第五章三角函数同步练习卷（含解析）-高一数学上学期人教A版2019必修第一册

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第五章三角函数同步练习卷-高一数学上学期人教A版2019必修第一册
一、单选题
1．下列选项中，与角终边相同的角是（ ）
A． B． C．310° D．330°
2．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
3．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
6．设角、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题正确的是（ ）
A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数
C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数
8．“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且，则函数与在内的交点个数为（ ）
A．196 B．198 C．199 D．200
二、多选题
9．已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知函数，则下列命题正确的是（ ）.
A．函数是奇函数
B．函数在区间上存在零点
C．当时，
D．若，则
11．下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是 .
13．若，则 .
14．把中的换成，换成后，可化简为 .
四、解答题
15．证明下列等式：
(1)
(2).
16．已知，，，，求，的值.
17．若函数对任意都有.
(1)求的值
(2)求的最小正值；
(3)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
18．已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点.
(1)求的值；
(2)已知角的始边为x轴非负半轴，角和的终边关于y轴对称，求的值.
19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为m，已知H关于t的函数解析式满足（其中），求摩天轮转动一周的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐1号和9号座舱（即甲乙中间间隔7个座舱），在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．
参考答案：
1．A
【分析】首先表示出与终边相同的角，再判断即可.
【详解】与角终边相同的角的集合表示为，
当时，，故与角终边相同．
故选：A．
2．A
【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可.
【详解】函数的最小正周期为，
用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象，
所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π.
故选：A
3．C
【分析】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域.
【详解】由正切函数的定义域，令，即，
所以函数的定义域为.
故选：C.
4．A
【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解.
【详解】令，则，
所以，
故选：A.
5．D
【分析】可得函数为奇函数，判断B；赋值法可判断A，C，可得结论.
【详解】因为的定义域为，且，
所以为奇函数，所以图像关于原点对称，故B不正确；
当时，，故A错误；
当时，则，可知，故C错误；.
故选：D.
6．A
【分析】根据三角函数的有界性得到，，又，从而，，求出，，，，则，从而得到最值.
【详解】因为，，
所以，，
所以，.
又，
则，
即，，
即，，
所以，，，，
则，
当，时，取最小值.
故选：A
7．C
【分析】根据余弦函数的单调性可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据奇偶性的定义可判断C；根据正弦函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，在每一个区间上都是减函数，
在第二象限是减函数，故A错误；
对于B，在上是增函数，故B错误；
对于C，，
所以的定义域为，关于原点对称，
，
所以是奇函数，故C正确；
对于D，在的每一个区间上是增函数，
不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误.
故选：C.
8．B
【分析】由题意首先得，进一步，通过数形结合找规律即可得解.
【详解】由题意，
在中，不妨令，得，
所以，经检验满足题意，
所以
所以，
如图所示：
由于与都是奇函数，先考虑时的交点个数，
由图可知时，与的交点分布在这49个区间内，
且每个区间内都有2个交点，
同理时，与的交点分布在这50个区间内，
且每个区间内都有2个交点，
综上所述，函数与在内的交点个数为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：在由求参数时，可先通过令特殊的值代入表达式得到关于的方程组，进一步解之并检验，由此即可顺利得解.
9．AD
【分析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，根据扇形的周长和面积均为列方程式，求解即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，
根据扇形的周长和面积均为，则
，解得或，
则或.
故选：.
10．BC
【分析】利用奇函数的意义判断A；利用零点存在性定理判断B；利用单调性，结合不等式性质判断C；举例说明判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为R，而，则函数不是奇函数，A错误；
对于B，，，函数的图象连续不断，
函数在上都为增函数，
由零点存在性定理，得函数在区间上存在零点，B正确；
对于C，当时，在上都单调递增，则在上单调递增，
，当时，，而，则，
因此当时，，C正确；
对于D，，则，D错误.
故选：BC
11．AB
【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．
【详解】解：∵，故A正确；
,故B正确；
，故C不正确；
，故D不正确，
故选：AB．
12．
【分析】根据题意，可得点，进而可得答案.
【详解】由题意，得点，，，，则.
故答案为：
13．/
【分析】利用对表达式化简为并代入，即可得到结果，
【详解】.
故答案为：.
14．
【分析】利用两角差的正弦公式，将换成，换成后，再用诱导公式化简即可.
【详解】由已知,，
.
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证.
【详解】（1）左边右边，得证；
（2）左边
右边，得证.
16．，.
【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得，再由正弦函数的和差角公式代入计算，即可求解.
【详解】∵，，∴.
∵，，∴，
∴，
.
17．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据三角函数的性质可得为函数的对称轴，进而可得函数值；
（2）根据三角函数的对称轴可列方程，即可得解；
（3）根据三角函数的伸缩平移变换可得解（答案不唯一）.
【详解】（1）由，得是的对称轴，
又函数在对称轴处有最大或最小值，
所以；
（2）由（1），得，
所以，
所以，
所以（），
取，得的最小正值为；
（3）（答案不唯一）
由（2），得，把函数的图象向左平移个单位，得，
再将横坐标缩短到原来的倍，得，
最后把纵坐标伸长到原来的倍即得函数的图象.
18．(1)
(2).
【分析】（1）根据题意，由三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，得到正切的齐次式，代入计算，即可求解；
（2）根据题意，由三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，即可得到结果.
【详解】（1）由题可知，则，，，
所以.
（2）因为角角和的终边关于y轴对称，
所以，，
所以.
19．(1)，（）
(2)，，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米
【分析】（1）根据周期以及即可求解，
（2）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.
设时，游客甲位于，得到以为终边的角为，
根据摩天轮转一周需要30，可知座舱转动的速度约为，
由题意可得，，（），
（2）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则，
经过后，甲距离地面的高度为，
点相对于始终落后，
此时乙距离地面的高度，
则甲、乙高度差为
，，
所以当（或）时，的最大值为55，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米
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