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_______________．
6x－y－6＝0
【解析】
随 堂 练习
【解析】
C
2．在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为 ( )
A．45° B．135°
C．90° D．180°
A
【解析】
3．已知点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，则m的值为( )
A．－5或－15 B．－5或15
C．5或－15 D．5或15
D
【解析】
【解析】
C
5．已知光线从点A(6，1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4，4)，则CD所在直线的方程为_______________．
x－2y＋4＝0
【解析】
如图，由题意知点B在原点O的右侧，A(6，1)关于x轴对称的点为A′(6，－1)，且D(4，4)关于y轴对称的点为D′(－4，4)，直线BC一定过A′，D′两点，
配套精练
【解析】
A组 夯基精练
C
2．已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为( )
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．垂直或重合
D
【解析】
3．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是 ( )
A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
B
【解析】
C
【解析】
二、 多项选择题
5．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，直线l2：x＋my＋1＝0，则下列说法正确的有( )
A．直线l1恒过点(0，1) B．若直线l2的方向向量为(1，1)，则m＝－1
C．若l1∥l2，则m＝±1 D．若l1⊥l2，则m＝0
【解析】
把(0，1)代入直线l1的方程，等式不成立，故A错误；
因为直线l1的方向向量为(1，－m)，直线l2的方向向量为(m，－1)，若l1∥l2，则有m2－1＝0，解得m＝±1，当m＝1时，l1与l2重合，舍去，所以m＝－1，故C错误；
若l1⊥l2，则有m＋m＝0，即m＝0，故D正确．
BD
6．已知直线l的方程为(a2－1)x－2ay＋2a2＋2＝0，a∈R，O为原点，则 ( )
A．若|OP|≤2，则点P一定不在直线l上
B．若点P在直线l上，则|OP|≥2
C．直线l上存在定点P
D．存在无数个点P总不在直线l上
【解析】
当点P在直线l上时，|OP|≥2，故B正确；
【答案】BD
圆x2＋y2＝4内(不含边界)的所有点都不在直线l上，故D正确．
三、 填空题
7．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为______．
【解析】
8．点P(2，7)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______________．
(－8，－3)
【解析】
【解析】
四、 解答题
10．已知□ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3).
(1) 求AD所在直线的方程；
【解答】
10．已知□ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3).
(2) 求□ABCD的面积．
【解答】
11．已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1) 求证：不论m为何实数，直线l过定点M；
【解答】
11．已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(2) 过定点M作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程．
【解答】
过定点M(－1，－2)作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l1过点(－2，0)，(0，－4).
D
【解析】
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，AD＝2.
【解答】
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，AD＝2.
【解答】
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-第38讲-直线的方程及位置关系-专项训练
基 础 巩固练
1.直线x+y-2=0的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
2.已知经过P(a,2),Q(-2,1)两点的直线的斜率为1,则a=( )
A.-3 B.3
C.1 D.-1
3.M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是 ( )
A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
4.直线l:kx-y+1-2k=0过的定点是( )
A.(2,-1) B.(1,-2)
C.(2,1) D.(-1,-2)
5.(多选题)如图所示,下列四条直线l1,l2,l3,l4的斜率分别是k1,k2,k3,k4,倾斜角分别是α1,α2,α3,α4,则下列关系正确的是( )
A.k2B.k3C.α2<α1<α4<α3
D.α3<α2<α1<α4
6.(多选题)对于直线l:x=my+1,下列说法错误的是( )
A.直线l过定点(1,0)
B.直线l的斜率必定存在
C.当m=2时,直线l与两坐标轴所围成三角形的面积为
D.当m=时,直线l的倾斜角为60°
7.已知直线l的斜率为,且和坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的方程为 .
8.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围为.
9.已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0.
(1)证明直线过定点,并求出定点P的坐标;
(2)若直线不经过第二象限,求m的取值范围;
(3)若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的面积为6,求直线的方程.
综 合 提升练
10.直线x·sin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是 ( )
A.[0,π) B.
C. D.
11.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.(2023连云港期中)直线2x+3y-6=0分别交x轴和y轴于A,B两点,P是直线y=-x上的一点,要使|PA|+|PB|的值最小,则点P的坐标是 ( )
A.(-1,1) B.(1,-1)
C.(0,0) D.
13.若正方形一条对角线所在直线的斜率为3,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 , .
14.已知直线l过点M(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点.求:
(1)当|MA|·|MB|取最小值时,直线l的方程;
(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.
创 新 应用练
15.为了绿化城市,准备在如图1所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪,其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°,点Q在AB上,且PQ∥CD,QR⊥CD.经测量,BC=70 m,CD=80 m,DE=100 m,AE=60 m.
(1)如图2,建立平面直角坐标系,求线段AB所在直线的方程;
(2)在(1)的基础上,应如何设计才能使草坪的占地面积最大 确定此时点Q的坐标并求出此最大面积(精确到1 m2).
图1
图2
参考答案
1.D 2.D 3.D 4.C 5.BC 6.BD
7.x-6y+6=0或x-6y-6=0
8.(-∞,-1)
9.解 (1)整理直线方程得(3x+y-6)m+3x-y-2=0.
由解得
故直线过定点P
(2)由(1)知,直线过定点P,
当直线与y轴没有交点时,m-1=0,即m=1,此时直线方程为x=,符合题意.
当直线与y轴有交点时,m≠1,
求出直线的纵截距,其小于或等于零即可满足题意.
令x=0,则(m-1)y-6m-2=0,y=
若直线不经过第二象限,则0,解得-m<1.
所以m的取值范围为
(3)设直线方程为=1(a>0,b>0),则ab=12,①
由题意得,=1,②
由①②整理得a2-6a+8=0,
解得a=4或a=2,则b=3或b=6,
当a=2,b=6时,直线方程为3x+y-6=0,
即有=3,且-=-6,解得m∈ ,
∴所求直线的方程为=1,即3x+4y-12=0.
10.B 11.C 12.C
13,-2
14.解 (1)方法一:如图,设∠BAO=θ,则sin θ=,cos θ=,∴|MA|·|MB|=,显然当θ=时,|MA|·|MB|取得最小值4,此时kl=-1,故所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
方法二:设A(a,0),B(0,b),则|MA|·|MB|=-=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2a+b-5=(2a+b)-5=4,当且仅当a=b=3时取等号,∴|MA|·|MB|的最小值为4,此时直线l的方程为x+y-3=0.
方法三:若设直线l的方程为y-1=k(x-2),则A,B(0,1-2k),∴|MA|·|MB|==24,当且仅当-k=-,即k=-1时取等号.故|MA|·|MB|的最小值为4,此时直线l的方程为x+y-3=0.
(2)同(1)中方法一可知|MA|=,|MB|=,
∴|MA|2+|MB|2=
=(sin2θ+cos2θ)
=5+9当且仅当cos2θ=2sin2θ,即tan θ=时取等号.
∴|MA|2+|MB|2的最小值为9,
此时直线的斜率k=-,
故所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-2(+1)=0.
注:本题也可设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0)求解.
15.解 (1)由题意得AO=80-60=20,OB=100-70=30,
∴A(0,20),B(30,0),
∴线段AB所在直线的方程为=1.
(2)设Q(x,y),由(1)知线段AB的方程为=1(0≤x≤30),
∵RQ=100-x,PQ=80-y,y=20=20-x,
∴草坪的占地面积为S矩形PQRD=RQ·PQ=(100-x)(80-y)
=(100-x)
=(100-x)
=-x2+x+6 000
=-(x-5)2+(0≤x≤30),
∴当x=5,y=时,草坪的占地面积最大,最大面积约为6 017 m2,此时Q
