2025高考数学一轮复习-第39讲-圆的方程-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 已知 ， 关于 ， 的方程 表示圆，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 圆心在 轴上，半径长为1，且过点 的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
3.圆 关于直线 对称的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4. （多选）已知 的三个顶点为 , , ,则下列关于 的外接圆圆 的说法正确的是( )
A. 圆 的圆心坐标为 B. 圆 的半径为
C. 圆 关于直线 对称 D. 点 在圆 内
5.（多选）设有一组圆 ，下列命题正确的是( )
A. 不论 如何变化，圆心 始终在一条直线上
B. 所有圆 均不经过点
C. 经过点 的圆 有且只有一个
D. 所有圆的面积均为
6.已知点 在圆 的外部，则实数 的取值范围为 .
7. 若圆 经过坐标原点和点 且与直线 相切，则圆 的方程是 .
8.已知直线 , 均垂直于圆 的某条直径，且 , 三等分该条直径，则 ， .
9. 已知动圆 经过点 和 .
（1） 当圆 面积最小时，求圆 的方程；
（2） 若圆 的圆心在直线 上，求圆 的方程.
[B级 综合运用]
10.（多选）在平面直角坐标系内，已知 ， ， 是平面内一动点，则下列条件中使得点 的轨迹为圆的有( )
A. B. C. D.
11. （多选）关于曲线 ，下列说法正确的是( )
A. 曲线 围成图形的面积为
B. 曲线 所表示的图形有且仅有2条对称轴
C. 曲线 所表示的图形是中心对称图形
D. 曲线 是以 为圆心，2为半径的圆
12.已知 为圆 上一点， ， ，则 的最小值为 .
13.已知 的直角顶点为 , , 为圆 上两动点，则边长 的最大值为 .
14. 已知点 ，圆 ，过点 的动直线 与圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点.
（1） 求点 的轨迹方程；
（2） 当 时，求 的方程及 的面积.
[C级 素养提升]
15. 如图， ， ， ， ， 是以 为直径的圆上一段圆弧， 是以 为直径的圆上一段圆弧， 是以 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线 ，则下列说法中错误的是( )
A. 曲线 与 轴围成的面积等于
B. 曲线 有5个整点（横纵坐标均为整数的点）
C. 所在圆的方程为
D. 与 的公切线方程为
16.已知圆 经过函数 的图象与坐标轴的3个交点.
（1） 求圆 的标准方程；
（2） 若点 为圆 上一动点，点 为圆 上一动点，点 在直线 上运动，求 的最小值，并求此时点 的横坐标.
2025高考数学一轮复习-第39讲-圆的方程-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知 ， 关于 ， 的方程 表示圆，则 是 的( A )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
[解析]选A.关于 ， 的方程 表示圆等价于 ，即 ，显然由 可推出 ，反之由 不一定能得到 （可能是 ）.
故 是 的充分不必要条件.故选A.
2. 圆心在 轴上，半径长为1，且过点 的圆的方程是( A )
A. B.
C. D.
[解析]选A.根据题意可设圆的方程为 .因为圆过点 ，所以 ,解得 ,所以所求圆的方程为 .
3.圆 关于直线 对称的圆的方程为( A )
A. B.
C. D.
[解析]选A.因为 表示以 为圆心，以1为半径的圆，则 关于直线 对称的点为 ，所以圆 关于直线 对称的圆的方程为 .故选A.
4. （多选）已知 的三个顶点为 , , ,则下列关于 的外接圆圆 的说法正确的是( ABD )
A. 圆 的圆心坐标为 B. 圆 的半径为
C. 圆 关于直线 对称 D. 点 在圆 内
[解析]选ABD.设 的外接圆圆 的方程为 ,则 解得 所以 的外接圆圆 的方程为 ,即 .故圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，因为直线 不经过圆 的圆心 ，所以圆 不关于直线 对称.因为 ,故点 在圆 内.
5.（多选）设有一组圆 ，下列命题正确的是( ABD )
A. 不论 如何变化，圆心 始终在一条直线上
B. 所有圆 均不经过点
C. 经过点 的圆 有且只有一个
D. 所有圆的面积均为
[解析]选 选项，圆心为 ，一定在直线 上，A正确；
B选项，将 代入得 ，其中 ，方程无解，即所有圆 均不经过点 ，B正确；
C选项，将 代入得 ，其中 ，故经过点 的圆 有两个，C错误；
所有圆的半径均为2，面积均为 ，D正确.故选ABD.
6.已知点 在圆 的外部，则实数 的取值范围为 .
[解析]由题意，得
解得 或 .
7. 若圆 经过坐标原点和点 且与直线 相切，则圆 的方程是 .
[解析]由已知可设圆心为 ，由 ，得 , .故圆 的方程为 .
8.已知直线 , 均垂直于圆 的某条直径，且 , 三等分该条直径，则 3， 3.
[解析]由题意，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，又由直线 , ，可得两平行线间的距离为 ，解得 .
又由圆心 到 , 的距离相等，所以 ，可得 ，解得 .
9. 已知动圆 经过点 和 .
（1） 当圆 面积最小时，求圆 的方程；
[答案]解：要使圆 的面积最小，则 为圆 的直径，圆心 ，半径 ，
所以所求圆 的方程为 .
（2） 若圆 的圆心在直线 上，求圆 的方程.
[答案]设所求圆 的方程为 ，
根据已知条件得
解得
所以所求圆 的方程为 .
[B级 综合运用]
10.（多选）在平面直角坐标系内，已知 ， ， 是平面内一动点，则下列条件中使得点 的轨迹为圆的有( BCD )
A. B. C. D.
[解析]选BCD.设点 ,则 , ,
对于A，由 ，得 ,整理，得 ，则点 的轨迹为一条直线，所以A不符合题意；对于B，由 ，知 ，则 ,整理，得 ,则点 的轨迹为一个圆，所以B符合题意；对于C，由 ，知 ,整理，得 ,则点 的轨迹为一个圆，所以C符合题意；对于D，由 ，知 ，整理，得 ，则点 的轨迹为一个圆，所以D符合题意.综上可知，选BCD.
11. （多选）关于曲线 ，下列说法正确的是( AC )
A. 曲线 围成图形的面积为
B. 曲线 所表示的图形有且仅有2条对称轴
C. 曲线 所表示的图形是中心对称图形
D. 曲线 是以 为圆心，2为半径的圆
[解析]选AC.曲线 如图所示：
对于 图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以 为圆心， 为半径的圆的一半加一个直角三角形，则 ，所以曲线 围成的图形的面积为 ,故A正确；
对于B，由图可知，曲线 所表示的图形的对称轴有 轴、 轴、直线 、直线 ，共4条，故B错误；
对于C，由图可知，曲线 所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；
对于D，曲线 的图形不是一个圆，故D错误.
12.已知 为圆 上一点， ， ，则 的最小值为34.
[解析]设点 ， 为坐标原点，圆心为 ，半径为 ，则 ，
因为 ，所以，原点 在圆 外，且 ，如图所示，
则 ，当且仅当点 为线段 与圆 的交点时，等号成立.
所以 .
13.已知 的直角顶点为 , , 为圆 上两动点，则边长 的最大值为 .
[解析]令 为 的中点，在 中， ,又 ,且 ,
所以 ，
整理得 ，所以 的运动轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，又因为 ，所以点 在圆 内，所以 ，所以 .
14. 已知点 ，圆 ，过点 的动直线 与圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点.
[答案]解：圆 ,故圆心为 ，半径为4，点 在圆 内部.
（1） 求点 的轨迹方程；
[答案]当 ， ， 三点均不重合时, ，所以点 的轨迹是以线段 为直径的圆（除去点 ， ）.线段 中点为 ， ，故 的轨迹方程为 （ ，且 或 ，且 ）.
当 ， , 三点中有重合的情形时，易求得点 的坐标为 或 .
综上可知，点 的轨迹是一个圆，轨迹方程为 .
（2） 当 时，求 的方程及 的面积.
[答案]由（1）可知点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆.
由题意知 在线段 的垂直平分线上，又 在圆 上，从而 ，因为 的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 ,即 .
又易得 ，点 到 的距离为 ， .
所以 的面积为 .
[C级 素养提升]
15. 如图， ， ， ， ， 是以 为直径的圆上一段圆弧， 是以 为直径的圆上一段圆弧， 是以 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线 ，则下列说法中错误的是( A )
A. 曲线 与 轴围成的面积等于
B. 曲线 有5个整点（横纵坐标均为整数的点）
C. 所在圆的方程为
D. 与 的公切线方程为
[解析]选A.如图所示，连接 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，则面积 ，故A错误；曲线 上有 ， ， ， ， ，共5个整点，其中 ，故B正确； 所在圆的圆心为 ，半径为1，故圆的方程为 ，C正确；设 与 的公切线方程为 ，根据图象知 ，则 ， ，解得 ， ，即 ，D正确.故选A.
16.已知圆 经过函数 的图象与坐标轴的3个交点.
（1） 求圆 的标准方程；
[答案]解：因为函数 的图象与坐标轴的3个交点分别为 ， ， ，根据题意，设圆 的圆心坐标为 ，
由 ，可得 ，
解得 ，则 ，
故圆 的标准方程为 .
（2） 若点 为圆 上一动点，点 为圆 上一动点，点 在直线 上运动，求 的最小值，并求此时点 的横坐标.
[答案]设圆 关于直线 对称的圆为圆 ，
则圆 的方程为 .
设 ，则当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，
且 的最小值为 ，
此时可得 ，即 ，解得 ，故点 的横坐标为 .(共56张PPT)
第39讲 圆的方程
第八章
解析几何
激 活 思 维
【解析】
BD
2．圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是( )
A．(x＋8)2＋(y－3)2＝25 B．(x－8)2＋(y－3)2＝25
C．(x＋8)2＋(y－3)2＝16 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25
A
【解析】
3．若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x－2)2＋y2＝10 D．(x＋2)2＋y2＝10
C
【解析】
4．已知圆C以P1P2为直径，P1(4，9)，P2(6，3)，则下列各点在圆C外的是 ( )
A．M(6，9) B．N(3，3)
C．Q(5，3) D．R(4，4)
B
【解析】
5．已知圆C经过点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，则圆C的标准方程为________________________；若点D为圆C上任意一点，且点E(3，0)，则线段ED的中点M的轨迹方程为___________________．
【解析】
【答案】(x－2)2＋(y－4)2＝10
1．圆的定义、方程
聚 焦 知 识
定义 平面内到________的距离等于________的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：__________
半径：_____
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 条件：_________________
圆心：_____________
半径：r＝_________________
定点
定长
(a，b)
r
D2＋E2－4F＞0
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1) 若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；
(2) 若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(3) 若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
(1) 经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程是________________________．
圆的方程
举 题 说 法
1
【解析】
方法一：(几何法)由题意知kAB＝2，AB的中点为(4，0).设圆心为C(a，b).
【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝10
1
【解析】
D
变式 设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为_______________________．
【解析】
【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝5
点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
相关点法求动点轨迹方程
2
A
【解析】
由Q在圆x2＋y2＝4上，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故所求轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
变式 若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为______________．
x2＋y2＝25
【解析】
与圆有关的最值和范围问题
3
【解析】
12
(2) 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________．
3
【解析】
P是x轴上的动点，则|PM|的最小值为|PC1|－1.同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.
3
【解答】
隐形圆
有些时候，在题干中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．
新视角
4
【答案】B
以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则B(2，0).设点P(x，y).
【解析】
(2) 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线l：x－y－4＝0的距离的最大值为_______．
【解析】
由题意，直线l1过定点A(0，2)，l2过定点B(2，0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆T：(x－1)2＋(y－1)2＝2上．
4
4
【解析】
4
【解析】
(－∞，2)
(5) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是_________.
[0，3]
【解析】
设M(x，y).由|MA|2＋|MO|2＝10，得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上．
4
随 堂 练习
【解析】
A
【解析】
圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为(－2，1).由题知圆心在直线ax－by＋1＝0上，所以－2a－b＋1＝0，即2a＋b＝1.
A
【解析】
【答案】C
4．在平面直角坐标系中，过A(－2，4)，B(2，6)，C(－1，－3)，D(2，－4)四点的圆的方程为_________________________．
x2＋y2－4x－2y－20＝0
【解析】
5．若动点M在圆(x－4)2＋y2＝16上移动，则M与定点A(－4，8)连线的中点P的轨迹方程为___________________．
x2＋(y－4)2＝4
【解析】
配套精练
【解析】
C
2．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是 ( )
A．x2＋(y－2)2＝100 B．(x－2)2＋y2＝100
C．x2＋(y－2)2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10
D
【解析】
【解析】
A
【解析】
B
【解析】
【答案】ABD
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内．
6．已知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2，6)，且交圆O于P，Q两点，M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是 ( )
A．点M的轨迹是圆
B．|PQ|的最小值为6
C．若圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，则l的方程是4x－3y＋10＝0
D．使|PQ|为整数的直线l共有16条
【解析】
因为直线l恒过点N(2，6)，所以OM⊥MN，点M在以ON为直径的圆上，则点M的轨迹是圆，故A正确；
由题知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2，6)，圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，因为圆心为O(0，0)，半径为r＝7，所以圆心到直线l的距离d＝2，
【答案】ABD
由最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知，使|PQ|为整数的直线l有2＋2×(13－7＋1)＝16(条)，故D正确．
三、 填空题
7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________．
(x－4)2＋(y－1)2＝26
【解析】
8．过四点(－1，1)，(1，－1)，(2，2)，(3，1)中的三点的一个圆的方程为________________________(写出一个即可)．
【解析】
【答案】
9．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，则直角顶点C的轨迹方程是__________________________；直角边BC的中点M的轨迹方程是______________．
【解析】
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
【答案】x2＋y2－2x－3＝0(y≠0) (x－2)2＋y2＝1(y≠0)
将x0＝2x－3，y0＝2y代入点C的轨迹方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
四、 解答题
10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1) 求m＋2n的最大值；
【解答】
10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
【解答】
11．已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x＋y＝4上．
(1) 求半径最小时的圆C的方程；
【解答】
11．已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x＋y＝4上．
(2) 求证：动圆C恒过一个异于点O的定点．
【解答】
B组 滚动小练
12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点B的平面α与直线A1C垂直，则α截该正方体所得截面的形状为 ( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
A
【解析】
如图，因为AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以AA1⊥BD.
又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.又AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面AA1C，所以BD⊥平面AA1C.
因为A1C 平面AA1C，所以BD⊥A1C，同理BC1⊥A1C.因为BC1∩BD＝B，BC1，BD 平面BC1D，所以A1C⊥平面BC1D，故平面α即为平面BC1D，则α截该正方体所得截面的形状为三角形．
13．设数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋3，数列{bn}是公差为2的等差数列，b1＋4b3＝7b2.
(1) 求{an}，{bn}的通项公式；
【解答】
由3an＝2Sn＋3，可得3an＋1＝2Sn＋1＋3，两式相减可得3an＋1－3an＝2an＋1，所以an＋1＝3an.令n＝1，可得3a1＝2a1＋3，所以a1＝3.
所以{an}是首项为3，公比为3的等比数列，即an＝3×3n-1＝3n.因为数列{bn}是公差为2的等差数列，b1＋4b3＝7b2，所以b1＋4(b1＋4)＝7(b1＋2)，解得b1＝1，所以bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
13．设数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋3，数列{bn}是公差为2的等差数列，b1＋4b3＝7b2.
【解答】
谢谢观赏
