2023-2024学年云南省曲靖市师宗县高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年云南省曲靖市师宗县高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，且，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，若是实数，则实数( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，公比，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.从由，，，，组成的没有重复数字的两位数中任取一个，则这个两位数大于的个数是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是( )
A. B. 为递减数列 C. D.
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增
B. 函数在上单调递减
C. 函数的极小值为
D. 若有个不等实根，，，则
11.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数满足，且是偶函数，在上有，则 ______．
13.如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件______时，有注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形
14.已知抛物线：，过的直线交抛物线于，两点，且，则直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求；
若，求的最小值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点，为等腰直角三角形，，．
求证：；
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有个灯谜，编号为：，，，，个灯谜中猜对个获“小奖”，猜对个获“中奖”，猜对个获“大奖”．
小王从个灯谜中任取个作答；设选中编号为，，的灯谜的个数为随机变量，求的分布列及数学期望；
若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为，的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率．
18.本小题分
已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
求双曲线的标准方程；
过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，在第一象限两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最小值；
若，求实数的取值范围．
答案解析
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15.解：因为在中，角，，所对的边分别为，，，
，
所以，
即，
即；
由余弦定理有，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．
16.解：证明：平面，又平面，
平面平面，
又是的中点，为等腰直角三角形，，
，且平面，
又平面平面，平面平面，
平面，又平面，
；
连接，设，
则根据题意易得，，
由知平面，又平面，
，又易证，且，
平面，
与平面所成角为，
在中，，，，
，
故与平面所成角的正弦值为．
17.解：由题意可知，的所有可能取值为，，，，
则，，，，
所以的分布列为：


所以；
设事件表示“小王获得“中奖””，事件表示“小王猜对编号为，的灯谜”，
则，，
所以．
18.解：易知双曲线的左、右顶点分别为，，
所以，
解得，
因为点在双曲线上，
所以，
解得，
则双曲线方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
此时，
解得，
此时，
解得，
因为的重心在轴上，
所以，
所以，
代入双曲线得．
故或．

19.解：当时，令，
，令，得，
故函数的减区间为，增区间为．
可得，故当时，函数的最小值为．
由题意有，
又由函数单调递减，且，可得．
下面证明：当时，，
由函数单调递减，有，
由有，故有，
故若，则实数的取值范围为．
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