2023-2024学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数其中为虚数单位在复平面内对应的点位于第象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2.某校举行演讲比赛，位评委对参赛选手李明的评分分别为，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.如图，水平放置的的直观图恰为腰长为的等腰直角三角形，则中最长边的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中真命题是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.有甲、乙两个盒子，甲盒装有编号为，，，，的个球，乙盒装有编号为，，的个球，每个球大小相同、材质均匀，各盒中每个球被抽取的概率相同，现从两个盒子中各取出个球，设事件“从甲盒中所抽取的球的编号小于”，“两个球编号之和为偶数”，则( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别是，，，若满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在扇形中，扇形的半径为，，点在弧上移动，当时，( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中学三个年级学生共人，且各年级人数比例如以下扇形图现因举办校庆活动，以分层抽样的方式从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有人，则下列说法正确的有( )
A. 该学校高一学生共人
B. 志愿服务小组共有学生人
C. 志愿服务小组中高三学生共有人
D. 某高三学生被选入志愿服务小组的概率为
10.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 函数的一条对称轴为
B. 在区间上单调递增
C. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
D. 方程在区间上恰有三个不等的实根
11.如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为棱上含端点的动点，则下列说法中，不正确的是( )
A. 当为棱上的中点时，平面经过顶点
B. 当为棱上的中点时，则平面
C. 当且仅当点运动到顶点时，三棱锥的体积最大
D. 棱上存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，已知为原点，点，，则与夹角的余弦值 ______．
13.若复数其中为虚数单位，，，满足为实数，则 ______．
14.如图，已知平面，，，，分别为棱，上的动点含端点，则线段长度的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数其中为虚数单位满足，求实数的值；
在复数范围内，解方程：．
16.本小题分
为了解学生体育运动时间，督促学生加强锻炼，甲、乙两个班的班主任分别对所在班学生进行体育锻炼时长调查将甲班名学生的周平均体育锻炼时长单位：小时数据分成组：，，，，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数；
乙班名学生中周平均体育锻炼时长在小时以上的有人，用频率估计概率，现从甲乙两个班中各随机抽查一位学生，求其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在小时以上的概率．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点．
求证：；
若．
(ⅰ)求；
(ⅱ)若，，求的面积．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是等腰梯形，平面，，，．
求证：平面；
点为上一点，，求证：平面；
点为的中点，求与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献年，欧拉在他的著作三角形的几何学中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上这条直线被称为三角形的欧拉线，此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点、、分别为的外心、重心、垂心．
求证：；
求证：；
求证：．
注：重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成：；
垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
外心：三条中垂线的交点外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等．
参考答案
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15.解：，，
或；
，
方程的根为，
即或．
16.解：根据题意可得，；
估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数为：
小时；
甲班学生周平均体育锻炼时长在小时以上的概率为，
乙班学生周平均体育锻炼时长在小时以上的概率为，
至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在小时以上的概率为：．
17.证明：在中，是的平分线，
设，，则，．
在和中，由正弦定理得，．
因为，所以，可得．
解：(ⅰ)根据，由正弦定理得．
因为，
所以，可得，
即，可得，
所以，即，，
结合，，可得，．
(ⅱ)因为，所以，
又因为，，可得，，所以．
18.解：证明：由题意可知，，所以，
所以，
解得，
则，所以，
又因为平面，平面，
所以，，且，平面，
所以平面；
证明：连结，交于点，连结，
因为，且，
所以，又因为，
所以，且平面，平面，
所以平面；
由可知，平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
过点作，连结，
则平面，为直线与平面所成的角，
因为是等腰直角三角形，且，
所以，
中，，，所以，
，
所以．
19.证明：因为为的重心，
所以连接，并延长交于，
则为中点，且．
在中，因为为中点，所以，
所以；
在中，为中点，
所以．
因为为的重心，所以，
则在中，有，
所；
由欧拉定理知，，所以．
由知，
所以．
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