2025高考数学一轮复习-第50讲-随机事件与概率-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 已知 与 是互斥事件，且 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2. “黑匣子”是飞机常用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件 为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件 为“至少研究一个黑匣子”，事件 为“至多研究一个黑匣子”，事件 为“两个黑匣子都研究”，则( )
A. 与 是互斥事件 B. 与 是对立事件
C. 与 是对立事件 D. 与 是互斥事件
3.在《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“— —”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是( )
A. B. C. D.
4.一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为( )
A. B. C. D.
5.（多选）某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则( )
A. 甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种
B. 甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为
C. 甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为
D. 甲、乙两人在不同的车站下车的概率为
6. 已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占 ，甲品牌的电脑中，优质率为 ；乙品牌的电脑中，优质率为 ，从该电脑卖家中随机购买一台电脑，则买到优质电脑的概率为 .
7.花博会有四个不同的展馆，甲、乙各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为 .
8.现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名毕业生分配到甲校的概率为 .
9. 已知不透明的袋中装有三个黑球（记为 ， 和 ）、两个红球（记为 和 ），从中不放回地依次随机抽取两个球.
（1） 用集合的形式写出试验的样本空间；
（2） 求抽到的两个球都是黑球的概率.
[B级 综合运用]
10.在二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
11. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有 ， ， 名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为 ，他至多参加2个小组的概率为 .
12. 某个班级周一上午准备安排语文、数学、英语、物理、生物5节课，则数学和物理排课不相邻的概率为 .
13.一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 的函数： ， ， ， ， ， .现从盒子中逐一抽取卡片并判断函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为 ，则 的概率为 .
14. 某市 ， 两所中学的学生组队参加辩论赛， 中学推荐了3名男生、2名女生， 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
（1） 求 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2） 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.
[C级 素养提升]
15.（多选）有6个相同的球，分别标有数字 ， ， ， ， ， ，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.记第一次取出的球的数字为 ，第二次取出的球的数字为 .设 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则( )
A. B.
C. 事件“ ”与“ ”互斥 D. 事件“ ”与“ ”对立
16.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字 ， ， ， ，将这个玩具抛掷 次，记第 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为 ，数列 的前 项和为 .记 是3的倍数的概率为 .
（1） 求 ， ；
（2） 求 .
2025高考数学一轮复习-第50讲-随机事件与概率-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知 与 是互斥事件，且 ， ，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由题意知 ， 是互斥事件，所以 ，且 ，则 .故选C.
2. “黑匣子”是飞机常用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件 为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件 为“至少研究一个黑匣子”，事件 为“至多研究一个黑匣子”，事件 为“两个黑匣子都研究”，则( D )
A. 与 是互斥事件 B. 与 是对立事件
C. 与 是对立事件 D. 与 是互斥事件
[解析]选D.事件 为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件 为“至少研究一个黑匣子”，包含“只研究驾驶舱语音记录器”“只研究飞行数据记录器”“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件 为“至多研究一个黑匣子”， 包含“只研究驾驶舱语音记录器”“只研究飞行数据记录器”“两个黑匣子都不研究”；事件 为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”.
所以对于A，事件 与事件 不是互斥事件，故A不正确；
对于B，事件 与事件 不是对立事件，故B不正确；
对于C，事件 与事件 不是对立事件，故C不正确；
对于D，事件 和事件 不能同时发生，故 与 是互斥事件，故D正确.故选D.
3.在《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“— —”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.在一次“算卦”中得到六爻，样本点的总数为 ，
这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻包含的样本点数为 ，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是 ，故选B.
4.一个正方体有一个面为红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.记第一个正方体红色的面为 ，绿色的面为 ， ，黄色的面为 ， ， ，第二个正方体红色的面为 ， ，绿色的面为 ， ，黄色的面为 ， ，
同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面不同结果种数为 ，其中，事件“两个正方体朝上的面颜色相同”所包含的样本点有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共12个，
因此，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为 .故选C.
5.（多选）某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的，则( ABD )
A. 甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种
B. 甲、乙两人同时在第2号车站下车的概率为
C. 甲、乙两人同时在第4号车站下车的概率为
D. 甲、乙两人在不同的车站下车的概率为
[解析]选ABD.对于A，甲下车的情况有第2号车站，第3号车站，第4号车站，共3种，同理可得，乙下车的情况数也是3，则总情况数为 ，故A正确；
对于B，甲、乙两人同时在第2号车站下车的情况数为1，则概率为 ，故B正确；
对于C，甲、乙两人同时在第4号车站下车的情况数为1，则概率为 ，故C错误；
对于D，甲、乙两人在相同车站下车的情况数为3，则在不同车站下车的情况数为 ，即概率为 ，故D正确.故选ABD.
6. 已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占 ，甲品牌的电脑中，优质率为 ；乙品牌的电脑中，优质率为 ，从该电脑卖家中随机购买一台电脑，则买到优质电脑的概率为0.83.
[解析]随机购买一台电脑，买到甲品牌优质电脑的概率为 ，买到乙品牌优质电脑的概率为 ，则买到优质电脑的概率为 .
7.花博会有四个不同的展馆，甲、乙各选2个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为 .
[解析]记事件 为“两人选择中恰有一个馆相同”，
则 ，
所以 .
8.现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名毕业生分配到甲校的概率为 .
[解析]将5名毕业生按 和 分成3组的不同分法有 （种），
因此5名毕业生按每个学校至少去1人，分配到甲、乙、丙三校的不同分法数为 ，恰好有2名毕业生分配到甲校的不同分法数为 ，所以恰好有2名毕业生分配到甲校的概率 .
9. 已知不透明的袋中装有三个黑球（记为 ， 和 ）、两个红球（记为 和 ），从中不放回地依次随机抽取两个球.
（1） 用集合的形式写出试验的样本空间；
[答案]解：试验的样本空间
.
（2） 求抽到的两个球都是黑球的概率.
[答案]设事件 “抽到两个黑球”，则 .
因为样本空间 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此 .
所以抽到的两个球都是黑球的概率为 .
[B级 综合运用]
10.在二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.展开式的通项为 ，由题意 ，解得 ，所以当 , ,8时， 为整数，相应的项为有理项，因此题中二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项，所求概率为 .故选D.
11. 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有 ， ， 名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为 ，他至多参加2个小组的概率为 .
[解析]记“恰好参加2个小组”为事件 ，“恰好参加3个小组”为事件 ，随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率 ，恰好参加3个小组的概率 ，则至少参加2个小组的概率为 ，至多参加2个小组的概率为 .
12. 某个班级周一上午准备安排语文、数学、英语、物理、生物5节课，则数学和物理排课不相邻的概率为 .
[解析]样本空间样本点总数为 ，先安排好语文、英语、生物，有 种排法，再插入数学和物理，有 种排法，事件所含样本点个数为 ，故所求概率 .
13.一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 的函数： ， ， ， ， ， .现从盒子中逐一抽取卡片并判断函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为 ，则 的概率为 .
[解析]易判断 ， ， 为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张， 的取值范围是 ， ，
所以 .
14. 某市 ， 两所中学的学生组队参加辩论赛， 中学推荐了3名男生、2名女生， 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
（1） 求 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
[答案]解：由题意，参加集训的男、女生各有6名，入选代表队学生全从 中学抽取（等价于 中学没有学生入选代表队）的概率为 ，因此， 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 .
（2） 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.
[答案]设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件 ，记“参赛女生有2人”为事件 ，“参赛女生有3人”为事件 ，则 ， .由互斥事件的概率加法公式，得 ，故所求事件的概率为 .
[C级 素养提升]
15.（多选）有6个相同的球，分别标有数字 ， ， ， ， ， ，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.记第一次取出的球的数字为 ，第二次取出的球的数字为 .设 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则( AC )
A. B.
C. 事件“ ”与“ ”互斥 D. 事件“ ”与“ ”对立
[解析]选AC.因为从中有放回的随机取两次，所以有 （种）情况， ，有6种情况，
所以 的情况共有 （种），
所以 ，因此A正确；
两次取球数字和为5有以下4种情况： ， , , ,
所以 ，因此B不正确；
当 时， ，所以事件“ ”与“ ”互斥，因此C正确；
当 时， ，但是当 , 时， ，所以事件“ ”与“ ”不是对立事件，因此D不正确.故选AC.
16.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字 ， ， ， ，将这个玩具抛掷 次，记第 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为 ，数列 的前 项和为 .记 是3的倍数的概率为 .
（1） 求 ， ；
[答案]解：抛掷一次，一共有4个结果，出现一个0或一个3时符合要求，故 .
抛掷两次，一共有 （个）结果，出现 ， ， ， ， ， 时，符合要求，共计6种情况，故 .
（2） 求 .
[答案]设 被3除时余1的概率为 ， 被3除时余2的概率为 ，
则 ，①
，②
，③
①-（②+③），得 ，
化简，得 ，
所以 .
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .(共50张PPT)
第50讲 随机事件与概率
第十章
计数原理、概率及其分布
1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是 ( )
A．至多一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都没中靶
激 活 思 维
【解析】
D
对于A，“至多一次中靶”包含一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含一次中靶、两次都中靶，A不满足条件；
对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B不满足条件；
对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C不满足条件；
对于D，“两次都没中靶”与“至少一次中靶”对立，D满足条件．
2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，下列结论正确的是 ( )
A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥
C．A与B相等 D．P(A)＝P(B)
D
【解析】
抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).
事件A包含的结果有(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有(正，反)，(反，反)，显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A与事件B既不互斥也不对立，故A，B错误；
3．已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3.
(1) 如果B A，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_______；
0.5
【解析】
如果B A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3.
0.3
(2) 如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_____．
0.8
【解析】
如果A，B互斥，那么A∩B＝ ，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0.
0
4．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段
能构成一个三角形的概率是______．
【解析】
5．从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位
数字为1的概率是______；这个数的四次方的个位数字为1的概率是______．
【解析】
从0～9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本空间可表示为Ω＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
1．样本空间和随机事件
(1) 样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2) 随机事件
①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
基本结果
聚 焦 知 识
子集
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 ________
相等关系 B A且A B ________
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ____________，___________
A B
A＝B
A∩B＝
A∪B＝Ω
3．古典概型
(1) 有限性：样本空间的样本点只有__________；
(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性________．
4．古典概型的概率公式
有限个
相等
5．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝__________.
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝______________________.
P(A)＋P(B)
1－P(B)
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是 ( )
A．“至少有1个红球”与“至少有1个黑球”
B．“至少有1个红球”与“都是黑球”
C．“至少有1个红球”与“至多有1个黑球”
D．“恰有1个红球”与“恰有2个红球”
随机事件的关系与运算
举 题 说 法
1
【解析】
【答案】D
对于A，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至少有1个黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；
对于B，“至少有1个红球”与“都是黑球”不能同时发生，且必有其中之一发生，所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；
对于C，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至多有1个黑球”不是互斥事件，所以C不符合题意；
对于D，“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如“恰有3个红球”，所以D符合题意．
变式 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是 ( )
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
【解析】
【答案】D
A中，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；
B中，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；
C中，A∪B与C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪B)＋P(C∪D)＝1，故C错误；
D中，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确．
(1)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
古典概型
2
A
【解析】
(2)从1至6这6个整数中随机取3个不同的整数，其中恰有两个是偶数的概率为( )
C
2
【解析】
变式 回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如323，5 445等．在所有小于200的三位回文数中任取两个数，则这两个回文数的三位数字之和均大于5的概率为 ( )
B
【解析】
某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．
概率的基本性质
3
【解答】
设事件A＝“不派出医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名或5名以上医生”，且事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，
P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.“派出医生至多2个”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1) 求派出医生至多2个的概率；
某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．
3
【解答】
方法一：“派出医生至少2个”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
方法二：“派出医生至少2个”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
人数 0 1 2 3 4 大于等于5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(2) 求派出医生至少2个的概率．
变式 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽，如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为 ( )
B
【解析】
随 堂 练习
【解析】
【答案】C
A
【解析】
3．袋中装有大小相同的2个白球和5个红球，从中任取2个球，则取到的2个球颜色相同的概率是 ( )
D
【解析】
4．某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%.现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为 ( )
A．0.92 B．0.08 C．0.54 D．0.38
A
【解析】
从这种铅笔产品中任取一件抽到甲生产线的产品的概率为0.6，抽到乙生产线的产品的概率是0.4，抽到甲生产线的产品中合格产品的概率P1＝0.6×(1－0.1)＝0.54，抽到乙生产线的产品中合格产品的概率P2＝0.4×(1－0.05)＝0.38，任取一件抽到合格产品的概率P＝P1＋P2＝0.54＋0.38＝0.92.
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．四位爸爸A，B，C，D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是 ( )
【解析】
设A，B，C，D四位爸爸的小孩分别是a，b，c，d，则交谈组合有9种情况，分别为(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，
【答案】A
2．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
D
【解析】
3．从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为 ( )
C
【解析】
4．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路. 有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为( )
A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.43
C
【解析】
二、 多项选择题
5．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”．下列说法正确的是( )
A．E与G是互斥事件
B．F与I是互斥事件，且是对立事件
C．F与G不是互斥事件
D．G与I是互斥事件
【解析】
【答案】BC
对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件，故B正确；
对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确；
对于D，G与I也可以同时发生，不是互斥事件，故D错误．
6．某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是 ( )
【解析】
【答案】ABC
三、 填空题
7．社区从甲、乙等5名同学中随机选3名参加服务工作，则甲、乙
都入选的概率为______．
【解析】
设这5名同学分别为甲，乙，1，2，3，从5名同学中随机选3名，样本空间Ω＝{(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)}，共10个样本点.
【解析】
5
9．某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________．
0.78
【解析】
四、 解答题
10．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1 000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
(1) 求频率分布直方图中a的值，并估计1 000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据的平均值)；
【解答】
由(0.002 5＋0.010 0＋a＋0.015 0＋0.010 0)×20＝1，可得a＝0.012 5，这 1 000名学生每日的平均阅读时间为10×0.05＋30×0.2＋50×0.25＋70×0.3＋90×0.2＝58(min).
10．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1 000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
(2) 若采用分层随机抽样的方法从样本在[60，80)，[80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．
【解答】
11．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
(1) 求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
【解答】
11．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.
(2) 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不少于2人的概率．
【解答】
【解析】
又函数f(x)在R上有两个零点，所以当x≥0时，方程e－x＋m＝0有一个根，所以方程e－x＝－m在[0，＋∞)上有一个根，即函数y＝e－x的图象与直线y＝－m在x∈[0，＋∞)上有且只有一个交点．
作出函数y＝e－x的图象如图所示，观察图象可得0＜－m≤1，
所以－1≤m＜0，所以m的取值范围是[－1，0).
【答案】D
(1) 求证：平面MAD⊥平面ABCD；
【解答】
如图，取AD的中点为O，连接OM，OB.
因为AD∩BO＝O，AD 平面ABCD，BO 平面ABCD，所以MO⊥平面ABCD.又因为MO 平面MAD，所以平面MAD⊥平面ABCD.
【解答】
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