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第51讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
第十章
计数原理、概率及其分布
1．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为 ( )
A．互斥 B．互为对立事件
C．相互独立 D．相等
激 活 思 维
【解析】
C
掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B错误；
事件A与B不相等，故D错误．
2．假设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A，B相互独立，则P(AB)＝________；P(A∪B)＝________．
0.56
【解析】
因为P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，所以P(AB)＝P(A)×P(B)＝0.7×0.8＝0.56，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7＋0.8－0.56＝0.94.
0.94
3．设A B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝_____，P(A|B)
＝______．
1
【解析】
4．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为________．
0.75
【解析】
5．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球.
则摸到红球的概率是______．
【解析】
聚 焦 知 识
P(A)P(B)
B
(2) 两个公式
②概率的乘法公式：P(AB)＝_________________．
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任
意的事件B Ω，有________________________，我们称上面的公式为全概率公式．
P(A)·P(B|A)
有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲＝“第一次取出的球的数字是1”，事件乙＝“第二次取出的球的数字是2”，事件丙＝“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁＝“两次取出的球的数字之和是7”，则 ( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
相互独立事件的判断
举 题 说 法
1
【解析】
【答案】B
事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．
变式 (多选)某不透明的袋子中装有5个质地、大小均相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，事件A＝“第一次取出的球的数字是1”，事件B＝“第二次取出的球的数字是2”，事件C＝“两次取出的球的数字之和是7”，事件D＝“两次取出的球的数字之和是6”，则( )
A．A与C相互独立 B．B与D相互独立
C．A与D相互独立 D．B与C相互独立
【解析】
【答案】BC
(多选)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“任取一零件为次品”，则 ( )
条件概率
2
【解析】
【答案】ACD
根据题意知P(B)＝6%×25%＋5%×30%＋5%×45%＝0.052 5，故C正确；
P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3, 故A正确；
变式 某地暴发疾病，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为 ( )
A
【解析】
某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为________．
全概率公式
3
【解析】
分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件A1，A2，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B.由已知可得P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.1，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，由全概率公式可得P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.56.
0.56
变式 某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对该题目的概率为 ( )
A．0.625 B．0.75
C．0.5 D．0
A
【解析】
学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40%，次品率为5%，第2份占总数的60%，次品率为4%.若李老师分
份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为______.
贝叶斯公式
新视角
4
【解析】
变式 小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)
【解答】
由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3)＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36.
=0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么：
(1) 小张从家到公司不迟到的概率是多少？
变式 小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)
【解答】
=0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假设遇到拥堵会迟到，那么：
(2) 已知到达公司未迟到，那么选择道路L1的概率是多少？
随 堂 练习
1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )
A．1 B．0.629
C．0 D．0.74或0.85
B
【解析】
由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，所以甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.
【解析】
A
3．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖这6个景点中随机选择1个景点游玩，记事件A＝“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)＝( )
D
【解析】
【解析】
A
5．在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为5∶6∶9，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为 ( )
A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.15
B
【解析】
由全概率公式得P(D)＝P(A1)P(D|A1)＋P(A2)P(D|A2)＋P(A3)·P(D|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.04＝0.048.
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为 ( )
D
【解析】
【解析】
C
3．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
A
【解析】
4．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为( )
A．0.2 B．0.47
C．0.53 D．0.77
【解析】
【答案】D
由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%.
记事件A1，A2，A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1.
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，记事件B＝“选到绑带式口罩”，则P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4，所以由全概率公式可得P(B)＝0.7×0.9＋0.2×0.5＋0.1×0.4＝0.77.
二、 多项选择题
5．A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．甲表示事件“从A组 中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组 中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立
【解析】
记“从A组中选出的是男生小明”为事件M，“从B组中选出的是1名男生”为事件N，“从A，B两组中选出的是2名男生”为事件S，“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”为事件T，
【答案】BCD
【解析】
ABD
三、 填空题
7．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子混合后任取一个球是白球的概率为_______．
【解析】
【答案】0.05 0.6
设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n，4n，6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%×5n＝2n，白球个数为3n；
乙盒中黑球个数为25%×4n＝n，白球个数为3n；丙盒中黑球个数为50%×6n＝3n，白球个数为3n.
记事件A＝“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”，则P(A)＝0.4×0.25×0.5＝0.05.
8．现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02.现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是___________．
【解析】
因为生产该产品的日产量分别占日产量总和的15%，20%，30%和35%，且产品的不合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02，所以抽到不合格品的概率为P＝15%×0.05＋20%×0.04＋30%×0.03＋35%×0.02＝0.031 5.
0.031 5
【解析】
方法一：设事件A＝“小明自驾去上班”，事件B＝“小明坐公交车去上班”，事件C＝“小明骑共享单车去上班”，事件D＝“小明上班迟到”，
【答案】
【解答】
比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙获胜；第一局乙获胜，后三局丙获胜．
【解答】
设“甲获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，“丙获胜”为事件C.
11．小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线．如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.
(1) 求小明放学时选择A路线的概率；
【解答】
设A1＝“上学时选择A路线”，B1＝“上学时选择B路线”，A2＝“放学时选择A路线”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.
由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.所以小明放学时选择A路线的概率为0.7.
11．小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线．如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.
(2) 已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率．
【解答】
【解析】
【答案】BCD
对于A，|－5|＞|2|＋1，而－5＜2＋1，故A错误；
对于B，因为|a|＞|b|＋1，所以|a|2＞(|b|＋1)2，即a2＞b2＋2|b|＋1＞b2＋1，所以a2＞b2＋1＞0，又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln a2＞ln (b2＋1)，故B正确；
对于C，由B中分析得a2＞b2＋2|b|＋1，所以a2－4b＞b2＋2|b|＋1－4b，因为|b|≥b，所以a2－4b＞b2＋2|b|＋1－4b≥b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，所以a2＞4b，故C正确；
13．已知点P是直线l1：mx－ny－5m＋n＝0和l2：nx＋my－5m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)的交点，点Q是圆C：(x＋1)2＋y2＝1上的动点，则|PQ|的最大值是( )
【解析】
【答案】B
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-第51讲-事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-专项训练
[基础强化]
一、选择题
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)＝( )
A. B．
C. D．
2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”；则P(B|A)＝( )
A. B．
C. D．
3．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是( )
A. B．
C. D．
4．[2022·山东栖霞模拟]一道竞赛题，A，B，C三人单独解出的概率依次为，，，则三人独立解答仅有1人解出的概率为( )
A. B．
C. D．1
5．已知某种生物由出生算起活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是( )
A.0.6 B．0.5
C.0.4 D．0.32
6．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为( )
A.0.56 B．0.86
C.0.94 D．0.96
7．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四项体育比赛，每人只能报一项，记事件A＝“四名同学所报比赛各不相同”，事件B＝“甲同学独报一项比赛”，则P(A|B)＝( )
A. B．
C. D．
8．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A. B．
C. D．
9．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方．但打到10平以后，先多得2分者为胜方，在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( )
A. B．
C. D．
二、填空题
10．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为________．
11．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
12．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．
[能力提升]
13．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
14．(多选)从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是( )
A.2个球都是白球的概率为
B.2个球都不是白球的概率为
C.2个球不都是白球的概率为
D.2个球恰好有一个球是白球的概率为
15．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
16．(多选)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面为偶数}，事件B＝{第二个四面体向下的一面为奇数}，C＝{两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数}，则下列说法正确的是( )
A.P(A)＝P(B)＝P(C)
B.P(AB)＝P(AC)＝P(BC)
C.P(ABC)＝
D.P(A)P(B)P(C)＝
参考答案与解析
1．A P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
2．B P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
3．D 由题意可知甲中靶的概率P1＝＝，
乙中靶的概率P2＝，
又两人中靶相互独立，
∴他们都中靶的概率P＝P1P2＝×＝.
4．B 由题意知，仅有1人解出的概率为P＝×·＋××＋×＝＋＋＝.故选B.
5．B 设“这种动物从出生起活到20岁”为事件A，“这种动物从出生起活到25岁”为事件B.
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4
由于AB＝B，则P(AB)＝P(B)
则P(B|A)＝＝＝＝0.5.故选B.
6．C 设事件A表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B表示“乙部门攻克该技术难题”，
P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，
则该公司攻克这项技术难题的概率为：
P＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－0.2×0.3＝0.94，故选C.
7．D 由题可得P(AB)＝＝，P(B)＝＝，根据条件概率公式可得P(A|B)＝＝，故选D.
8．D 设汽车分别在甲、乙、丙三处因遇绿灯而通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次即为事件BC＋AC＋AB的发生，故概率P＝××＋××＋××＝.故选D.
9．C 设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1，2，3，…)，则P(甲以13∶11赢)＝P(1A2A3A4)＋P(A12A3A4)＝P(1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P(2)P(A3)P(A4)＝×××＋×××＝，故选C.
10．0.7
解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，
B1＝“第1天去B餐厅用餐”，
A2＝“第2天去A餐厅用餐”，
Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．
根据题意得
P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.
由全概率公式得
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)
＝0.5×0.6＋0.5×0.8
＝0.7
故王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.
11.
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
12.
解析：记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)＝＝＝.即所求事件的概率是.
13．B P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，
P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，
P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，
故选B.
14．ACD ∵2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，∴2个球都是白球的概率为×＝，∴2个球不都是白球的概率是1－＝，故A，C正确；甲口袋摸出的球不是白球的概率为，乙口袋摸出的球不是白球的概率为，故2个球都不是白球的概率为×＝，B错误；2个球恰有一个球是白球的概率为×＋×＝，D正确．故选ACD.
15．D 设第二盘与甲比赛，则p甲＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3]＝2p1(p2＋p3－2p2p3).设第二盘与乙比赛，则p乙＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3]＝2p2(p1＋p3－2p1p3).设第二盘与丙比赛，则p丙＝2[p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3]＝2p3(p1＋p2－2p1p2).p甲－p乙＝2p3(p1－p2)<0，p甲－p丙＝2p2(p1－p3)<0，p乙－p丙＝2p1(p2－p3)<0，故p丙>p乙>p甲．选D.
16．ABD 依题意P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，故AD正确；
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，P(AC)＝，P(BC)＝，故B正确；事件A，B，C不可能同时发生，所以P(ABC)＝0，故C错误．故选ABD.
