2023~2024学年山西晋城城区晋城市第一中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年山西晋城城区晋城市第一中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知倾斜角为 的直线 与直线 垂直，则 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、直线 与圆 的位置关系为（ ）
A.相交
B.相切
C.相离
D.与 的值有关
5、“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通
过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的
排放量达到峰值 （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量 （亿吨）与时间 （年）满足函数关系式
，若经过5年，二氧化碳的排放量为 （亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产
生的二氧化碳排放量为 （亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：
）（ ）
A.43
B.44
C.45
D.46
6、已知 ，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
7、已知 为抛物线 上的一点，过 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则
的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、设 ， 是半径为 的球体 表面上两定点，且 ，球体 表面上动点 满足 ，则点
的轨迹长度为（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知曲线 ： ， ： ，则（ ）
A. 的长轴长为
B. 的渐近线方程为
C. 与 的离心率互为倒数
D. 与 的焦点相同
10、已知圆 和圆 ，则（ ）
A.圆 的半径为4
B. 轴为圆 与 的公切线
C.圆 与 公共弦所在的直线方程为
D.圆 与 上共有6个点到直线 的距离为1
11、已知球的半径为1（单位： ），该球能够整体放入下列几何体容器（容器壁厚度忽略不计）的是（ ）
A.棱长为 的正方体
B.底面边长为 的正方形，高为 的长方体
C.底面边长为 ，高为 的正三棱锥
D.底面边长为 ，高为 的正三棱锥
12、已知过抛物线 焦点 的直线 交 于 两点，交 的准线于点 ，其中 点在线段 上， 为
坐标原点，设直线 的斜率为 ，则（ ）
A.当 时，
B.当 时，
C.存在 使得
D.存在 使得
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、据统计，在某师范学校中，男生每天体育锻炼的时间平均值是44分钟，女生每天体育锻炼的时间平均值是
34分钟．若此学校的男生与女生人数比是 ，则此校学生每天体育锻炼的时间平均值是 分钟．
14、已知直线l过点 ，且在x轴和y轴上的截距分别为a，b，若 ，则l的方程为 ．
15、过正三棱锥 的高 的中点作平行于底面 的截面 ，若三棱锥 与三棱台
的表面积之比为 ，则直线 与底面 所成角的正切值为 .
16、双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线 交双曲线于 ， 两点， ，
分别位于第一、二象限， 为等边三角形，则双曲线的离心率 为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知在四棱锥 中，底面 为正方形，侧棱 平面 ，点 为 中点， .
(1)求证：直线 //平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
18、（本小题12分）
已知点 在圆 ： 上运动，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，动点 满足 .
(1)求动点 的轨迹方程 ；
(2)过点 的动直线 与曲线 交于 ， 两点，与圆 交于 ， 两点.求 的最大值.
19、（本小题12分）
我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科
目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化
学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目
为化学、生物至少1门。
(1)从所有选科组合中任意 选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；
(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合 福建医
科大学临床医学类招生选科要求的概率.
20、（本小题12分）
已知双曲线 的焦距为 ， ， 为 的左、右顶点，点 为 上异于 ， 的任
意一点，满足 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过 的右焦点 且斜率不为0的直线 交 于两点 ， ，在 轴上是否存在一定点 ，使得 为定值？
若存在，求定点 的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由.
21、（本小题12分）
在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ，且 .
(1)求 的正弦值；
(2) ， 边上的两条 中线 ， 相交于点 ，求 的余弦值.
22、（本小题12分）
已知椭圆 的中心为坐标原点 ，对称轴为 轴、 轴，且点 和点 在椭圆 上，椭圆的左顶点与
抛物线 的焦点 的距离为 .
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)直线 与抛 物线 变于 两点，与椭圆 交于 两点.
（ⅰ ）若 ，抛物线 在点 处的切线交于点 ，求证： ；
（ⅱ）若 ，是否存在定点 ，使得直线 的倾斜角互补 若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由.
参考答案
一、单选题
1、
<答 案>:
A
<解析>:
由题意知： i，则 i，
i i
i
所以： i.故A项正确.
i i i
故选：A.
2、
<答 案>:
C
<解析>:
直线 的斜率为 ，而直线 与直线 垂直，
于是得 ，而 ，则 ，
所以 .
因此正确答案为：C
3、
<答 案>:
B
<解析>:
由 得 ，
将 代入可得 ，
所以 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
故选：B
4、
<答 案>:
A
<解析>:
解：因为直线 ,所以 ,所以直线恒过定点 ,
因 ，
所以点 在圆 内，
所以直线与圆相交．
5、
<答 案>:
C
<解析>:
通过题意可得 ，即 ，解得 ，
令 ，即 ，
两边取对数得 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
因此正确答案为：C
6、
<答 案>:
A
<解析>:
略
7、
<答 案>:
C
<解析>:
解：如图所示：
因为 sin ，
设 ，
则 ，
，
当 时， 取得最小值 ，
此时， 最大， 最小，
且 ，
故选：C
8、
<答 案>:
D
<解析>:
以 所在的平面建立直角坐标系， 为 轴， 的垂直平分线为 轴， ，
则 ， ，
设 ， ，
则 ，
整理得到 ，
故点 的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，转化到空间中：
当 绕 为轴旋转一周时， 不变，
依然满足 ，
故空间中 的轨迹为以 为球心，半径为 的球，同时 在球 上，
故 在两球的交线上，为圆．球心距为
，
为直角三角形，对应圆的半径为 ，
周长为 ．
故选D．
二、多选题
9、
<答 案>:
B;C
<解析>:
曲线 整理得 ，则曲线 是焦点在 轴上的椭圆，
其中 ，所以 ，离心率为 ，
故曲线 的长轴长 ，故A有误；
曲线 整理得 ，则曲线 是焦点在 轴上的双曲线，
其中 ，所以 ，离心率为 ，
的渐近线方程为 ，即 ，故B无误；
，所以 与 的离心率互为倒数，故C无误；
的焦点在 轴上， 的焦点在 轴上，焦点位置不同，故D有误．
因此正确答案为：BC.
10、
<答案 >:
B;D
<解析>:
对于A项，由圆 配方得：
知圆 的半径为2，故选项A错误；
对于B项，因圆心 到 轴的距离为1，等于圆 的半径，故圆 与 轴相切，
同理圆心 到 轴的距离等于圆 的半径，圆 与 轴相切，故 轴为圆
与 的公切线，故选项B正确；
对于C项，只需要将 与 左右分别相减，
即得圆 与 的公共弦所在的直线方程为： 故选项C错误；
对于D项，如图，因直线 同时经过两圆的圆心，依题意可作两 条
与该直线平行且距离为1的直线 与 ，其中 与 和圆 都相切，各有一个公共 点，
与 和圆 都相交，各有两个交点，故圆 与 上共有6个点到直线
的距离为1，故选项D正确.
故选：BD.
11、
<答案 >:
A;C;D
<解析>:
球的半径为 ，则直径为 ，
对于A，棱长为 的正方体内 切球直径为 ，A正确；
对于B，长方体高为 ，高小于球的直径，B错误；
对于C，如图所示，设正三棱锥为 ，
设 为三棱锥的内切球的球心， 为正三角形 的中心，
所以 为正三棱锥的高， ，
设 是 的中点，正三棱锥的底面边长为 ，
所以 ， ，
因为 为正三棱锥的高，所以 ，
由正棱锥的性质可知： ，
， ，
内切球半径为 ，
，
得 ，C正确；
对于D，和C的正三棱锥相比，底面边长相同，只需比较高的大小，
即比较 和 的大小，由于 ，故选项D正确
故选：ACD
12、
<答案 >:
A;B;D
<解析>:
对于选项A. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为: , 设该直线与抛物线交于
, 两点,
联立方程组 , 整理可得: , 则 ,
由抛物线的定义: , 故A正确.
对于选项B. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为: , 设该直线与抛物
线交于 , 两点,
联立方程组 , 整理可得: ，则 , 则 ,
所以 ，由抛物线的定义: ,
又因为直线 与抛物线的准线 交于点 ,
则 ，即 ，故B正确.
对于选项C. 设过抛物线 的焦点 的直线方程为: 与抛物线交于
两点,联立方程组 , 整理可得:
, 则 ,
，
所以 .若 , 则 , 故不存在 ，使得
,故C不正确.
对于选项D. 设过抛物线 的焦点 的直线 方程为: 与抛物线交于
两点,
联立方程组 , 整理可得 : ,则 ，
,
若 , 因为 , , 即 ,
则 , 即: ,可得: ,
即: , 则 , 解得: , 解得: .
故存在 使得 , 故D正确;
故选：ABD.
三、填空题
13、
<答案 >:
35
<解析>:
设男生有 人，则女生 人，由题意，该校全体学生体育锻炼时间的平均数为：
故答案为：
14、
<答案 >:
或
<解析>:
若 ，则l过 ，又l过点 ，
故l的方程为 ，即 ；
若 ，设l的方程为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故l的方程为 ．
因此正确答案为： 或 ．
15、
<答案 >:
<解析>:
依题意过正三棱锥 的高 的中点作平行于底面 的截面 ，
则 为 中点， 为 中点， 为 中点，设 的边长为 ， ，
则 ， ，
，
所以 ，
，
所以三棱锥 的表面积 ，
三棱台 的表面积 ，
依题意 ，所以 ，取BC的中点D，则 ，
因为 为正三棱锥 的高，所以 平面ABC，且 ，
则 与底面 所成角为 ，所以 ，
所以 ，故直线 与底面 所成角的正切值为 .
故答案为：
16、
<答案 >:
<解析>:
由双曲线的定义可得 ， ，
所以取 的中点 ，连接 ，
又因为 为等边三角形，
则 ， ，
在直角三角形 中， ，
即 ，解得： ，即 .
故答案为： .
四、解答题
17、
<答案 >:
(1)证明见解析
(2)
<解析>:
（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为底面 为正方形，
所以 为 的中点，
所以，在 中， 为 的中点， 为 的中点，
所以 ；
又因为 面 ， 面 ，
所以 平面 .
（2）解：因为 平面 ， 为正方形， 平面 ，
所以， 两两垂直，以 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐 标系，
所以， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以， ，即 ，
令 ，则 ， ，即 ，
，
设点P到平面MAC 的距离为d，
所以 ，
所以，点 到平面 的距离为 .
18、
<答案 >:
(1)
(2)16
<解析>:
（1）设点 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即动点 的轨迹 的方程为
（2）
①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，联立方程组 ，
可得 ，则 恒成立，
且 ， ，
，
所以 ，
设 ，则 ，
则 ，得 ，
当且仅当 时取到，此时 最大值是16.
②当直线 的斜率不存在时，则直线 为 ，可得 ，
此时 ，
综上， 最大值是 16.
19、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
（1）由古典概型的概率公式求解，
（2）由概率乘法公式与加法公式求 解
（1）
用a，b 分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择
地理”，
则所有选 科组合的样本空间 ，
∴ ，
设 “从所有 选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，
则 ，
∴ ，
∴ .
（2）
设甲、 乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是 ， ， ，
由题意知事件 ， ， 相互独立
由（1）知 .
记 “甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，
则
易知事件 ， ， 两两互斥，
根据互斥事件概率加法公式得
.
20、
<答案 >:
(1)
(2)存在定点 ，使得 为定值
<解析>:
（1）设 ， ， ，则 ，
又因为点 在双曲线上，所以 .
于是 ，对任意 恒成立，
所以 ，即 .
又因为 ， ，
可得 ， ，所以双曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为： ， ， ，由题意可知 ，
联立 ，消 可得， ，
则有 ， ，
假设存在定点 ，
则
令 ，解得 ，
此时 ，
所以存在定点 ，使得 为定值
21、
<答案 >:
(1)
(2)
<解析>:
解：（1）因为 ，
即 ，整理得 .
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
又因为 ，所以 .由正弦定理 ，得 .
（2）由余弦定理得 ，
即 ，所以 .
在 中，由余弦定理得 ，则 .
在 中， ，
所以 ，解得
.
由 ， 分别为边 ， 上的中线可知 为 的重心，
可得 ， .
在 中，由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 .
22、
<答案 >:
(1)椭圆 ；抛物线 ；
(2)（ⅰ）详见解析；（ⅱ）存在， .
<解析>:
（1）设椭圆 的方程为： ，
和 在椭圆 上，
，解得： ，
椭圆 的标准方程为： ；
由椭圆方程可知：椭圆 的左顶点为 ，又 ，
，解得： ，
抛物线 的方程为 ；
（2）（ⅰ）当 时，直线 ，即 ，
令 ，则直线 ，设 ， ，
由 得： ，
则 ， ，
， ；
设抛物线 在点 处的切线 方程分别为： ， ，
由 得： ，
，又 ，则 ，
，则 ；
同理可知： ；
联立两切线方程 ，将 ， 代入，
可解得： ， ，
，又 ，
；
同理可知： ；
，
要证 ，等价于证明 ，
，又 ，
，
同理可知： ，
，即 ；
（ⅱ）当 时，直线 ，
假设存在点 ，使直线 的倾斜 角互补，则直线 的斜率之和为 ；
设 ，
由 得： ，
，即 恒成立，
， ，
，
，
即 ，
，即 ，解得： ，
假设成立，即存在点 ，使得直线 的倾斜角互补.