2023-2024学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省九江市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
4.已知满足，则( )
A. B. C. D.
5.中，角，，所对的边分别为，，，已知，则( )
A. B. C. D.
6.如图，单位圆与数轴相切于原点，把数轴看成一个“皮尺”，对于任意一个正数，它对应正半轴上的点，把线段按逆时针方向缠绕到圆上，点对应单位圆上点，这样就得到一个以点为顶点，以为始边，经过逆时针旋转以为终边的圆心角，该角的弧度数为若扇形面积为，则( )
A. B.
C. D.
7.如图，已知圆锥顶点为，底面直径为，以为直径的球与圆锥相交的曲线记为异于圆锥的底面，则曲线的长为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的部分图象如图若，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D. 若，则
10.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. 最小正周期为 B. 值域为
C. 图象关于直线对称 D. 在上单调递增
11.四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上不含端点，点到平面和平面的距离分别为，，则( )
A. 过，，三点的截面为直角梯形
B. 的面积最小值为
C. 四棱锥外接球的表面积为
D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量若，则的值为______．
13.如图“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转、连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点若下底面正方形边长为，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为______．
14.已知，是函数在上的两个零点，且，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知正四棱台，，侧棱．
求证：平面；
求证：平面平面．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，单位圆与轴正半轴的交点为，点，在单位圆上，且满足，，，．
若，求的值；
若，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为的等边三角形，．
证明：平面；
若，与平面所成的角为，求三棱锥的体积．
18.本小题分
中，，，分别为内角，，所对的边，已知．
求；
设的中点为，，求的最大值．
19.本小题分
已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质．
若一次函数具有性质，且，求的解析式；
若函数其中，具有性质，求的单调递增区间；
对于中的函数，，求函数在区间上的所有零点之和．
参考答案
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15.证明：如图，连接，，设，连接，
由正四棱台，易知，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
连接，同理可得四边形为平行四边形，
又因为，所以四边形为棱形，
所以，
由正四棱台，知平面，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
16.解：，
，
；
，
，
，
，
．
17.解：证明：是边长为的等边三角形，
为的中点，，，
，，
，
又，，，平面，
平面；
由知平面，且平面，
平面平面，
取的中点，连接，，
，，平面平面，
面，
即为与平面所成的角，，
为的中位线，，
在中，，，
故三棱锥的体积为：
．
18.解：法一：由余弦定理，得，
，
由正弦定理，得，
，，
，
，
，，，
可得；
法二：由正弦定理，得，
，
，，
，
，，
，，，，，
可得；
由余弦定理，得，即，
，，当且仅当时等号成立，
，
，
，
，可得，当且仅当时等号成立，
即的最大值为．
19.解：设，则，
由，得，
又，，
；
由，得，，
，又，，
，
由，得，
即，
，，，或，
又，，，，，
令，得，
故的单调递增区间为；
令，得，
问题转化为曲线和所有交点的横坐标之和，
曲线和均关于成中心对称．．
，，
，
在上单调递减，
画出它们的图象如图所示．
由图象可知曲线和共有个交点，
设其交点的横坐标从小到大依次为，，，
则，
故函数在区间上的所有零点之和为．
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