2025高考数学一轮复习-第45讲-随机抽样的方法、用样本估计总体-专项训练
[基础强化]
一、选择题
1．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用样本估计总体，年龄在(－s，＋s)内的人数占公司人数的百分比是(其中是平均数，s为标准差，结果精确到1%)( )
A.14% B．25% C．56% D．67%
2．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B．60 C．120 D．140
3．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A.中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
4．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是( )
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
5．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
6．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
7．(多选)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
9．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表所示：
广告费用x(万元) 2 3 4 5 6
销售额y(万元) 19 25 34 38 44
根据上表可得经验回归方程为＝6.3x＋，下列说法正确的是( )
A．回归直线＝6.3x＋必经过样本点(2，19)，(6，44)
B．这组数据的样本点中心(，)未必在回归直线＝6.3x＋上
C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元
二、填空题
10．已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是________．
11．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
12．在一容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1■，■，那么这组数据的方差s2可能的最大值是________．
[能力提升]
13．今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁．如图统计了上个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温－去年气温，单位：摄氏度)，以下判断错误的是( )
A．今年每天气温都比去年同期的气温高
B．今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低
C．去年8～11号气温持续上升
D．今年8号气温最低
14．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
15．已知一组正数x1，x2，x3的方差s2＝(x＋x＋x－12)，则数据x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均数为________．
16．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________．
参考答案与解析
1．C 因为＝＝40，
s2＝(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝，即s＝，年龄在(－s，＋s)即内的人数为5，所以所求百分比为≈0.56＝56%，故选C.
2．D 由频率分布直方图知，200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.
3．A 记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.
4．C 对于A选项，将甲同学周课外体育运动时长的样本从小到大排列，其样本容量为16，中间两个样本为7.3和7.5，所以中位数为＝7.4，所以A不符合题意．对于B选项，(方法一)乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)≈8.5，所以B不符合题意．(方法二)由乙的样本可知，小于8的样本有6.3，7.4，7.6，其他样本均大于8.又因为>8，>8，>8，所以乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，所以B正确．对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的样本有8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4，共6个，则甲同学周课外运动时长大于8的概率的估计值为＝<0.4，所以C符合题意．对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的样本有13个，则乙同学周课外运动时长大于8的概率的估计值为>0.6，所以D不符合题意．故选C.
5．A 设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，由题图可得下表：
种植收入 第三产业收入 其他收入 养殖收入
建设前 经济收入 0.6a 0.06a 0.04a 0.3a
建设后 经济收入 0.74a 0.56a 0.1a 0.6a
根据上表可知B、C、D均正确，A不正确，故选A.
6．B 由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差s＝×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s＝×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选B.
7．CD A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，错误；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．
D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax－xmin，则第二组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．
故选CD.
8．C 甲的平均数是＝6，中位数是6，极差是4，方差是＝2；乙的平均数是＝6，中位数是5，极差是4，方差是＝，比较可得选项C正确．
9．D 由表格中的数据可得＝＝4，
＝＝32，
将点(，)的坐标代入经验回归方程得6.3×4＋＝32，
解得＝6.8，
所以回归方程为＝6.3x＋6.8.
对于A选项，当x＝2时，＝6.3×2＋6.8＝19.4，A选项错误；
对于B选项，这组数据的样本点中心(，)必在回归直线＝6.3x＋上，B选项错误；
对于C选项，回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额约增加6.3万元，C选项错误；
对于D选项，当x＝7时，＝6.3×7＋6.8＝50.9，
所以据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元，D选项正确．
故选D.
10．2
解析：由平均数公式可得＝4，解得a＝2.
11．(1)3 (2)6 000
解析：(1)0.1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1，解得a＝3.
(2)消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所以所求购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.
12．32.8
解析：设这组数据的最后两个数据为10＋x，y(x∈N，x≤9)
∵9＋10＋11＋10＋x＋y＝10×5＝50，
∴x＋y＝10，
∴y＝10－x.
∴s2＝[1＋0＋1＋x2＋(y－10)2]＝(2＋2x2).
∵x≤9，
∴当x＝9时，s2取得最大值32.8.
13．A 由图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年同期的气温，故选项A不正确；除6，7号，今年气温略高于去年同期的气温外，其他日子，今年气温都低于去年同期的气温，所以今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低，选项B正确；今年8～11号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明去年8～11号气温持续上升，选项C正确；由图可知，今年8号气温最低，选项D正确．故选A.
14．B 根据均值E(X)＝ipi，方差D(X)＝xi－E(X)]2·pi以及方差与标准差的关系，得各选项对应样本的标准差如下表．
选项 均值E(X) 方差D(X) 标准差
A 2.5 0.65
B 2.5 1.85
C 2.5 1.05
D 2.5 1.45
由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B.
15．3
解析：∵s2＝
＝
＝，
又s2＝(x＋x＋x－12)，
∴32＝12，
∴＝2.
∴x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均数为＝3.
16．50
解析：设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为P，则中间一个小矩形面积为P，P＋P＝1，P＝，则中间一个小矩形的面积等于P＝，200×＝50，即该组的频数为50.(共87张PPT)
第45讲 随机抽样的方法、用样本估计总体
第九章
统计
1．为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50 000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5 kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数 ( )
A．一定为5.5 kW·h B．高于5.5 kW·h
C．低于5.5 kW·h D．约为5.5 kW·h
激 活 思 维
【解析】
D
由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW·h.
2．某射击运动员7次的训练成绩分别为86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为( )
A．88.5 B．89
C．91 D．89.5
B
【解析】
因为7次的训练成绩从小到大排列为85，86，87，88，88，89，90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.
3．一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取______名，女运动员应抽取______名．
16
【解析】
12
4．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1) 直方图中x的值为___________；
0.004 4
【解析】
由(0.006 0＋x＋0.003 6＋0.002 4×2＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4.
(2) 在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数有______户．
【解答】
(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.
70
5．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲：0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙：2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，______机床的性能更好．
【解析】
【答案】乙
比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好．
1．总体平均数与样本平均数
聚 焦 知 识
总体均值
样本均值
2．百分位数
一般地，一组数据的第k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有______的数据小于或等于pk，且至少有______________的数据大于或等于pk.如果将样本数据从小到大排列成一行，那么第k百分位数pk所处位置如图所示．
k%
(100－k)%
中间
平均数
最多
(1) 现有一组数据：663，664，665，668，671，664，656，674，651，653，652，656.则这组数据的第85百分位数是 ( )
A．652 B．668
C．671 D．674
百分位数的估计
举 题 说 法
1
C
【解析】
由题意，这组数据共12个，则12×85%＝10.2.将这组数据按从小到大的顺序排列为651，652，653，656，656，663，664，664，665，668，671，674，故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671.
(2)《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：kg)，根据测量数据，按[40，45)，[45，50)，[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是 ( )
A．55 B．57.25
C．58.75 D．60
1
【解析】
【答案】C
因为(0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.6＜0.75，0.6＋0.04×5＝0.8＞0.75，所以该地中学生体重的第75百分位数在[55，60)内．设第75百分位数为m，则(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75.
为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩(均为整数)中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图(用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值)．关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是 ( )
总体集中趋势估计
2
甲班物理成绩
乙班物理成绩
【解析】
【答案】D
A．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
B．乙班成绩的第75百分位数为79
C．甲班成绩的中位数为74
D．甲班成绩的平均数大于乙班成绩的平均数的估计值
由题图知甲班成绩的众数为79，乙班成绩的众数为75，故A错误．
因为10×(0.020＋0.025＋0.030)＝0.75，所以乙班成绩的第75百分位数为80，故B错误.
甲班物理成绩从小到大排序的第10个、第11个数都是79，故中位数为79，故C错误．
变式 (多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
【解析】
对于C，因为x1是最小值，x6是最大值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，
对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确．
【答案】BD
某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…10)，试验结果如下：
总体离散程度估计
3
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
【解答】
某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…10)，试验结果如下：
3
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
【解答】
变式 为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体高(单位：cm)如右表，请进行数据分析．
甲品种 137 128 130 133 122
乙品种 111 110 109 106 114
【解答】
分层随机抽样的均值与方差
视角1 分层随机抽样中的均值
4-1
新视角
【解析】
【答案】D
视角2 分层随机抽样中的方差
【解析】
在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可估计该中学高一年级全体学生的身高的均值为_________，方差为________．
4-2
【答案】165.3 50.4
变式 为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用按样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1 200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为 ( )
A．0.96 B．0.94 C．0.79 D．0.75
B
【解析】
随 堂练习
1．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9，则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为 ( )
A．平均数 B．第50百分位数
C．极差 D．众数
A
【解析】
2．如图所示是某地区2023年的天气情况(其中曲线图表示月平均气温，条形图表示月平均降雨量)，下列对1～11月天气的说法错误的是 ( )
A．有5个月平均气温在 30 ℃以上
B．有4个月平均降水量为0 mm
C．7月份平均气温最高
D．3月份平均降水量最高
D
【解析】
由图知，5月、6月、7月、8月、9月这5个月的平均气温均在30 ℃以上，故A正确.6月、7月、8月、9月这4个月的平均降水量为0 mm，故B正确.7月份平均气温最高，故C正确.2月份平均降水量比3月份平均降水量高，故D错误．
3．已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差为 ( )
A．18.2 B．19.6 C．19.8 D．21.4
C
【解析】
设增加的数为k，原来的9个数分别为a1，a2，…，a9，则a1＋a2＋…＋a9＝72，a1＋a2＋…＋a9＋k＝90，所以k＝18.
4．(多选)某校1 000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则 ( )
A．a＝0.008
B．X＝120
C．70 分以下的人数约为6
D．本次考试的平均分约为93.6分
【解析】
【答案】AD
由题图知20×(0.002×2＋0.004＋a＋0.014＋0.020)＝1，解得a＝0.008，故A正确．
由题图知，70分以下的人数约为1 000×20×(0.002＋0.004)＝120，故C错误．
本次考试的平均分约为40×0.002×20＋60×0.004×20＋80×0.014×20＋100×0.020×20＋120×0.008×20＋140×0.002×20＝93.6(分)，故D正确．
5．某高中学校共有学生3 600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3 600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为_________．
1 500
【解析】
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研．已知甲村和乙村人数之比是3∶1，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是( )
A．16 B．24 C．32 D．40
A
【解析】
设被抽取参与调研的乙村村民有x人，则甲村被抽取参与调研的有3x人，所以3x－x＝8，即x＝4，所以参加调研的总人数为x＋3x＝16.
2．下表是足球世界杯连续八届的进球总数：
则进球总数的第40百分位数是 ( )
A．147 B．154 C．161 D．165
C
【解析】
将连续八届的进球总数从小到大排列为：141，145，147，161，169，171，171，172.由于8×40%＝3.2，故进球总数的第40百分位数是第4个数据161.
年份 1994 1998 2002 2006 2010 2014 2018 2022
进球总数 141 171 161 147 145 171 169 172
3．为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式服役，增强学生的国防意识，某校组织1 000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛．从中随机抽取20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A．频率分布直方图中a的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C．估计这20名学生考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为
150
【解析】
【答案】D
由频率分布直方图可得10×(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)＝1，解得a＝0.005，故A错误；
前三个矩形面积为(2a＋3a＋7a)×10＝0.6，即第60百分位数为80，故B错误；
估计总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为3a×10×1 000＝150，故D正确．
【解析】
若任意连续7天，每天体温高于37.3℃的人数为2，2，2，3，3，4，6，则满足中位数是3，众数为2，但第7天有6人高于5人，故①错误．
若任意连续7天，每天体温高于37.3℃的人数为0，1，2，4，4，4，6，则满足均值为3，众数为4，但第7天有6人高于5人，故③错误．
D
二、 多项选择题
5．某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛，在歌唱比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组给参赛选手打分．根据两个评委小组(记为小组A，小组B)对同一名选手打分的分值绘制成折线图如图所示，则( )
A．小组A打分的分值的众数为47
B．小组B打分的分值的第80百分位数为69
C．小组A是由专业人士组成的可能性较大
D．小组B打分的分值的方差小于小组A打分的分
值的方差
【解析】
【答案】AC
由折线图知，小组A打分的9个分值排序为42，45，46，47，47，47，50，50，55，小组B打分的9个分值排序为36，55，58，62，66，68，68，70，75.对于A，小组A打分的分值的众数为47，故A正确；
对于B，因为9×80%＝ 7.2，所以小组B打分的分值的第80百分位数为第8个数据70，故B不正确；
对于C，小组A打分的分值比较均匀，即对同一个选手水平的评估相对波动较小，所以小组A更像是由专业人士组成的，故C正确；
对于D，小组A打分的分值的均值约为47.7，小组B打分的分值的均值为62，由数据相对均值的离散程度可知小组B的方差较大，故D不正确．
6．甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下表，则 ( )
A．甲、乙两人射击成绩的平均数相同
B．甲、乙两人射击成绩的中位数相同
C．甲命中环数的极差大于乙命中环数的极差
D．甲比乙射击成绩更稳定
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
【解析】
【答案】ABC
对于B，甲命中环数从小到大排列为4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，中位数为7，乙命中环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，中位数为7，故B正确；
对于C，甲的极差为10－4＝6，乙的极差为9－5＝4，故C正确；
三、 填空题
7．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为_________件．
1 800
【解析】
【解析】
4
9．某班共有50名学生，在期末考试中，小明因病未参加数学考试，参加考试的49名学生的数学成绩的方差为2.在评估数学成绩时，老师把小明的数学成绩按这49名学生的数学成绩的平均数来算，那么全班50名学生的数学成绩的
标准差为______．
【解析】
四、 解答题
10．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下表(单位：分)．
(1) 试计算这两组数据的平均数、中位数．
【解答】
甲 95 82 88 81 93 79 84 78
乙 83 75 80 80 90 85 92 95
四、 解答题
10．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下表(单位：分)．
(2) 现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，选派哪名工人参加合适？请说明理由．
【解答】
甲 95 82 88 81 93 79 84 78
乙 83 75 80 80 90 85 92 95
②从中位数来看，乙的中位数大于甲的中位数，乙的成绩好于甲；
④从数据来看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势来看，乙后 3次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩．
11．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变. 消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注. 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60，80)的老年人的年收入按年龄[60，70)，[70，80)分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在[60，70)的老年
人500人，年龄在[70，80)的老年人300人．现作出年龄在[60，70)的老年人年收入的频率分布直方图(如图所示)．
(1) 根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60，70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
【解答】
根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60，70)的老年人年收入的平均数约为0.04×2＋0.08×3＋0.18×4＋0.26×5＋0.20×6＋0.15×7＋0.05×8＋0.04×9＝5.35.
11．随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变. 消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注. 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60，80)的老年人的年收入按年龄[60，70)，[70，80)分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在[60，70)的老年
人500人，年龄在[70，80)的老年人300人.现作出年龄在[60，70)的老年人年收入的频率分布直方图(如图所示)．
(2) 已知年龄在[60，70)的老年人年收入的方差为3，年龄在[70，80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60，80)的老年人年收入的方差．
【解答】
B组 滚动小练
12．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AB⊥SD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2.
(1) 求平面BSC与平面SCD夹角的大小．
【解答】
因为SA⊥底面ABCD，AB，AD 底面ABCD，所以SA⊥AB，SA⊥AD.又AB⊥ SD，SD∩SA＝S，SD，SA 平面SAD，所以AB⊥平面SAD，而AD 平面SAD，所以AB⊥AD.
以A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，S(0，0，1).设平面SBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面SCD的法向量为n2＝(x2，y2，z2).
12．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AB⊥SD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2.
(2) 已知E为CD的中点，试问：棱SD上是否存在一点Q，使得BQ⊥AE？若存在，求出SQ的长；若不存在，请说明理由．
【解答】
【解答】
加练统计图表的识别
一、 单项选择题
1．青少年是国家的未来和民族的希望，青少年身体素质事关个人
成长、家庭幸福、民族未来，促进青少年健康是建设体育强国、健康中国的重要内容．党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身，强健体魄、砥砺意志，凝聚和-发青春力量．近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶．某学校共有2 000名男生，为了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生体重情况．根据所得数据绘制样
本的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )
A．样本的众数为67.5
B．样本的80%分位数为72.5
C．样本的平均值为66
D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人
【解析】
【答案】C
对于A，样本的众数为67.5，故A正确；
对于B，设样本的80%分位数为a，因为0.03×5＋0.05×5＋0.06×5＝0.7＜0.8，0.03×5＋0.05×5＋0.06×5＋0.04×5＝0.9＞0.8，则0.03×5＋0.05×5＋0.06×5＋(a－70)×0.04＝0.8，解得a＝72.5，故B正确；
对于D，该校男生中低于60公斤的学生所占的频率为0.03×5＝0.15，该校男生中低于60公斤的学生大约为0.15×2 000＝300人，故D正确．
2．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示是该校高三(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高，说明该项教育越好)，下列说法正确的是( )
A．高三(2)班五项评价得分的极差为1.5
B．除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分
C．高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高
D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大
【解析】
【答案】C
对于A，高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.5－8.5＝1，A错误；
对于B，两班的德育分相等，B错误；
对于D，两班的体育得分相差9.5－9＝0.5，而两班的劳育得分相差9.25－8.5＝0.75，故两个班的劳育得分相差最大，D错误．
3．电力工业是一个国家的经济命脉，它在国民经济和人民生活中占有极其重要的地位．目前开发的电力主要是火电、水电、风电、核电、太阳能发电，其中，水电、风电、太阳能发电均属于可再生能源发电．如图所示的是2020年各电力子行业发电量及增幅的统计图，下列说法错误的是 ( )
A．火电发电量大约占全行业发电量的71%
B．在火电、水电、风电、核电、太阳能发电的发电量中，比上一年增幅最大的是风电
C．火电、水电、风电、核电、太阳能发电的发电量的极差是7.28
D．可再生能源发电量的增幅均跑赢全行业整体增幅
【解析】
【答案】C
对于B，由题图可知风电增幅10.50%，是最大增幅，B正确；
对于C，火电、水电、风电、核电、太阳能发电的发电量的极差是5.28－0.14＝5.14，C错误；
对于D，全行业整体增幅为2.70%，而可再生能源发电量的增幅中，增幅最低的水电为5.30%，即可再生能源发电量的增幅均跑赢全行业整体增幅，D正确．
4．为迎接北京2022年冬奥会，小王选择以跑步的方式响应社区开展的“喜迎冬奥爱上运动”(如图)健身活动. 依据小王2021年1月至2021年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据，整理并绘制的折线图(如图)，根据该折线图，下列结论正确的是 ( )
A．月跑步里程逐月增加
B．月跑步里程的极差小于15
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至
11月的月跑步里程的方差更大
【解析】
【答案】C
对于A，1月至2月、6月至8月、10月至11月的月跑步里程逐月减少，故A错误；
对于B，月跑步里程的极差约为25－5＝20＞15，故B错误；
对于C，月跑步里程由小到大对应的月份分别为2月、8月、3月、4月、1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，所以月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数，故C正确；
对于D，1月至5月的月跑步里程的波动幅度比6月至11月的月跑步里程的波动幅度小，故1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更小，D错误．
5．随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展. 据国家统计局网站数据显示，2012～2021年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是 ( )
A．2012～2021年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
D．2012～2021年，农村居民国内游客人数的75%分位数为1 535
B．2012～2021年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．2012～2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
【解析】
【答案】D
对于A，由图得，2012～2021年，每一年城镇居民国内游客人数都比农村居民国内游客人数多，则2012～2021年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，故A正确；
对于B，由图得，2012～2021年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数的波动大，根据方差的意义可得2012～2021年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，故B正确；
对于C，由图得，2012～2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，则2012～2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，故C正确；
对于D，因为10×75%＝7.5，所以2012～2021年，农村居民国内游客人数的75%分位数为各数据按从小到大排序后的第8个数据，即1 324，故D错误．
二、 多项选择题
6．2022年前三个季度全国居民人均可支配收入27 650元，比2021年同期增长了约5.3%.如图，分别为2021年与2022年前三季度全国及分城乡居民人均可支配收入的对比图和2022年前三季度全国居民人均消费支出及构成(其中全国居民人均可支配收入＝城镇居民人均可支配收入×城镇人口比重＋农村居民人均可支配收入×农村人口比重)，则下列说法正确的是 ( )
2021年与2022年前三季度全国及分城
乡居民人均可支配收入(单位：元)
2022年前三季度全国居民人均消费支出及构成
A．2022年前三个季度全国居民可支配收入的中位数一定高于2021年同期全国居民可支配收入的中位数
B．2022年城镇居民人数多于农村居民人数
C．2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费超过了总消费的50%
D．2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出超过了3 700元
【解析】
【答案】BC
对于A，图中信息体现的是平均数的差别，没有提供中位数的信息，不能作出判断，故A错误；
对于B，设2022年城镇居民占全国居民的比重为x，则有37 482×x＋14 600×(1－x)＝27 650，解得x≈0.57，故B正确；
对于C，2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费支出占总消费的比例分别为30%，24%，故C正确；
对于D，2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出为27 650×10%＝2 765(元)，且2 765＜3 700，故D错误．
7．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如图所示的扇形图．
则下列结论正确的是 ( )
A．招商引资后，工资净收入较前一年增加
B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.2倍
D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
招商引资前，经
济收入构成比例
招商引资后，经
济收入构成比例
【解析】
【答案】AD
设招商引资前经济收入为M，则招商引资后经济收入为2M. 对于A，招商引资前工资净收入为M×60%＝0.6M，而招商引资后的工资净收入为2M×37%＝0.74M，所以工资净收入增加了，故A正确；
对于B，招商引资前转移净收入为M×4%＝0.04M，招商引资后转移净收入为2M×5%＝0.1M，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；
对于D，招商引资前经营净收入为M×30%＝0.3M，招商引资后经营净收入为2M×30%＝0.6M，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确．
8．调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图如图所示，则下列说法中正确的是 ( )
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【解析】
【答案】ABC
对于A，互联网行业中仅90后从事技术和运营岗位的人数占总数的56%× (39.6%＋17%)＝31.696%＞30%，故A正确；
对于B，互联网行业中仅90后从事技术岗位的人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%＞20%，故B正确；
对于C，互联网行业中90后从事运营岗位的人数占总人数的56%×17%＝9.52%，而80前从事互联网行业的人数占总人数的3%，故C正确；
对于D，由于80后中从事技术岗位的人数所占比例不确定，所以无法比较，故D不正确．
9．某中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生年级分布的饼状图(如图)和前200名学生中高一年级学生排名分布的频率条形图(如图)，则下列说法正确的是 ( )
A．成绩前200名的200人中，高一年级人数比高二年级人数多30
B．成绩第1～100名的100人中，高一年级人数不超过一半
C．成绩第1～50名的50人中，高三年级最多有32人
D．成绩第51～100名的50人中，高二年级人数比高一年级人数多
【解析】
【答案】ABC
由饼状图知，成绩前200名的200人中，高一年级人数比高二年级人数多200 ×(45%－30%)＝30，A正确；
由条形图知高一年级学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此成绩第1～100名的100人中，高一年级人数为200×45%×0.5＝45＜50，B正确；
成绩第1～50名的50人中，高一年级人数为200×45%×0.2＝18，因此高三年级最多有32人，C正确；
第51～100名的50人中，高一年级人数为200×45%×0.3＝27，高二年级最多有23人，因此高二年级人数比高一年级人数少，D错误．
10．根据小红家2022年全年用电量(单位：度)和该月的用电量占年总用电量的百分比，绘制出如图所示的双层饼图. 根据双层饼图，下列说法正确的是 ( )
A．2022年第二季度的用电量为260度
B．2022年下半年的总用电量为500度
C．2022年11月的用电量为100度
D．2022年12个月的月用电量的中位数为80度
【解析】
设小红家2022年全年用电量为x度，根据第一季度用电量为160度，得160＝(5%＋5%＋6%)x，得x＝1 000度，所以第二季度用电量为x(6%＋9%＋11%)＝1 000× 26%＝260度，故A正确；
【答案】AC
2022年下半年的总用电量为1 000×(28%＋30%)＝580度，故B不正确；
2022年11月用电量占全年28%－12%－6%＝10%，2022年11月的用电量为1 000×10%＝100度，故C正确；
1月用电量为1 000×5%＝50度，2月用电量为1 000×5%＝50度，3月用电量为1 000× 6%＝60度，4月用电量为1 000×6%＝60度，5月用电量为1 000×9%＝90度，6月用电量为1 000×11%＝110度，7月用电量为1 000×8%＝80度，8月用电量为1 000× 10%＝100度，9月用电量为1 000×12%＝120度，10月用电量为1 000×12%＝120度，11月用电量为100度，12月用电量为1 000×6%＝60度，
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