2023~2024学年广东深圳高二上学期期中数学试卷（名校）（PDF版含解析）

2023~2024学年广东深圳高二上学期期中数学试卷（名校）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、在空间直角坐标系 中，点B与点 关于平面 对称，则B的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知向量 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
3、经过 两点的直线的倾斜角为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、在长方体 中， （ ）
A.
B.
C.
D.
5、若直线 的斜率大于1，则 的倾斜角的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、在直三棱柱 中， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，且 的斜率为 ，则 的斜率为（ ）
A.3或
B.3
C. 或
D.
8、在三棱锥 中， 两两垂直， 为 的中点， 为 上更靠近点
的三等分点， 为 的重心，则 到直线 的距离为（ ）
A.2
B.1
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知直线 的倾斜角为 ，则 的方向向量可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知 是空间的一个基底，则可以与向量 构成空间的一个基底的向量是（ ）
A.
B.
C.
D.
11、如图，在圆台 中， 分别为圆 的直径， ，圆台 的体积
为 为内侧 上更靠近 的三等分点，以 为坐标原点，下底面垂直于 的直线为 轴， 所
在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 的坐标为
B.
C.平面 的一个法向量为
D. 到平面 的距离为
12、在正四面体 中， 分别是 的中点， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.异面直线 与 所成的角为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知 分别是平面 的法向量，且 ，则 .
14、已知点 ，点 在 轴上， 为直角三角形，请写出 的一个坐标： ．
15、在空间直角坐标系中，向量 ，则 的最大值为 ．
16、在三棱锥 中，底面 为正三角形， 平面 ， ，G为 的外心，D为直
线 上的一动点，设直线 与 所成的角为 ，则 的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 经过 两点， 经过 两点．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的倾斜角互余， 求 的值．
18、（本小题12分）
在空间直角坐标系中，平行四边形 的三个顶点为 ．
(1)求 的坐标；
(2)求四边形 的面积．
19、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， 底面 ，且 ．
(1)证明： ．
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
20、（本小题12分）
《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑 中， 平面 ，
平面 ， 为 的中点， ．
(1)设 ， ， ，用 ， ， 表示 ；
(2)若 求 ．
21、（本小题12分）
如图，在正方体 中， 分别是 的中点
(1)证明： 平面 .
(2)在直线 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请指出 的位置；若不存在.请说明理由.
22、（本小题12分）
如图， 为圆柱底面圆周上三个不同的点， 分别为半圆柱的三条母线，且 是 的中
点， 分别为 的中点.
(1)证明： 平面 .
(2)若 是 上的动点（含弧的端点），求 与平面 所成角的正弦值的最大值.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
C
<解析>:
由题意在空间直角坐标系 中，点B与点 关于平面 对称，
则B的坐标为 ，
故选：C
2、
<答 案>:
D
<解析>:
.
故选：D
3、
<答 案>:
A
<解析>:
由题意得 ，所以直线的倾斜角为 ；
故选：A
4、
<答 案>:
A
<解析>:
.
故选：A
5、
<答 案>:
B
<解析>:
设 的倾斜角为 ，易得 ，由 ，且 得 ．
故选：B
6、
<答 案>:
D
<解析>:
如图，过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ．
因为在直三棱柱 中， ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，所以 ．
又 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，则 ．
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，
由 ， ，得 ，
， 所以
则 ，即 ，
即向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：D
7、
<答 案>:
B
<解析>:
设 的倾斜角为 ，由 ，
即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
易得 的倾斜角为锐角，所以 的斜率为3．
故选:B.
8、
<答 案>:
C
<解析>:
以 为原点， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
得 ， ，
取 ， ，则 ， ，
所以点 到直线 的距离为 ．
故选：C.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;C
<解析>:
由题意得 的斜率为 ，
对A，对应的斜率为 ，A正确；
对B，对应的斜率为 ，B错误；
对C，对应的斜率为 ，C正确；
对D，对应的斜率为 ，D错误；
故选:AC.
10、
<答案 >:
B;C
<解析>:
对于A：因为 ，所以 共面，故不符题意；
对于B：假设存在 ，使得 ，
即 ，此方程组无解，即 不存在，
所以假设不成立，所以 不共面，故符合题意；
对于C：假设存在 ，使得 ，
即 ，此方程组无解，即 不存在
所以假设不成立，所以 不共面，故符合题意；
对于D：因为 ，所以 共面，故不符合题意；
故选：BC.
11、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
由圆台 的体积为 ，可得 ，
解得 ，则 ，即A正确．
连接 ，设 在下底面的射影为点 ，连 接 ，如下图所示：
易得 ，则 ，
因为 ，所以 ，即B正确．
设平面 的法向量为 ，由 可知 ，
则 ，解得 ，令 ，可得 ，所以 ，可知C错误．
因为 ，所以 到平面 的距离为 ，D正确．
故选：ABD
12、
<答案 >:
B;C
<解析>:
由题意，如图正四面体 ，
，A错误，B正确.
在正四面体 中，设 的中点为F，连接 ，
则 ，而 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ，故 ，
又 为正三角形，M为AD的中点，故 ,
则
，
则 ，且 ,
所以 ，C正确.
取 的中点为 ，连接 ，则 ，
且 ，
则 即为异面直线 与 所成的角或其补角，
由证明 方法同理可证 ，所以 ，
所以 是以 为直角的等腰直角三角形，
所以 ，D错误. ，
故选：BC
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
根据题意可知，若 则可知 ，
又 可得 ，即可得 .
故答案为：
14、
<答案 >:
（答案不唯一， 任意一个都可以）
<解析>:
设 ，易知当 或 时，不合题意，
因此当 且 时，可得 ， ，
当 为直角时， ，得 的坐标为 ．
当 为直角时， ，得 的坐标为 ．
当 为直角时， ，化简得 ，该方程无解．
故答案为： （答案不唯一， 任意一个都可以）.
15、
<答案 >:
<解析>:
由题意得 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，
， ，
，要使 同向，可取 ，
，
即 ， .
所以 的最大值为 ．
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
不妨设 ，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
由题意得G为 的中点，所以 ．
设 ， ，得 ，
则 ，
因为 ，
所以 ．
当 时， ．
当 时， ，
得 ．
π
综上， ，由 得 ．
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1） ，
因为 ，
所以 ，得 ，
经检验，符合题意，
所以 ；
（2）因为 的倾斜角互余，
设 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 ，
所以 ，得 ．
18、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）解：设点 的坐标为 ，
由 ，可得 ，
因为四边形 是平行四边形，可得 ，
所以 ，解得 ，即点 的坐标为 .
（2）解：由题意得 ，则 ，
所以 ，可得 ，
故四边形 的面积为 ．
19、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2) ．
<解析>:
（1） 四边形 为正方形， ．
底面 平面 ．
又 平面 平面 ．
平面 ．
（2）如图，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
，
由（1）知 平面 ，则平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
，
由图可知二面角 是锐角，故二面角 的余弦值为 ．
20、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
解：（1）连接 ， （图略）． ．
因为 为 的中点， ，所以 ，
，
所以
（2）因为 ，
所以
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ， ．
又 ，所以
，即 ．
21、
<答案 >:
(1)见解析
(2)存在 ，满足 ，理由见解析
<解析>:
（1）以D为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
由中点坐标公式可得 ，
则 ， ， ，
，
，
， ，
即 ， ，
又 ， 平面 ，
平面 .
（2）假设存在 ，使 平面 ，设 ，
则 ，
由（1）知， 是平面 的一个法向量，
则 ，
解得 ，
故存在 ，满足 ，使 平面 .
22、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明：因为 分别为半圆柱的三条母线，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形， 所以 .
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）
记 的中点为 ，点 在平面 内的投影记为 ，连接 .
因为 是半圆 的中点，所以 .
易知 平面 两两相互垂直，且 .
以 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ，
.
点 在 平面内的单位圆上，其坐标不妨记为 ，则 ，
.
设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，得 .
设 与平面 所成的角为 ，
则
，
当且仅当 时， 与平面 所成角的正弦值取得最大值，且最大值为 .