2025高考数学一轮复习-第40讲-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1.过点 且与直线 相切，圆心在 轴上的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
2. 已知直线 被圆 截得的弦长为2，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知直线 是圆 的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 圆 上到直线 的距离等于1的点的个数为( )
A. B. C. D.
5. （多选）已知圆 与直线 ，则( )
A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交所截的最短弦长为 D. 直线与圆可以相切
6. 圆 与圆 外切，则实数 .
7.若 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程是 .
8. 已知圆 及直线 ，设直线 与圆 相交所得的最长弦为 ，最短弦为 ，则四边形 的面积为 .
9. 已知圆 与圆 .
（1） 过点 作直线 与圆 相切，求 的方程；
（2） 若圆 与圆 相交于 ， 两点，求 的长.
[B级 综合运用]
10.已知点 是圆 内一点，直线 是以 为中点的弦所在的直线，直线 的方程为 ,那么( )
A. 且 与圆 相切 B. 且 与圆 相切
C. 且 与圆 相离 D. 且 与圆 相离
11.设 是圆 上的动点， 是圆的切线，且 ，则点 到点 距离的最小值为( )
A. B. C. D.
12. 已知圆 ,过点 作不过圆心的直线交圆 于 ， 两点，则 面积的取值范围是 .
13.设点 ， ，若直线 关于 对称的直线与圆 有公共点，则 的取值范围是 .
14. 已知圆 过点 ， ，且圆心 在直线 上.
（1） 求圆 的标准方程；
（2） 过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
[C级 素养提升]
15.（多选）已知圆 ，则下列四个命题表述正确的是( )
A. 圆 上有且仅有3个点到直线 的距离等于1
B. 过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，直线 的方程为
C. 一条直线与圆 交于不同的两点 ， ，且有 ，则 的最大值为
D. 若圆 与圆 相外切，则
16. 如图，已知圆 的圆心在原点，且与直线 相切.
（1） 求圆 的方程；
（2） 点 在直线 上，过点 引圆 的两条切线 ， ，切点为 ， .
① 求四边形 面积的最小值；
② 求证：直线 过定点.
2025高考数学一轮复习-第40讲-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1.过点 且与直线 相切，圆心在 轴上的圆的方程为( D )
A. B.
C. D.
[解析]选D.设圆心为 ，由题意得 ，解得 ，故圆的半径 ，所以圆的方程为 .
2. 已知直线 被圆 截得的弦长为2，则 ( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.圆心到直线的距离 ，弦长的一半为1，所以 .
3. 已知直线 是圆 的对称轴，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由题意得直线 过圆心 ，故 ，解得 ，所以点 ， .又半径 ，所以 ，故选C.
4. 圆 上到直线 的距离等于1的点的个数为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为圆心到直线的距离为 ，圆的半径为3，所以直线与圆相交，如图所示，故圆上到直线的距离为1的点有3个.
5. （多选）已知圆 与直线 ，则( AC )
A. 直线与圆必相交 B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交所截的最短弦长为 D. 直线与圆可以相切
[解析]选AC.由题意，圆 的圆心 ，半径 ，
直线 变形得 ，得直线过定点 ，
因为 ，所以直线与圆必相交，故A正确， ， 错误；
由平面几何知识可知，当直线与过定点 和圆心 的直线垂直时，弦长有最小值，
此时弦长为 ，故C正确.
故选AC.
6. 圆 与圆 外切，则实数 9.
[解析]圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，则 ，根据题意可得 ，即 ，解得 .
7.若 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程是 .
[解析]因为 ，所以直线 的斜率为 .所以直线 的斜率为1.所以直线 的方程为 ，即 .
8. 已知圆 及直线 ，设直线 与圆 相交所得的最长弦为 ，最短弦为 ，则四边形 的面积为 .
[解析]将圆 方程整理为 ，得圆心 ，半径 ，
将直线 方程整理为 ，得直线 恒过定点 ，且 在圆 内，
所以最长弦 为过 的圆的直径，即 ，最短弦 为过 ，且与最长弦 垂直的弦，因为 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，即 ，所以圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，所以四边形 的面积为 .
9. 已知圆 与圆 .
（1） 过点 作直线 与圆 相切，求 的方程；
[答案]解：圆 的方程可化为 ，即圆 的圆心为 ，半径为1.
若直线 的斜率不存在，方程为 ，与圆 相切，满足条件.
若直线 的斜率存在，设斜率为 ，方程为 ，即 .
由 与圆 相切可得 ，解得 .
所以 的方程为 ，即 .
综上可得 的方程为 或 .
（2） 若圆 与圆 相交于 ， 两点，求 的长.
[答案]联立两圆方程得
两方程相减得 所在直线的方程为 ，
圆 的圆心到 的距离 ，
所以 .
[B级 综合运用]
10.已知点 是圆 内一点，直线 是以 为中点的弦所在的直线，直线 的方程为 ,那么( C )
A. 且 与圆 相切 B. 且 与圆 相切
C. 且 与圆 相离 D. 且 与圆 相离
[解析]选C.由点 是圆 内一点得 .所以圆心 到直线 的距离为 ,故直线 与圆 相离.因为直线 的斜率为 ，而直线 是以 为中点的弦所在的直线，故直线 .又直线 的斜率也是2，所以 ，所以 ，故选C.
11.设 是圆 上的动点， 是圆的切线，且 ，则点 到点 距离的最小值为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由圆 ，可知圆心 ，半径为3，又 ，所以 ，设 ，则点 的轨迹方程为 ,故点 到 距离的最小值为 .故选B.
12. 已知圆 ,过点 作不过圆心的直线交圆 于 ， 两点，则 面积的取值范围是 .
[解析]因为 ，过点 的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，
设其方程为 ,即 ,
所以圆心 到该直线的距离为 ,因为 ,
所以 .
13.设点 ， ，若直线 关于 对称的直线与圆 有公共点，则 的取值范围是 .
[解析]由题意得 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以直线 的方程为 ，即 .
因为圆 ，所以圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，即 ，
解得 ，即 .
14. 已知圆 过点 ， ，且圆心 在直线 上.
（1） 求圆 的标准方程；
[答案]解：因为圆心 在直线 上，所以设圆 的标准方程为 ， .
因为圆 过点 ， ，
所以 解得 所以圆 的标准方程为 .
（2） 过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
[答案]①当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，直线 被 截得的弦长为 ，符合题意.
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离 ，则由题意得 ，
解得 ，则直线 的方程为 ，
即 .
综上，直线 的方程为 或 .
[C级 素养提升]
15.（多选）已知圆 ，则下列四个命题表述正确的是( BC )
A. 圆 上有且仅有3个点到直线 的距离等于1
B. 过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，直线 的方程为
C. 一条直线与圆 交于不同的两点 ， ，且有 ，则 的最大值为
D. 若圆 与圆 相外切，则
[解析]选BC.圆心 ，半径 ，圆心 到直线 的距离 ，故圆 上有4个点到直线 的距离为1，故A错误；
过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则 ， ， ， 四点共圆，且 为直径，方程为 ， 是其与圆 的公共弦，直线 的方程为 ，故B正确；
设 的中点为 ，则 .因为 ，即 ，可得 ，则 ，故 的最大值为 ，故C正确；
圆 的圆心为 ，半径 ，根据题意可得 ，即 ，解得 ，故D错误.故选BC.
16. 如图，已知圆 的圆心在原点，且与直线 相切.
（1） 求圆 的方程；
[答案]解：依题意得，圆心 到直线 的距离 ，
所以 ，
所以圆 的方程为 .
（2） 点 在直线 上，过点 引圆 的两条切线 ， ，切点为 ， .
① 求四边形 面积的最小值；
[答案]连接 ， ，
因为 ， 是圆 的两条切线，
所以 ， ，
所以 .
所以当 取最小值8时，
.
② 求证：直线 过定点.
[答案]证明：由①得， ， 在以 为直径的圆上，
设点 的坐标为 ， ，
则线段 的中点坐标为 ，
所以以 为直径的圆的方程为 ，
即 .
因为 为两圆的公共弦，
所以由 得直线 的方程为 ， ，即 ，
则直线 恒过定点 .(共48张PPT)
第40讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
第八章
解析几何
1．(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．相交过圆心 D．相交但直线不过圆心
激 活 思 维
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
4．已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切，则圆C的方程是______________．
x2＋y2＝49
【解析】
5．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，则下列说法正确的是 ( )
A．圆C1与圆C2相交 B．圆C1与圆C2外切
C．两圆的圆心距为5 D．两圆的圆心距为3
BC
【解析】
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
聚 焦 知 识
方法 位置关系 几何法 代数法
相交 d______r Δ______0
相切 d______r Δ______0
相离 d______r Δ______0
＜
＞
＝
＝
＞
＜
方法 位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离 _____________ ______解
外切 _____________ ________实数解
相交 _________________________ ______________实数解
内切 d＝______________(r1≠r2) 一组实数解
内含 0______d______|r1－r2|(r1≠r2) 无解
d＞r1＋r2
无
d＝r1＋r2
一组
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
两组不同的
|r1－r2|
≤
＜
3．几个常用结论
(1) 圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2.
(2) 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时，公共弦所在直线的方程为 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是 ( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
直线与圆的位置关系
举 题 说 法
1
【解析】
【答案】ABD
【解析】
点(3，1)与圆心(1，2)的距离d＝＜5，故直线l与圆C恒相交，故B错误；
【答案】AC
视角1 弦长问题
圆的弦长、切线问题
【解析】
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心(－1，3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；
2-1
x＝0或3x＋4y－4＝0
变式 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，3)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______．
【解析】
视角2 切线问题
【解析】
2-2
与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是 ( )
C
【解析】
圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，所以圆心为B(2，0).记A(0，－2)，设切点为M，N，如图所示．
B
已知圆x2＋y2＋2x－4y－5＝0与圆x2＋y2＋2x－1＝0相交于A，B两点，则公共弦AB所在的直线方程为__________，|AB|＝_____．
圆与圆的位置关系
3
y＝－1
【解析】
由题意知公共弦AB所在的直线方程为(x2＋y2＋2x－4y－5)－(x2＋y2＋2x－1)＝0，即y＝－1.
2
变式 已知圆O：x2＋y2＝9与圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0交于A，
B两点，则直线AB的方程为________________，△ABC的面积为______．
2x＋3y－9＝0
【解析】
两圆相减得4x＋6y＝18，化简得2x＋3y－9＝0，故直线AB的方程为2x＋3y－9＝0.
随 堂 练习
1．过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0的切线，则切线方程为 ( )
A．x＋y－2＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－2y＋1＝0或2x－y－1＝0
C
【解析】
【解析】
C
3．若直线x－2y＋a＝0被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则实数a的值为_____．
1
【解析】
圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1，1)，半径r＝1.因为弦长为2，所以直线过圆心，即1－2＋a＝0，解得a＝1.
4．已知圆C：(x－a)2＋y2＝a2(a＞0)与圆M：x2＋(y－4)2＝4，P，Q分别为圆C和圆M上的动点，下列说法正确的是( )
A．过点(2，1)作圆M的切线有且仅有一条
B．存在实数a，使得圆C和圆M恰有一条公切线
C．若圆C和圆M恰有3条公切线，则a＝3
D．若|PQ|的最小值为1，则a＝1
【解析】
【答案】C
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．若圆x2＋y2－2x－2ay＋a2＝0截直线x－2y＋1＝0所得弦长为2，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
C
【解析】
圆的标准方程为(x－1)2＋(y－a)2＝1，圆心为C(1，a)，半径r＝1.因为圆x2＋y2－2x－2ay＋a2＝0截直线x－2y＋1＝0所得弦长为2，所以直线x－2y＋1＝0过圆心C，则1－2a＋1＝0，解得a＝1.
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3，0)，因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.
A
【解析】
【答案】ABD
对于C，直线l所过定点(－2，2)在圆C上，过点(－2，2)与圆C相切的直线是x＝－2，但直线l：(1＋a)x＋y＋2a＝0(a∈R)，表示斜率存在的直线，表示不了直线x＝－2，故不存在直线l与圆C相切，故C错误；
对于D，直线所过定点(－2，2)在圆上，所以直线l与圆C总有公共点，不可能相离，故D正确．
【解析】
【答案】BD
由题设，圆M：x2＋(y－3)2＝4，圆心为M(0，3)，半径r＝2，圆N：x2＋(y＋1)2＝9，圆心为N(0，－1)，半径R＝3，故A错误；
因为R－r＜|MN|＝4＜R＋r，所以两圆相交，故B正确；
【解析】
8．圆O1：x2＋y2－1＝0与圆O2：x2＋y2－4x＝0的公切线方程为______________________________．
【解析】
圆O1：x2＋y2－1＝0即x2＋y2＝1，圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1；圆O2：x2＋y2－4x＝0即(x－2)2＋y2＝4，圆心为O2(2，0)，半径为r2＝2.
【答案】
【解析】
【解答】
【解答】
因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C外部．当过点M的切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆C的切线．
11．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1) 求k的取值范围；
【解答】
【解答】
D
【解析】
【解析】
【解答】
【解答】
即b2＋2bc－8c2＝0，所以(b＋4c)(b－2c)＝0，所以b＝2c.因此a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC＝b2＋c2－bc＝3c2，又b＝2c，所以b2＝a2＋c2，所以B＝90°，所以△ABC为直角三角形．
又a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC＝b2＋c2－bc，所以6c2－3b2＋2(b2＋c2－bc)＝0，即8c2－2bc－b2＝0，所以(4c＋b)(2c－b)＝0，所以b＝2c，所以a2＝3c2.
因此b2＝a2＋c2，所以B＝90°，所以△ABC为直角三角形．
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