第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第2课时 方向角问题

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第二章 直角三角形的边角关系
5 三角函数的应用
第2课时 方向角问题
列清单·划重点
知识点 方向角
　　如图所示，在平面上过观测点 O 作一条水平线(向右为东方)和一条铅垂线(向上为北方)，则从点 O出发的视线与铅垂线(南北方向线)的夹角，叫做点O的方向角.
　　如图所示，点 A 关于点O 的方向角为北偏东__________，点 B 关于点O 的方向角为南偏西__________.
注意
(1)方向角通常是以南北方向线(指南针)为主，分南偏东(西)或北偏东(西).
(2)观测点不同，所得的方向角也不同.如图所示，观测点O关于点B 的方向角为北偏东60°，各个观测点的南北方向线或东西方向线是互相平行的.
明考点·识方法
考点 与方向角有关的实际问题
典例 如图,灯塔 A 周围 9 海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至 B处，测得灯塔 A 在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达 C 处，测得灯塔 A 在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险 (参考数据：0.530,cos32°≈0.848, tan32°≈0.625,
思路导析 本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.作AD⊥BC，设. 根据等腰直角三角形的性质用x表示出DC，根据正切的定义用x表示出BD，结合图形列出方程，解方程得到答案.
变式 某次军事演习中，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在出发地 A 测得小岛C 在它的北偏东 方向上，2小时后到达 B 处，测得小岛 C 在它的北偏西 方向上，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离.(参考数据： 结果精确到0.1km)
当堂测·夯基础
1.如图,一艘船由 A港沿北偏东 方向航行 30km至 B 港,然后再沿北偏西 方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离是 ( )
第1题图 第2题图
2.一渔船在海上 A 处测得灯塔C 在它的北偏东( 方向，渔船向正东方向航行 12 海里到达点 B 处，测得灯塔C在它的北偏东 方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C 的最短距离是____________海里.
3.如图,CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由南向北行驶，在 A 处测得桥头C 在北偏东30°方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头 D在北偏东 方向上.已知大桥 CD 长 300米,求桥头C到公路l 的距离.(结果保留根号)
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 30° 60°
【明考点·识方法】
典例 解:如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,
设AD=x海里,由题意,得∠ABD = 32°,∠ACD= 45°,BC=6海里,
在 Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°,∴AD=CD=x海里,
在 Rt△ABD中,
解得x=10,即AD=10海里,
∵10＞9,∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险.
变式 解：由题意，得. 80(km)
如图，过点 C 作 于点 D,
解得
所以，该船在航行过程中与小岛C的最近距离为 29.2km.
【当堂测·夯基础】
1. D
3.解:如图.延长 DC交直线l于点 H,
设 米，由题意，得
在 中, 米,
米, 米,
在 中,
米, 解得 米,
所以,桥头C到公路的距离为米.
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