(共46张PPT)
第49讲 二项式定理及其应用
第十章
计数原理、概率及其分布
1．(x－1)10的展开式的第6项的系数是 ( )
激 活 思 维
【解析】
C
2．若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
C
【解析】
3．(1－2x)(x＋2)3的各项系数和为 ( )
A．－27 B．27
C．16 D．－16
A
【解析】
(1－2x)(x＋2)3＝－2x4－11x3－18x2－4x＋8，各项系数和为－2－11－18－4＋8＝－27.
4．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是 ( )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
D
【解析】
5．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________．
－15
【解析】
在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中含x4的项即从5个因式中取4个x，1个常数，所以含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4.所以展开式中，含x4的项的系数是－15.
1．二项式定理
聚 焦 知 识
k＋1
2n
2n-1
(a＋b)n的展开式中的特定项
举 题 说 法
1
【解析】
60
【解析】
9
－672
(1－x)4(1＋2y)3的展开式中xy2的系数为________(用数字作答)．
(a＋b)m(c＋d)n的展开式中的特定项
2
－48
【解析】
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【解析】
D
(1) (多选)已知函数f(x)＝(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6(ai∈R，i＝0，1，2，3，…，6)的定义域为R，则 ( )
A．a0＋a1＋a2＋…＋a6＝－1
B．a1＋a3＋a5＝－364
C．a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6＝12
D．f(5)被8整除的余数为7
二项式系数的性质及系数和
3
【解析】
【答案】BC
当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a6＝(1－2)6＝1①，故A错误；
f′(x)＝－12(1－2x)5＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋6a6x5，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋6a6＝－12×(1－2)5＝12，故C正确；
3
【解析】
对于C，展开式共有7项，故第4项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确．
【答案】ACD
【解析】
B
【解析】
－540
3．已知二项式(2x－a)n的展开式中只有第4项的二项式系
数最大，且展开式中x3项的系数为20，则实数a的值为________．
【解析】
4．(多选) 若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论正确的是 ( )
A．a0＝1 B．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2
C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35 D．a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1
ACD
【解析】
令x＝0，得a0＝15＝1，故A正确；
令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B错误；
令x＝－1，得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确；
随 堂 练习
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
B
4．代数式(3x＋4y)20的二项式系数之和为_______．
220
【解析】
代数式(3x＋4y)20的二项式系数之和为220.
5．(1－x＋x2)(1＋x)6的展开式中x7的系数是_____．
5
【解析】
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．若(x－a)(1－3x)3的展开式的各项系数和为8，则a＝ ( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
C
【解析】
令x＝1，得(1－a)(1－3)3＝8，解得a＝2.
【解析】
A
【解析】
B
4．设(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a7＝a8，则n＝( )
A．8 B．9
C．10 D．11
D
【解析】
【解析】
BD
6．已知(x2＋x＋1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18，则下列说法正确的有 ( )
【解析】
对于A，令x＝0，则a0＝(0＋0＋1)9＝1，A正确；
【答案】AD
对于D，因为[(x2＋x＋1)9]′＝9(x2＋x＋1)8(2x＋1)，(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18)′＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，所以9(x2＋x＋1)8(2x＋1)＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝9×38×3＝311，D正确．
【解析】
60
【解析】
32
9．若(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋(x＋1)4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．
－45
【解析】
令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋24＝1，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－15.令x＝0得a0＋1＝－1，所以a0＝－2，而a5＝25＝32，所以a1＋a2＋a3＋a4＝－45.
四、 解答题
10．已知在(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等．
(1) 求展开式中二项式系数最大的项；
【解答】
10．已知在(x－2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等．
【解答】
【解答】
【解答】
【解析】
A．最小值为8 B．最大值为8
C．最小值为4 D．最大值为4
A
【解答】
【解答】
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-第49讲-二项式定理及其应用-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 的展开式中， 的系数为( )
A. B. C. D.
2. ( )
A. B. C. D.
3. 若 的展开式中第5项是常数项，则自然数 ( )
A. B. C. D.
4.若 ， ，则 的值为( )
A. B. C. D.
5. 二项式 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 的指数为整数的项的个数为( )
A. B. C. D.
6. 已知 的展开式中所有项的系数和等于 ，则展开式中项的系数的最大值是( )
A. B. C. D.
7. 展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的 的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
9. （多选）已知 ，则( )
A. B.
C. D.
10.（多选）设 ，其中 , ，则( )
A. B.
C. D.
11. 的展开式的中间项为 .
12.已知二项式 展开式中含有常数项，则 的最小值为 .
13. 在二项式 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 .
14.若 ，且 ，则实数 的值为 .
[B级 综合运用]
15.已知 ，则 除以10所得的余数为( )
A. B. C. D.
16.已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为 .
17. 若 ，且 ，则 .
18. 设 .
（1） 求 的值；
（2） 求 的值；
（3） 求 的值.
[C级 素养提升]
19. 已知 是数列 的前 项和，若 ,数列 的首项 , ，则 ( )
A. B. C. D.
20. 在①展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 ，②展开式中前三项的二项式系数之和为22这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.问题：已知二项式 , .
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求 中含 项的系数.
2025高考数学一轮复习-第49讲-二项式定理及其应用-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 的展开式中， 的系数为( D )
A. B. C. D.
[解析]选D. 的通项为 ，
令 ，解得 ，所以 的系数为 .故选D.
2. ( D )
A. B. C. D.
[解析]选D. .故选D.
3. 若 的展开式中第5项是常数项，则自然数 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由 的展开式中第5项 是常数项，可得 ,解得 .故选C.
4.若 ， ，则 的值为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.因为 ，故展开式中 的系数 .故选B.
5. 二项式 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 的指数为整数的项的个数为( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.根据 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得 ,所以 的展开式的通项为 ，要使 的指数是整数，需 是3的倍数，所以 , , , , , , ，所以 的指数是整数的项共有7项.
6. 已知 的展开式中所有项的系数和等于 ，则展开式中项的系数的最大值是( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.令 得 ,所以 ,所以 的展开式的通项为 ,要求展开式中项的系数的最大值，则 必为偶数，所以 , , , , ，故选C.
7. 展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的 的系数为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.取 代入，得 ，解得 .
则原式 ，其中，只有前两项包含 项. ，其中含 项的系数为 ；
，其中含 项的系数为 .故原式展开式中的 的系数为 .故选C.
8.已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设 ，若 ，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为展开式只有第 5 项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 .故选C.
9. （多选）已知 ，则( ABC )
A. B.
C. D.
[解析]选ABC.令 得 ,即 ,故A正确.令 得 ，即 ，故D不正确.令 ,则原式就变为 ，根据二项式定理知， 即二项式 展开式中 的系数， ,故 ，故B正确. , ,所以 ,故C正确.
10.（多选）设 ，其中 , ，则( ACD )
A. B.
C. D.
[解析]选ACD.由题意，令 ，得 ，故A正确；
令 ，得 ，则 ，故B错误；
令 ，得 ，即 ，故C正确；
令 ,
，
令 ，得 ，即 ，故D正确.
故选ACD.
11. 的展开式的中间项为 .
[解析] 的展开式的中间项为 .
12.已知二项式 展开式中含有常数项，则 的最小值为6.
[解析]二项式 展开式的通项为 ，
因为二项式 展开式中含有常数项，
所以 有解，所以 ，则当 时， 最小，且最小值为6.
13. 在二项式 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是5.
[解析]由二项展开式的通项可知 , , ，当项为常数项时， , .当项的系数为有理数时， 为偶数，可得 , , , , ,即系数为有理数的项的个数是5.
14.若 ，且 ，则实数 的值为1或 .
[解析]在 中，
令 可得 ，即 .
令 ,可得 .
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，解得 或 .
[B级 综合运用]
15.已知 ，则 除以10所得的余数为( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.
,
所以 除以10所得的余数为8.故选D.
16.已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为 .
[解析]因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，则 ，
所以展开式的通项为 , , , , ，
则该展开式中各项系数 , , , , .
若求系数的最小值，则 为奇数且
即 解得 .
所以系数的最小值为 .
17. 若 ，且 ，则 .
[解析]在等式 中，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
对等式 两边求导得
，
令 可得 ，
故 ,解得 .
18. 设 .
（1） 求 的值；
[答案]解：令 ，得 .
（2） 求 的值；
[答案]令 ，得 .①
由（1）知， .②
由②-①，得 ，
故 .
（3） 求 的值.
[答案] 相当于 的展开式中各项系数之和，令 ，可得 .
[C级 素养提升]
19. 已知 是数列 的前 项和，若 ,数列 的首项 , ，则 ( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.令 ，得 .又因为 ，所以 .由 ,得 ，所以 ,所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ,所以 ,所以 .
20. 在①展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 ，②展开式中前三项的二项式系数之和为22这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答.问题：已知二项式 , .
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求 中含 项的系数.
[答案]解：选条件①.令 ,得展开式中所有项的系数之和为 ,又展开式中所有项的二项式系数之和为 ,所以 ,解得 .
选条件②.由前三项的二项式系数之和为22，得 ,即 ,解得 .
（1） 的展开式的通项为 .
设展开式中系数最大的项为第 项，
则 即
解得 ,又 , ,所以 ，
故展开式中系数最大的项为 .
（2）由题得 ,
故含 项的系数为 .
