2023~2024学年山东潍坊临朐县山东省临朐第一中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年山东潍坊临朐县山东省临朐第一中学高二上学期期中数学
试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、化简 所得的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
2、直线 的倾斜角为
A.30°
B.45°
C.120°
D.150°
3、己知m，n是两条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）
A.若 // ，则 //
B.若 ，则 //
C.若 // // ，则 //
D.若 ，则 //
4、如图，在平行六面体 中，P是 的中点，点Q在 上，且 ，设
， ， ．则（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知点 ，向量 ，过点P作以向量 为方向向量的直线为l，则点 到直线l的距离为
（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知直三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、已知直线 ： 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，且直线 在 轴上的截距为3，则直线 的
一般式方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知点 ， ， ，动点P满足 ，则 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A.若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线
B.若对空间中任意一点 ，有 ，则 、 、 、 四点共面
C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D.已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为
10、一条光线从点 射出，经 轴反射后，与圆 相切，则反射后光线所在直线
的方程可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知直线 和圆 ，则（ ）
A.直线l恒过定点（2，0）
B.存在k使得直线l与直线 垂直
C.直线l与圆O相交
D.若 ，直线l被圆O截得的弦长为
12、如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，侧面 是边长为 的正三角形，底面
为矩形， ， 是 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 与平面 所成角的余弦值为
C.三棱锥 的体积为
D.四棱锥 外接球的半径为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知圆C：x2+y2-6x-8y-m=0，其中m∈R，如果圆C与圆x2+y2=1相外切，则m的值为 .
14、已知点 ， ， ，则 到 的距离为 .
15、如图，在二面角 中， 且 ，垂足分别为A，B，已
知 ， ，则二面角 所成平面角为 ．
16、若圆 上恰有四个点到直线 的距离为1，则实数 的取值范围是
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知两直线 .当 为何值时， 和 .
(1)平行；
(2)垂直.
18、（本小题12分）
如图，在四面体OABC中， =2 ，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设 = ， = ， = ．
(1)用 ， ， 表示向量 ；
(2)已知 = = =1，{\text\less} , >={\text\less} , >= ,{\text\less} , >= ，求 的大小．
2 3
19、（本小题12分）
已知圆C的圆心C在直线 上，且与直线 相切于点 ．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点 的 直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程．
20、（本小题12分）
如图，AP是圆柱的母线，正△ABC是该圆柱的下底面的内接三角形，D，E，F分别为BC，PB，AB的中点，G是
EF的中点，且AP=AC.
(1)求证：DG 平面PAC；
(2)求直线DG与平面PBC所 成角的正弦值.
21、（本小题12分）
如图，在三棱柱 中， ，点 为棱 的中点，平面 平面
，且 .
(1)求证： 平面 .
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
22、（本小题12分）
已知圆C： ，点P是直线 上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若P的坐标为 ，求过点P的切线方程；
(2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点 ，若否说明理由；
(3)直线 与圆C交于E，F两点，求 的取值范围（O为坐标原点）.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
C
<解析>:
根据向量减法原则， ，而 ，
故 .
故选：C.
2、
<答 案>:
A
<解析>:
∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 因此正确答案为：A.
3、
<答 案>:
D
<解析>:
对于A，若 // ，则 // 或异面，故A有误.
对于B，若 ，则 // 或 相交，故B有误 .
对于C，若 // // ，则 // 或 相交，故C有误 .
对于D，由线面垂直的性质可得若 ，则 // ，故D无误，
因此正确答案为：D.
4、
<答 案>:
C
<解析>:
因为P是 的中点，
所以 ，
又因为点Q在 上，且 ，
所以
，
所以 ，
因此正确答案为：C.
5、
<答 案>:
B
<解析>:
以向量 为方向向量的直线l的斜率
则过点P的直线l的方程为 ，即 +
则点 到直线l的距离
故选：B
6、
<答 案>:
C
<解析>:
如下图所示，把三棱柱补成四棱柱，通过题意得 ，易知该四棱柱为长方体， ，异面直
线 与 所成角为 （或其补角），
， ， ，
∴ .
因此正确答案为：C.
7、
<答 案>:
B
<解析>:
解：∵直线 ： 的倾斜角为 ，斜率为 ，∴ ，
∵直线 的倾斜角为 ，∴斜率为 ，
∴ 的方程为 ，即 .
因此正确答案为：B．
8、
<答 案>:
C
<解析>:
由题设， 在以 为直径的圆上，令 ，则 ( 不与 重合)，
所以 的取值范围，即为 到圆 上点的距离范围，
又圆心 到 的距离 ，圆的半径为2，
所以 的取值范围为 ，即 .
故选：C
二、多选题
9、
<答 案>:
B;C;D
<解析>:
对于A选项，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 ，则 ，所以， 或 ，A错；
对于B选项，对空间中任意一点 ，有 ，
则 ，整理可得 ，
故 、 、 、 四点共面，B对；
对于C选项，三个不共面的向量可以 成为空间的一个基底，
两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则这两个向量共线，C对；
对于D 选项，已知向量 ， ，
则 在 方向上的投影向量为 ，
D对.
故选 ：BCD.
10、
<答案 >:
B;C
<解析>:
点 关于 轴的对称点为 ，则反射光线一定经过点 ，
1 由于 圆心为 ，半径为 ，
若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为 ， 与圆 无交点，
设反射光线的斜率为 ，则可得出反射光线为 ，即 ，
因为反射光线与圆相切，则圆心 到反射光线的距离 ，即 ，
解得 或 ，则反射直线的方程为 或 .
故选： .
11、
<答案 >:
B;C;D
<解析>:
直线 ，即 ，则直线恒过定点 ，故A错误；
当 时，直线 与直线 垂直，故B正确：
∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9 内部，∴直线l与圆O相交，故C正确：
当 时，直线l化为 ，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离 ，直线l被圆O截得的
弦长为 ，故D正确，
故选：BCD.
12、
<答案 >:
B;D
<解析>:
如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ,则 ，而 ；
因为 为等边三角形，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .因为 ，所以 两两垂直．
以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则点 ， ， ， )， ， ，
因为 是 的中点，所以 点坐标为 .
平面 的一个法向量可取为 ， ，显然 与 不共线，
所以 与平面 不垂直，所以 不正确；
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 .
设 与平面 所成角为 ，
则 ，所以 ，所以B正确；
三棱锥 的体积为 ，
所以C错误；
由题意四棱锥 外接球的球心位于平面 上，设为点 ，
则 ，
所以 ，解得 ，即 为矩形 对
角线的交点，
所以四棱锥 外接球的半径为 ，D正确，
故选：BD
三、填空题
13、
<答案 >:
-9
<解析>:
由圆C：x2+y2-6x-8y-m=0，可得（x-3）2+（y-4）2=25+m，则圆心C（3，4），半径 ，由圆
x2+y2=1，可得圆心（0，0），半径R=1，因为两圆外切，则 ，解得m=-9
故答案为：-9
14、
<答案 >:
/
<解析>:
因为 ， ，
所以
所以 ,
所以点 到 的距离
.
故答案为: .
15、
<答案 >:
/ 120o
<解析>:
在面 内，作 ，过 作 交 于 ，连接 ，如下图示，
由 ，则 为二面角的平面角，且 ，
又 易知 为正方形，即 ，
， 面 ，则 面 ， 面 ，
所以 ， 中 ，故 ，
在 中 ，则 ，
由图知： ，可得 .
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
作出到直线 的距离为1的点的轨迹，得到与直线 平行，且距离为1的两条直线
由于圆 的圆心为原点，原点到直线 的距离为：
故两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离
又圆 上恰有四个点到直线 的距离为 1，
故两条平行线与圆 有四个公共点，即它们与圆 相交
由此可得圆的半径 ，故实数 的取值范围是
故答案为：
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)
(2) 或
<解析>:
（1）因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时，直线 两条直线重合，
故 时， ；
（2）因为 ，所以 ，解得 或 .
18、
<答案 >:
1 1 1
(1) = + +
3 4 4
5
(2)
12
<解析>:
1
（1）由P是线段MN的中点得 = + ，由N是棱BC的中点， =2 得
2
1 2 1
= + + ，即可求；
2 3 2
（2）由数量积运算直接求模即可
（1）
1
连接 ，因为P是线段MN的中点，所以 = + ，
2
2
因为N是棱BC的中点， =2 ，即 = ，
3
1 2 1 1 2 1 1 1 1
所以 = + + = + + = + + ．
2 3 2 2 3 2 3 4 4
（2）
2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1
= + + = 2+ + + + +
3 4 4 9 4 4 6 6 8
因为 = = =1，{\text\less} , >={\text\less} , >= ,{\text\less} , >= ，
2 3
2 1 1 1 1 1 25 5
所以 = + + + = ，故 = ．
9 16 16 8 2 144 12
19、
<答案 >:
(1) ；
(2) 或 .
<解析>:
（1）设与直线 垂直的直线方程为 ，通过题意，点 在直线
上，
即有 ，解得 ，于是得圆心C所在直线： ，
由 解得 ，则圆心 ，半径 ，
所以圆C的方程为 .
（2）因直线l被圆C截得的弦AB长为6，则圆心C到直线l的距离 ，
当直线l的斜率不存在时，直线l： ，圆心C到此直线的距离为2，则直线l： ，
当直线l的斜率存在时，设直线 ，即 ，
圆心C到此直线的距离 ，解得 ，于是有 ，
所以直线l的方程为 或 .
20、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明：如图，连接DE，
∵E，F分别为PB，AB的中点， ∴EF PA，
平面PAC， 平面PAC，∴EF 平面PAC，
∵D，E分别为BC，PB的中点，∴DE PC，
平面PAC， 平面PAC，∴DE 平面PAC，
又 平面DGE，且 ，
∴平面DEG 平面PAC，而 平面DEG，
∴DG 平面PAC;
（2）解：以A为 坐标原点，分别以AD，AP所在直线为y z轴建立空间直角坐标系，
∵△ABC是正三角形，且AP=AC，不妨设AP=4，
.
.
设平面PBC的一个法向量为 ，
则 取y=1，则 .
设直线DG与平面PBC所成角为 ，
则 ，
∴直线DG与平面PBC所成角的正弦值为 .
21、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明：如图所示，连接 ，因为侧面 为菱形，且 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
又因为平面 平面 ， 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：由（1）知 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 为 的中点，所以 ，
以 为坐标原点，以DB，DC， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
不妨设 ，可得 ， ， ， ， ，
由 ，可得 ，
则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则有 ,
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
22、
<答案 >:
(1) 或
(2)是，
(3)
<解析>:
（1）设切线方程为 ，即
圆心坐标为 ，半径
根据圆的切线的定义可知： ，即
解得： 或
代回方程可求得切线方程为： 或
或
（2）∵圆 ： ﹣ ＝
∴圆心C（2，0），半径r＝1
设P（t，﹣t），通过题意知A，B在以PC为直径的圆上，又C（2，0）
∴ ，即
又圆C： ，即
故直线AB的方程为 ﹣ ，即 ＝ ＝
由 ，解得 ，
即直线AB恒过定点 .
（3）由 ，得 ＝
∴ ＝
设E（x ，y 1 1），F（x2，y2），
∴ ＝ ，
∴ ＜ ，
﹣
＝
∵ ＜
∴ ，
∴ 的取值范围为 ， .