(共48张PPT)
第48讲 排列与组合
第十章
计数原理、概率及其分布
1．一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是_____．
激 活 思 维
【解析】
9
因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是5＋4＝9.
2．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_____．
6
【解析】
因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，所以从A村经B村去C村，不同路线的条数是3×2＝6.
3．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．如果物理和化学恰有1门被选，那么共有______种不同的选法．
12
【解析】
4．乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有______项．
45
【解析】
根据多项式的乘法法则，(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后每一项均是从(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1项相乘得到，所以展开后的项数为3×3×5＝45.
5．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有_______种不同的排法．
288
【解析】
1．两个计数原理的区别与联系
聚 焦 知 识
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可
2．排列与组合的概念
3．排列数与组合数
(1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号_______表示．
(2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号_______表示．
名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照______________排成一列
组合 作为一组
一定的顺序
不同排列
不同组合
4．排列数、组合数的公式及性质
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
1
n！
学校举行德育知识竞赛，甲、乙、丙、丁、戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙、丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的”．从以上回答分析，5人的名次排列不同的可能情况种数是 ( )
A．14 B．16
C．18 D．20
两个计数原理的应用
举 题 说 法
1
【解析】
由题意可知，冠军不会是丙、丁，且丁不是第5名．
【答案】B
所以共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝8＋4＋2＋2＝16(种).
变式 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A．120 B．60
C．40 D．30
B
【解析】
(1) 某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为 ( )
捆绑法与插空法
2
D
【解析】
(2) A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的种数为 ( )
A．48 B．96 C．144 D．288
B
2
【解析】
③将C，D，G，F，E排成一排，且C，D不相邻，E不站两端的排法有72－24＝48(种).综上，满足条件的排法共有2×48＝96(种).
变式 (1)甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的站法共有 ( )
A．24种 B．48种
C．72种 D．96种
C
【解析】
变式 (2) 在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.718 28.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
36
【解析】
现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有______种．
分组分配法
3
54
【解析】
变式 信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势，为了了解学生利用学习机学习的情况，某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机，并安排4人进行相关数据统计，且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，则不同的安排方法有_________种．
1 560
【解析】
由题意可知6种主流的学习机安排给4人进行相关数据统计，每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，则学习机的分配方法有3，1，1，1和2，2，1，1两类情况．
泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持，历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船将从一字排开的12个桥孔划过，若为
隔板法
4
安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有_______种．
【解析】
【答案】840
随 堂练习
1．把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有( )
A．4种 B．6种
C．21种 D．35种
B
【解析】
2．某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同的数字密码有 ( )
A．120种 B．240种
C．360种 D．480种
A
【解析】
3．甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
C
【解析】
4．某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职体育教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为 ( )
A．96 B．120 C．144 D．240
D
【解析】
5．现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有 ( )
A．56种 B．64种
C．72种 D．96种
D
【解析】
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为 ( )
A．720 B．240
C．120 D．60
A
【解析】
可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门票有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法．由分步乘法计数原理得，共有10×9×8＝720(种)不同的分法．
2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，则甲不站在两端，且丙和丁相邻的不同的排列方式有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
B
【解析】
3．某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有( )
A．300种 B．210种
C．180种 D．150种
D
【解析】
4．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
B
【解析】
因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位．
二、 多项选择题
5．小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列选项正确的是( )
A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法
B．若安排小红和小兰去同一个地方参观，则有6种安排方法
C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法
D．共有18种安排方法
【解析】
【答案】ABC
6．现有4个小球和4个小盒子，下面的说法正确的是 ( )
A．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有24种放法
B．将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种
C．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种
D．将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
【解析】
若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故A错误；
编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，所有符合要求的情况为(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)，共9种放法，故D正确．
【答案】BCD
三、 填空题
7．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种．(用数字作答)
【解析】
64
综上，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种).
8．“五经”是儒家典籍《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》《春秋》分开排的情况有______种．
72
【解析】
9．将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有______种．(用数字作答)
19
【解析】
将8块完全相同的巧克力取4块分给A，B，C，D四人，每人各1块，有1种分法，再将剩余4块分给4人，由于每人最多分到3块，故有“0，1，1，2”或“0，0，2，2”或“1，1，1，1”三类分法.
四、 解答题
10．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(1) 从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
【解答】
10．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．
(2) 若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
【解答】
11．用0，1，2，3，4，5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条件的6位数的个数．
(1) 1与2相邻；
【解答】
11．用0，1，2，3，4，5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条件的6位数的个数．
(2) 0与1之间恰有两个数；
【解答】
11．用0，1，2，3，4，5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别求满足下列条件的6位数的个数．
(3) 1不在个位.
【解答】
B组 滚动小练
12．(多选)已知x＝1为函数f(x)＝x2－3x－logax的极值点，则(参考数据：ln 2≈0.693 1) ( )
【解析】
【答案】BCD
对于B，f(x)的极小值为f(1)＝－2，故B正确；
13．设等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
由题意，等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9，即d＝2a1，a1＋4d＝9，解得a1＝1，d＝2，故an＝1＋2(n－1)＝2n－1，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
13．设等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9.
【解答】
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-第48讲-排列与组合-专项训练
[基础强化]
一、选择题
1．某数学问题可用综合法和分析法两种方法证明；有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现从这8人中任选1人证明这个问题，不同的选法种数为( )
A．8 B．15
C．18 D．30
2．一个袋子中有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子中有12张不同的中国联通卡，某人打算在手机上安一张移动卡和一张联通卡，则不同的安装方式有( )
A．22种 B．120种
C．10种 D．12种
3．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个
C．96个 D．72个
4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，所取的3个球中至少有1个白球的取法种数是( )
A．10 B．3
C．6 D．9
5．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
6．6个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A.192种 B．216种
C．240种 D．288种
7．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
8．7个人排成一排，若甲、乙、丙互不相邻，共有不同的排法种数是( )
A．24 B．60
C．84 D．1 440
9．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，且是奇数，其中恰有两个数字是偶数，则这样的五位数的个数为( )
A．7 200 B．6 480
C．4 320 D．5 040
二、填空题
10．从6个人中选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有________种安排方法．
11．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
12．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
参考答案与解析
1．A 由分类加法计数原理可知共有5＋3＝8种不同的选法．
2．B 由分步乘法计数原理可知共有10×12＝120种不同的安装方式．
3．B 首位数字是4的五位偶数有2A＝48个；首位数字是5的五位偶数有3A＝72个．由分类加法计数原理可知共有48＋72＝120个．
4．D 由5个球中任取3个球，共有C＝10种，其中没有白球的取法有C＝1种，∴所取的3个球中至少有1个白球的取法有10－1＝9种．
5．D 将4项工作分成3组，共有C种分法，再安排给3人共有A种方法，故共有CA＝36种不同的安排方式．
6．B 若甲排在最左端，共有A＝120种不同的方法；
若乙排在最左端，则有AA＝96种不同的方法，所以共有 120＋96＝216种．
7．C 将B，C看作一个元素，除A外，共有AA＝48种，再安排A，共有A种不同的排法，∴实验顺序共有48×2＝96种不同的编排方法．
8．D 完成这件事分两步进行，第一步排除甲、乙、丙以外的4个人，共有A＝24种不同的排法，第二步排除甲、乙、丙，共有A＝60种不同的排法，由分步乘法原理，共有24×60＝1 440种不同的排法．
9．B 当两个偶数数字中不含0时，共有CCCA＝4 320(个)；当两个偶数数字中有一个为0时，共有CCCCA＝2 160(个).因此共有4 320＋2 160＝6 480(个)，故选B.
10．180
解析：从6个人中选取1个人安排在第一天有C＝6(种)方法，然后从余下的5个人中选取1个人安排在第二天有C＝5(种)方法，再从剩余的4个人中选取2个人安排在第三天有C＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知不同的安排方法有6×5×6＝180(种).
11．1 260
解析：含有数字0的没有重复数字的四位数共有CCAA＝540个，不含数字0的没有重复的四位数共有CCA＝720个，故一共可以组成540＋720＝1 260个没有重复数字的四位数．
12．36
解析：因为每个小区至少安排1名同学，所以4名同学的分组方案只能为1，1，2，所以不同的安排方法共有·A＝36种．
