2023-2024学年广西百色市高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西百色市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.在篮球选修课上，男、女生各有名编号为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则( )
A. 男生投篮水平比女生投篮水平高
B. 女生投篮水平比男生投篮水平高
C. 男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定
D. 男女同学投篮命中数的极差相同
3.若，，向量与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.从装有若干个红球和白球除颜色外其余均相同的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为( )
A. B. C. D.
5.设为所在平面内一点，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.如图，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点的同一水平面上的，两处进行测量，如图已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，且米，，则雁鸣塔的高度( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味如右图几何图形好似平铺的一件裙装，是全等的等腰梯形，是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是( )
A. 当时，若，则
B. 当，时，若，则
C. 当，时，，则，是异面直线
D. 当，时，若，则
10.数术记遗记述了积算即筹算、珠算、计数等共种算法某研究学习小组共人，他们搜集整理这种算法的相关资料所花费的时间单位：分别为，，，，，，则这组时间数据( )
A. 极差为 B. 中位数为 C. 平均数为 D. 方差为
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 面积的最大值为
C. 若为边的中点，则的最大值为
D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某中学高一年级名学生某次考试的数学成绩分别为，，，，，，，，则这名学生数学成绩的第百分位数为______．
13.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则 ______．
14.已知在边长为的正三角形中，，分别是边，上的动点，且，则的最大值是______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且与的夹角为，
求的值；
求向量与的夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的中点，，．
平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
请补全频率分布直方图并估计这名学生的平均成绩；
采用分层随机抽样的方法从这名学生中抽取容量为的样本，再从该样本中成绩不低于分的学生中随机抽取名进行问卷调查，求至少有名学生成绩不低于分的概率．
18.本小题分
在；；三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且满足____．
求角；
若的角平分线长为，且，求的值．
19.本小题分
如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱上，且．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的大小；
Ⅲ侧棱上是否存在一点，使得平面．
若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
参考答案
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15.解：已知，且与的夹角为，
则；
设向量与的夹角为，
因为，
又，
所以，
故向量与的夹角的余弦值为．
16.解：证明：连接，连接，
底面是平行四边形，为的中点，又为的中点，
，又平面，且平面，
平面；
平面，底面是平行四边形，为的中点，
又，，
三棱锥的体积为．
17.解：成绩落在的频率为：
，
补全频率分布图如下：
这名学生的平均成绩为：
分；
抽取的名学生在，成绩在内的有人，记为，，，，
成绩在内有人，记为，，
从这人中任选人，不同的取法有种，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，
设事件表示“至少有名学生成绩不低于分”，
则事件包含的基本事件有个，分别为：
，，，，，，，，，
至少有名学生成绩不低于分的概率．
18.解：若选，因为，所以，
因为，所以，
所以，舍去或，
可得．
若选，因为，
所以，整理可得，
可得，
又，
所以．
若选，因为，可得，
因为，可得，即，
因为，可得，
又，
所以．
由，可得，可得，
由余弦定理，解得，
由正弦定理，可得，所以的值为．
19.解：
Ⅰ证明：连接 交 于，连接；
四棱锥是正四棱锥，且底面是正方形；
，，三直线两两垂直，所以分别以这三直线为，，轴，建立如图所示的直角坐标系；
设，由已知可得：，，，，，；
；
；
；
Ⅱ底面；
为平面的一条法向量；
设平面的法向量为，则：；
；
，取，则；
设二面角的大小为，则：
；
；
即二面角的大小为；
Ⅲ假设在侧棱上存在一点，使得平面，则：
和平面的法向量垂直；
在棱上，设；
；
；
存在点使平面；
此时，．
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