2023~2024学年广东深圳福田区福田区高级中学高一上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广东深圳福田区福田区高级中学高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设集合 ，集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、如图所示，①②③④中不属于函数 的一个是（ ）.
A.①
B.②
C.③
D.④
3、已知函数 ，则 （ ）
A.
B.
C.2
D.
4、已知幂函数 的图像过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 在其定义域内为减函数
C. 是偶函数
D. 是奇函数
5、若 ， ， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知不等式 的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
7、已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知函数 ，对于定义域内任意的 ，下述四个结论中：
① ②
③ ④
其中错误的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、“ ”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、下列命题中，正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ， ，则
C.若 ， ，则
D.若 ， ，则
11、若正实数 、 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值
B. 有最大值
C. 有最小值
D. 有最大值
12、已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则以
下结论正确的有（ ）
A.点 不是 的图象的对称中心
B. ，
C.当 时，
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、命题“ ， ”的否定是 ．
14、函数 的单调递减区间是 ．
15、已知 是定义在 上的偶函数，且在 上递减，则不等式 的解集
是 ．
16、已知指数函数 （ 且 ）在其定义域内单调递增．设函数
，当 时，函数 恒成立，则x的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
（1）已知函数 ，求函数 的定义域；
（2）计算： ．
18、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)请完成下表，并在坐标系 中画出函数 的图像；
x －2 －1 0 1 2
(2)根据函数 的图象，求不等式 的解集；
(3)若 ， ，求 的取值范围．
19、（本小题12分）
已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ．
(1)求函数 的解析式；
(2) 若 （ 且 ），试讨论函数 的单调性，并加以证明．
20、（本小题12分）
中美贸易摩擦不断，美国对中国科技企业进行打压，更甚的是，美国对我国华为公司的限制上升到了科技战的
程度．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们压制和封锁华为，然而这并
没有让华为却步．华为及中国科技者经过三年多的努力，终于在今年取得突破．今年，我国某一企业为了进一
步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定
成本500万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本 万元，且
，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)求2024年的利润 （万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润 销售 额 成本）；
(2)2024年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
21、（本小题12分）
设集合 ，B a .①若 ＜ ，
=R，求a、b的值；②若b= ，且A =A，求实数a的取值范围.
22、（本小题12分）
已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函
数．
(1)已知 ，利用上述性质，求函数 的单调区间和值域；
(2)当 时，对于（1）中的函数 和函数 ，若对 ， ，使得
成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
C
<解析>:
因为 ，所以 ，
且 ，所以 = .
故选：C
2、
<答 案>:
B
<解析>:
根据函数图象可判断②不过点 ，又指数函数恒过定点 即可判断.
解：已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点 ， 图象②不过点 .
故选：
3、
<答 案>:
B
<解析>:
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
4、
<答 案>:
B
<解析>:
设 ，代入点 可得 ，所以 ，
所以 ，
对于A：函数的定义域为 ，所以A错误；
对于B：因为 ，所以 在 内单调递减，B正确；
对于C：因为 的定义域为 ，所以不是偶函数，C错误；
对于D：因为 的定义域为 ，所以不是奇函数，D错误，
故选：B
5、
<答 案>:
A
<解析>:
由指数函数单调性知， ，即
又 ，即 ，故 ，
因此正确答案为：A.
6、
<答 案>:
A
<解析>:
由不等式 的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足 ，解得 .
即实数 的取值范围是 .
故选：A.
7、
<答 案>:
D
<解析>:
如图：
根据函数图象，及 可知： ，
得 或 ，
故选：D
8、
<答 案>:
A
<解析>:
对于①. ，故①错
对于②. ，
，
所以 ，故②正确；
对于③. ，而 ，
令 ， ，故 ，
而 ，故 ，
所以 ，故 ，故③正确
对于④. 由 为减函数，可得 ，故④
正确
故选 ：A.
二、多选题
9、
<答 案>:
B;C
<解析>:
，所以 .
设 ,设选项对应的集合为 ,
因为选项是“ ”的一个充分不必要条件，
所以 是 的真子集.
故选：BC.
10、
<答案 >:
B;C
<解析>:
对于A，由 可得 ，即 或 ，故A不正确；
对于B，因为 ， ，所以 ， ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故C正确；
对于D， ，因为 ， ，所以 ，故
D不正确.
故选：BC .
11、
<答案 >:
A;B;C
<解析>:
因为正实数 、 满足 ，
对于A选项， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以， 有最大值 ，A对；
对于B选项， ，则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
即 有最大值 ，B对；
对于C选项， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，即 有最小值 ，C对；
对于D选项，因为 ，所以， ，
即 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以， 有最小值 ，D错.
故选：ABC.
12、
<答案 >:
B;C;D
<解析>:
对于B选项，因为 为奇函数，则 ，即 ，
，
又因为 为偶函数，则 ，即 ，
所以， ，B对；
对于A选项， ，即 ，
所以，点 是 的图象的对称中心，A错；
对于C选项，当 时， ，则 ，
所以，对任意的 ， ，
所以，当 时， ，
则 ，
故当 时， ，
所以， ，C对；
对于D选项， ，D对.
故选：BCD.
三、填空题
13、
<答案 >:
，
<解析>:
因为特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题 ， 的否定是 ，
故答案为： ，
14、
<答案 >:
<解析>:
对于函数 ，有 ，解得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为内层函数 在 上为减函数，在 上为增函数，且 ，
外层函数 在 上为减函数，
所以，函数 的单调递减区间为 .
故答案为： .
15、
<答案 >:
<解析>:
解：因为 是定义在 上的偶函数，且在 上递减，
所以 在 上递增，
不等式 等价于 ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
因为 是指数函数，所以 ，解得 或者 ，
又因为 在定义域内单调递增，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，要使得 即 恒成立，
则 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
（1） ；（2） .
<解析>:
解：（1）对于函数 ，有 ，解得 且 ，
所以，函数 的定义域为 ；
（2）原式
.
18、
<答案 >:
(1)详见解析
(2)
(3)
<解析>:
（1）解：
x －2 －1 0 1 2
0 1 3
的图象，如图所示：
（2）如图所示：
由图象知： 时， ；
（3）因为 ， ，
所以 ，
则 ， ，即 ，
所以 ，则 ，
所以 的取值范围是 .
19、
<答案 >:
(1)
(2)答案及证明见解析
<解析>:
（1）解：由题意，∵函数 是定义在 上的偶函数，
当 时， ，
∴当 时， ，则 ，
∴ .
（2）证明：∵由指数函数的图象与性质知，当 且 时，对 ， ，
∴ ， ，
设 ，则
，
当 时， ，则 ，即 ，
函数 单调递减；
当 时， ，则 ，即 ，
函数 单调递增；
综上知，当 时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递增.
20、
<答案 >:
(1)
(2)产量 千部时，利润取得最大值7750万元.
<解析>:
（1）由题意可知 ，
（2）当 时， ，
当且仅当 时取得最大值7500；
当 时， ，
当且仅当 时，取得最大值7750，显然 ，
综上：当 时，取得最大值7750.
21、
<答案 >:
<解析>:
由题设知
设
①由 ＜ ，得 从而，
②因为 ，所以，
当 时，由 ＜ ，得 ＜ ＜
当 时，若 ，则
当 时， ，不符合题 意；
当 时， ，符合题意.
＞
若 ＞ ，则 .综上， ＜
-
22、
<答案 >:
(1)值域为 ，单调增区间为 ，单调减区间为
(2)
<解析>:
（1）因为 ，
设 ， ，则 .
令 ， .
又由已知性质可得 在 单调递减，在 单调递增，
又∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 的值域为 ，单调增区间为 ，单调减区间为
（2）因为 ， ，任取 ，
则
，
即 ，所以 在 单调递减，
则 ， ，
所以 ，
1 由（ ）可知，当 时， ，
因为对 ， ，使得 成立，
所以 的值域是 值域的子集，
则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .