2023-2024学年安徽省合肥市中国科大附中高新中学九年级（上）期末考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年合肥市中国科大附中高新中学九年级（上）期末考试
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.反比例函数的图象一定经过的点是( )
A. B. C. D.
3.若，则等于( )
A. B. C. D.
4.下列关于抛物线的说法，正确的是( )
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线过点
C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线与轴有两个交点
5.如图，直线 ，直线分别交直线、、于点、、，直线分别交直线、、于点、、，直线、交于点，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：米，米，，，则警示牌的高为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图，四边形内接于，，，的大小为( )
A. B. C. D.
9.如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是( )
A. 小球距点水平距离超过米呈下降趋势
B. 当小球水平运动米时，小球距离坡面的高度为米
C. 小球落地点距点水平距离为米
D. 当小球拋出高度达到时，小球距点水平距离为
10.如图，点，的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.函数，当时，随的增大而 填“增大”或“减小”．
12.如图，是的直径，弦于点，，，则的长为 ．
13.如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，在轴的正半轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，点经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则点的坐标是 ．
14.已知抛物线与轴交于点、，与轴的正半轴交于点，
若点为抛物线的顶点坐标，则 ．
若的中点到坐标系原点的距离为，若，，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算：
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，正方形网格中，的顶点均在格点上．以格点为圆心作圆，格点，，，分别落在圆上．
将以为位似中心放大倍，得到，画出．
如图，在圆上任取一点点不是格点，用无刻度直尺在圆上找一点，使得，画出，并在图中保留确定点的痕迹．
17.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．
求点的坐标．
根据图象直接写出的自变量的范围．
18.本小题分
如图，在中，点，分别在边、上且，连接．
求证：．
若点为中点，，的面积为，求的面积．
19.本小题分
如图，小林一家准备乘船去小岛上游玩，他们从地出发，沿北偏西方向行驶千米至先到达景点地参观，再沿北偏东方向行驶一段距离到达小岛，这时测得在地的北偏东方向．求景点距离小岛的距离是多少结果保留到千米，参考数据：，，
20.本小题分
某农场种植棵橘子树，平均每棵树结个橘子，经营一段时间发现市场销量较好，于是准备多种一些橘子树以提高果园产量，但如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橘子，假设果园多种了棵橘子树．
求出每棵树结的橘子个数个与之间的关系；
若每棵橘子树的产量不能少于个，果园多种多少棵橘子树时，可使总产量达到最大？最大是多少？
21.本小题分
如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接．
求证：平分；
若，，求的长．
22.本小题分
已知抛物线．
当时，求的值；
点是抛物线上一点，若，且时，求的值；
当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围．
23.本小题分
已知和都是等腰直角三角形．
如图，若，点，，三点共线，连接并延长交于点．
求证：；
若，，求的长．
如图，，点，，在一条直线上，是的中点，平分与交于点，，连接，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.增大
12.
13.
14.．
．
15.解：，
，
，
．

16.解：以为位似中心放大倍，得到，
设格点为单位“”，即，，，
，，，画图如下．
；
将线段沿着格点向右平移直到过点，画线交圆于点，即可得到，如下图所示．
．

17.解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，
将代入中，得，即，
，
将代入中，得．
，解得或
点的坐标为： ．
通过函数图象，可知点，点．
，
的自变量的范围为或．
18.解：，即，
又，
，
；
，
设，则，
点为中点，
．
，
，
，
，
的面积为，即的面积为，
的面积为．

19.解：如图，过点作于点．

由题意得：，
，
在中，，千米，
，
千米，
在中，，
则千米，
答：景点距离小岛的距离约为千米．

20.解：平均每棵树结的橘子个数个与之间的关系为，其中，且为整数．
设果园多种棵橘子树时，可使橘子的总产量为，则．
每棵橘子树的产量不能少于个，
，
解得且为整数，
，抛物线对称轴为，
果园多种棵橘子树时，可使橘子的总产量最大，
当时，，
即果园多种棵橘子树时，可使橘子的总产量最大，最大为个．

21.解：证明：切于点，
．
，
，
．
，
，
，
即平分．
连接，过点作于点．
平分，，
．
是的直径，
，
四边形是矩形，
．
，，
，
则．
，
，
．

22.解：由题意得，．
又，
．
．
或．
由题意，．
，
当时，函数有最大值为．
又点是抛物线上一点，当时，都有，
．
．
由题意，当时，抛物线为．
把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线为．
抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，
又当时，，
．
开口向下，
．
又抛物线与轴有交点，
．
．
．
23.解：证明：延长，交于点．
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
是等腰三角形，
．
，
．
在和中，
，
．
，
，
，
．
由知，
．
，
．
，，
，
，
，即，解得．
连接．
，
和都是等腰直角三角形，平分，
，．
设，
．
，
，
．
在中，．
，
，，
，
，
，
，
，
，即．

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