2023~2024学年广东深圳福田区深圳市福田外国语高级中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广东深圳福田区深圳市福田外国语高级中学高二上学期期
中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、过（1，2），（5，3）的直线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
2、在空间直角坐标系中，点 关于平面yoz对称点的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、直线 截圆 所得的弦长为（ ）
A.1
B.
C.
D.
4、已知向量 ， ，且 ，则实数 等于（ ）
A.1
B.
C.
D.
5、圆x2+y2-2x-3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是（ ）
A.相离
B.内含
C.相切
D.相交
6、正四面体 各棱长均为 ，E，F，G分别是 的中点，则 （ ）
A.
B.
C.1
D.
7、若圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、若直线 与曲线 有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
(多选题)若向量 ＝(1，2，0)， ＝(－2，0，1)，则下列结论正确的是（ ）
A.cos〈 ， 〉＝－
B. ⊥
C. ∥
D.| |＝| |
10、已知椭圆 的中心在原点，焦点 ， 在 轴上，且短轴长为2，离心率为 ，过焦点 作 轴的垂线，交
椭圆 于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆方程为
B.椭圆方程为
C.
D. 的周长为
11、已知直线 ，圆 ，则以下命题正确
的是（ ）
A.直线l恒过定点
B.直线l与圆C恒相交
C.圆C被x轴截得的弦长为
D.圆C被直线l截得的弦最短时，
12、已知正三棱柱 的所有棱长均相等， ， 分别是 ， 的中点，点 满足
，下列选项正确的是（ ）
A.当 时，
B.当 时，
C.当 时， 为锐角
D.当 时， 平面
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 ， 是空间两向量，若 ，则 与 的夹角为 ．
14、求过点 且与圆 相切的直线方程为 .
15、已知在一个二面角的棱上有两点 ，线段 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱
，则这个二面角的大小为 .
16、已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：
上任意一点，则 的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 中， .
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的面积.
18、（本小题12分）
已知 的三个顶点坐标分别为
（1）求 外接圆的方程；
（2）动点D在 的外接圆上 运动， 点 坐标 ，求 中点 的轨迹
19、（本小题12分）
在长方体 中， ， ，E为 中点．
(1)证明： ；
(2)求DE与平面 所 成角的正弦值．
20、（本小题12分）
在 中，已知 ， ， .
(1)、求 ；
(2)、若 为 上一点，且 ，求 的面积.
21、（本小题12分）
如图所示的几何体 中， 和 均为以 为直角顶点的等腰直角三角形， ，
， ， ， 为 的中点.
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小；
（3）设 为线段 上的动点，使得平 面 平面 ，求线段 的长.
22、（本小题12分）
已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆 交于 两点，
①若 ，求直线方程；
②求 面积的最大值（ 为坐标原点）
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
B
<解析>:
因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为 ，即 ．
故选：B
2、
<答 案>:
A
<解析>:
解：点 关于平面yoz对称点的坐标为 ，
因此正确答案为：A.
3、
<答 案>:
D
<解析>:
圆心为 ，圆心到已知直线的距离为 ，
所以弦长为 ．
因此正确答案为：D．
4、
<答 案>:
A
<解析>:
，得 .
故选：A.
5、
<答 案>:
D
<解析>:
由于圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的圆心为（1，0），半径等于2，
而圆x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（2，﹣1）为圆心，半径等于 的圆．
由于两个圆的圆心距为： ，2 ＜ ＜ ，
故两个圆相交，
故选D．
6、
<答 案>:
D
<解析>:
因为E，F，G分别是 , , 的中点，四面体 是正四面体，且棱长 2，
1 1 1 1 1 1 2 1
所以 =( + + ) =( + + ) = + +
2 2 2 2 4 2 4
1 1 1 1
= 2 2cos60 + ( 2)2+ 2 2cos120 = .
4 2 4 2
因此正确答案为：D．
7、
<答 案>:
A
<解析>:
记点 ，设圆心 的坐标为 ，则 ，可得 ，
线段 的中点 在直线 上，则 ，即 ，
所以， ，解得 ，即圆心 ，
因此，圆 的方程为 .
因此正确答案为：A.
8、
<答 案>:
A
<解析>:
由 ，可得 且 ，
所以曲线是以 为圆心，1为半径为的右半圆，
直线过定点 ，斜率为 ，如图，
当直线过 时， 与曲线 有两个不同的交点，可得
当直线与曲线相切时，则 ， ，解得
所以实数k的取值范围为 .
故选：A.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;D
<解析>:
∵向量 ＝(1，2，0)， ＝(－2，0，1)，
∴| |＝ ，| |＝ ， · ＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，
cos〈 ， 〉＝ .
由上知A正确，B不正确，D正确．C显然也不正确．
故选：AD
10、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
由已知得，2b=2，b=1， ，
又 ，解得 ，
∴椭圆方程为 ，
如图：
∴ ， 的周长为 ．
因此正确答案为：ACD．
11、
<答案 >:
B;C
<解析>:
依题意，直线 ： 可化为 ，
由 解得 ， ，即直线 过定点 ，A不正确；
因为方程 可化为 ，
所以圆 的圆心 的坐标为 ，半径 ， ，
即点P在圆 内，直线 与圆 恒相交，B正确；
圆心 到x轴的距离 ，则圆 被 轴截得的弦长为 ，C正确；
由于直线 过定点 ，圆心 ，则直线PC的斜率 ，
当圆 被直线 截得的弦最短时，由圆的性质知， ，于是得 ，解得 ，D错误.
故选：BC.
12、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
建立如图所示空间直角坐标系：
设棱长为2，
则 ，
所以 ，所以 ，
A. 当 时， ， ，所以 ，故正确；
B.当 时， ， ，所以 ，故正确；
C.当 时， ，正负不定，
故错误；
D. 当 时， ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，又 平面 ，所以 平面 ，故正确；
故选：ABD
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
设 与 的夹角为 ，
所以根据 ，
，
即 ，
又 ， ．
故答案为：
14、
<答案 >:
x＝4或3x+4y＝0
<解析>:
当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
通过题意得 ，
解得k＝ ，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所 以直线与圆相切，与题意相符.
因此正确答案为：x＝4或3x+4y＝0.
15、
<答案 >:
<解析>:
如图，设 ，（ ），则二面角的大小为 ，
， ， ， ，
故 .
故 ，故 ， .
因此所求二面角的度数为 .
故答案为： .
16、
<答案 >:
<解析>:
解：如下图所示，
M为椭圆C上任意一点，N为圆E： 上任意一点，
则 （当且仅当M、N、E共线时取 等号），
∴ ，
当且仅当M、N、E 、 共线时等号成立.
∵ ，则 ，
∴ 的最小值为 ．
因此正确答案为： ．
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
(3)
<解析>:
（1）由正弦定理可得： ，即 ，
所以 .
（2）因为 ，由余弦定理可得：
，即 ，
即 ，解得： ，
因为 ，所以 .
（3） 的面积
.
18、
<答案 >:
(1) ；(2) 以点 ， 为圆心，以 为半径的圆.
<解析>:
解：（1）因为 ，所以 ，AB的中点为 ， ，则AB的垂直平分线
的方程为 ；
，BC的中点为 ， ，则BC的垂直平分线的方程为 ，即
+ ；
联立 ，解得 ，所以圆心坐标为 ， ，半径为 ，
+
所以 外接圆的方程为： ；
+
（2）设 ，由中点公式得 ，则 ，代入 得
+
中点 的轨迹方程为 ，即 ，
所以 中点 的轨迹是以点 ， 为圆心，以 为半径的圆.
19、
<答案 >:
(1)证明见解析；
(2)DE与平面 所成角的正弦值为 .
<解析>:
（1）由已知 两两垂直，以 为 轴正方向建立空间直角坐标系，因为
， ，E为 中点．
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以
（2）由(1) ，
设平面 的法向量为 ，则
，故 ，
取 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量，
设直线DE与平面 所成角为 ，则
，
所以DE与平面 所成角的正弦值为 .
20、
<答案 >:
(1)、
；
(2)、
.
<解析>:
(1)、根据余弦定理可得：
，
那么 ， ， .
(2)、根据三角形面积公式可得
，
那么 .
21、
<答案 >:
（1）证明见解析；（2） ；（3）
<解析>:
解：通过题意得， 和 均为以 为直角顶点的等腰直角三角形，
则 ， ，
所以 面 ，
又 ，可以建立以 为原点，
分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得 ， ， ， ， ， ， ，
（1）证明：通过题意， ， ，
因为 ，所以 .
（2）解： ， ，
设 为平面 的法向量，则
，即 ，
不妨令 ，可得 ，
平面 的一个法向量 ，
因此有 ，
由图象可以知二面角 为锐二面角，
所以二面角 的大小为 .
（3）解：（方法一）设 ， ，
所以 ，因此 ，
令 ，即 ，
解得 ，即 为 的中点，
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以当 为 的中点时，平面 平面 ，
此时即 ，
，
所以线段 的长为 .
（方法二）设 ， ，
所以 ，因此 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
不妨令 ，可得 ，
因为平面 平面 ，所以 ，
解得： ，
此时即 ， ，
所以线段 的长为 .
22、
<答案 >:
(1) ；
(2)① 或 ；② .
<解析>:
（1）椭圆 的焦点在 轴上，通过题意，显然有： ， ，又 ，
解得： ，故椭圆 的标准方程为： .
（2）设直线 的方程为： ，联立椭圆方程： ，
可得： ，
因直线 与椭圆交于两点，故 ，解得： ；
设 坐标分别为 ，则 ；
①若 ，则 ，即 ，
，即 ，
故 ，解得 ， ，
此时，直线方程为： 或 ；
② ，
又 点到直线 的距离
设 的面积为 ，则 ，
令 ，故 ，
当 时， 的面积取得最大值 .