2023~2024学年河北石家庄正定县河北正定中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年河北石家庄正定县河北正定中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、若直线 ： 与直线 ： 垂直，则实数 的值为（ ）
A.0
B. 或0
C.0或
D.
3、把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙2个人，每个人分得2张，事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红
牌和黑牌”是（ ）
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.以上均不对
4、已知圆C： 与直线l： 相切，则
A.15
B.5
C.20
D.25
5、已知 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
6、函数 是定义在R上奇函数，且 ， ，则 （ ）
A.0
B.
C.2
D.1
7、已知 为椭圆 的右焦点，点 ，点P为椭圆上任意一点，且
的最小值为 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
8、古希腊数学家阿波罗尼奧斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭
圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若
从椭圆右焦点 发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足 ，且 ，则该椭圆的离
心率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C.两个圆心所在的直线斜率为
D.两个圆公共弦所在直线的方程为
10、已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 在 上，且 的最大值为3，最
小值为1，则（ ）
A.椭圆 的离心率为
B. 的周长为4
C.椭圆 上存在点 ，使得
D.若 ，则
11、如图，棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，则（ ）
A．异面直线 与 所成角的范围为
B．二面角 的余弦值为
C．点 到平面 的距离为
D．存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为
12、在平面直角坐标系xOy中， 为曲线 上一点，则（ ）
A.曲线C关于原点对称
B.
C.曲线C围成的区域面积小于18
D.P到点 的最近距离为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知函数 的部分图象如下图所示，则 ．
14、已知直线 过点 且斜率为1，若圆 上恰有3个点到 的距离为1，则 的值为 .
15、已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 的
中点坐标为 ，则
16、已知正四面体 的棱长为6，P是四面体 外接球的球面上任意一点，则 的取值范围
为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 .
(1) 求 的值；
(2)若 ， ， 是 的中点，求 .
18、（本小题12分）
如图，在直三棱柱 中， ，D，E分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ﹔
(2)求直线 与平面 所 成角的正弦值．
19、（本小题12分）
已知椭圆 ： 的一个顶点为 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点 坐标为 ，直线 与椭圆 交于 、 两点，求 的面积.
20、（本小题12分）
某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为 ，乙同学答对每题的概率均为 ，且每人各
题答题结果互不影响.已知每题甲 乙同时答对的概率为 ，恰有一人答对的概率为 .
(1)求 和 的值；
(2)设事件 “甲 同学答对了 道题”，事件 “乙同学答对了 道题”， ，试求甲乙两人共答对了3道
题的概率.
21、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ，
平面 平面 .
(1)求证： 面 ；
(2)点 在棱 上，设 ，若二面角 余弦值为 ，求 .
22、（本小题12分）
已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，过 的左焦点 的直线 与 相交于 、 两
点，与直线 相交于点 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)过点 作直线 的垂线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．求
的最大值．
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
C
<解析>:
.
故选：C
2、
<答 案>:
C
<解析>:
由题意得 ，解得 或 .
故选：C
3、
<答 案>:
C
<解析>:
事件“甲分得红牌和蓝牌”与“乙分得红牌和黑牌”，显然两个事件不可能同时发生，
但两者可能同时不发生，如“甲分得红牌和白牌”与“乙分得蓝牌和黑牌”，
综上所述这两个事件为互斥但不对立事件.
因此正确答案为：C.
4、
<答 案>:
D
<解析>:
易知C的圆心为原点O，设O到直线l的距离为d，因为圆C与直线l相切，则 ，解得 .故
选：D.
5、
<答 案>:
A
<解析>:
因为 ，
所以 ，则 ，
所以
代入二倍角公式 .
故选：A.
6、
<答 案>:
B
<解析>:
函数 是定义在R上奇函数，且 ，
，
，
则函数 是周期为8的周期函数，
则 ，
令 ，则 ，
，
故选：B.
7、
<答 案>:
D
<解析>:
椭圆 ，即 ，
则 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
解得 .
故选：D.
8、
<答 案>:
D
<解析>:
通过题意，可作图像如下：
则 ， ，即 ，
可设 ， ， ，
由 ，则 ，即 ，
，在 中， ，
则 .
因此正确答案为：D.
二、多选题
9、
<答 案>:
A;C
<解析>:
根据题意，圆 ： ，其圆心 ，半径 ，
圆 ： ，即 ，其圆心 ，半径 ，
D 则圆心距 ，两圆外离，不存在公共弦，故 不正确；
的最小值为 ，最大值为 ，
故A正确，B不正确；
对于C，圆心 ， 圆心 ，
则两个圆心所在直线斜率 ，故C正确，
故选：AC.
10、
<答案 >:
A;D
<解析>:
对A，根据椭圆性质可知 ，故 ，所以椭圆 的离心率为 ，故A正确；
对B，易知 的周长为 ，故B错误；
对C，易知
，
当且仅当 时，等号成立，
因为 在 上递减，所以此时 最大，
所以 的最大值为 ，故C错误；
对D，由余弦定理
，
即 ，
解得 ，故 ，故D正确；
故选：AD
11、
<答案 >:
BC
<解析>:
略
12、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
当 ， 时，曲线 为 ，根据点 ， ， 都在曲线 上，
可得曲线 图象关于 轴， 轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案.
当 ， 时，曲线 即 ，
将 中心平移到 位于第一象限的部分；
因为点 ， ， 都在曲线 上，所以曲线 图象关于 轴， 轴和原点对称，作出图象如图所
示：
对于选项A：由图知曲线C关于原点对称，故选项A正确；
对于选项B：令 中 可得 ，向右平移一个单位可得横坐标为 ，根据对称性可知
，故选项B不正确；
对于选项C：令 中 可得 ，向上平移 个可得纵坐标最大值为 ，
曲线C第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为 ，所以曲线C围成的区域面积小于 ，
故选项C正确；
对于选项D：令 中 ，可得 ，所以到点 的最近距离为 ，
故选项D正确，
故选：ACD
三、填空题
13、
<答案 >:
<解析>:
由图像可得 ，
解得 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
14、
<答案 >:
<解析>:
由于直线 过点 且斜率为1，
则直线 ，
圆 上恰有3个 点到 的距离为1，
圆心到直线的距离等于半径减去1，
圆心 到直线 的距离为 ，解得 ．
故答案为：
15、
<答案 >:
<解析>:
设 ，
则 ，作差得， ，
所以 ，
因为 的中点坐标为 ，所以 ，
所以 ，
故答案为: .
16、
<答案 >:
<解析>:
由题知，如图所示：
设 分别是 的中点，作 平面 ，垂足为 ，
由正四面体的性质可知， 三点共线，且 ，
其中外接球的球心在 上，设球心为 ，
又正四面体的棱长为6，
则
设外接球的半径为 ，则
所以 ，解得
则 ，
所以
又 ，
，
所以
又 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）根据余弦定理可得， ，
即 ， ，
所以 ；
（2）由（1）可知， ，所以 ，
因为 是 边的中点,所以 ,
所以 .
18、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）如图建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，又 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
因为 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ；
（2）设面 的一个法向量为 ，且 ，
所以 ，取 可得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）因为椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 ，
所以有 ， ，
结合 ，有 ，解得： ，
所以椭圆 的方程为： .
（2）由（1）知椭圆 的方程为： ，
设 ， ，
联立 ，消去 得： ，显然 ，
所以 ， ，
则 ，
又点 到直线 的距离 ，
所以 .
20、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）设 甲同学答对第一题 乙同学答对第一题 ，则 .
设 甲 乙二人均答对第一题 甲 乙二人中恰有一人答对第一题 ，
则 .
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以 与 相互独立， 与 相互互斥，
所以
由题意可得 ，即 ，解得 或 ，
由于 ，所以 .
（2）由题意得， ，
.
设 {甲乙二人共答对3道题 ，则 .由于 和 相互独立， 与 相互互斥，
所以 .
所以甲乙二人共答对3道题的概率为 .
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）取 中点 ，连接 ， ，
， ， 四边形 为平行四边形， ，
又 ， ， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ，
，即 ，又 ， 平面 ，
平面 .
（2）取 中点 ， 连接 ，
， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
以 为坐标原点， 正方向为 轴正方向，作 轴平行于直线 ，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ，
；
平面 轴， 平 面 的一个法向量 ，
，解得： ，满足 ，
.
22、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明：设 、 ，因为椭圆 的焦距为 ，所以 ，解得 ．
又因为椭圆 的离心率 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
因为直线 经过 、 ， ，
所以，直线 的方程为 ，
设点 、 ，联立 可得 ，
由 ，得 ， .
所以 ，
，
因此， .
（2）证明：若直线 、 中两条直线 分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 平行，不合乎题
意，
所以 ，直线 的斜率存在且不为零，设直线 方程为 ，
则直线 方程为 ，其中 ．
联立 可得 ，
设 、 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，
易知 且 ，将 代入直线 的方程可得 ，即点 ，
所以
，
同理可得 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最大值为 .