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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第1节 集 合
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性.
(2)元素与集合的关系是______或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ____ __________ ____ ____ ____
互异性
属于
列举法
描述法
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的______，就称集合A为集合B的子集.记作A____B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但______元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的________，记作A?B(或B?A).
(3)相等：若A B，且________，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何______集合的真子集.
元素
存在
真子集
B A
非空
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} _________________ {x|x∈U，且x A}
{x|x∈A，且x∈B}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
×
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B) (A∪B)恒成立.( )
×
×
√
解析 (1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.
(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
A.[0，＋∞) B.[－1，＋∞)
C.[－1，0] D.(－1，0)
解析 易知A＝[0，＋∞)，B＝[－1，＋∞)，故A∩B＝[0，＋∞).
A
解析 当m＋2＝3时，m＝1，此时，m＋2＝2m2＋m＝1，故舍去；
3.(易错题)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为( )
B
解析 因为A＝{x|－2所以A∩B＝{2，3}，故选B.
4.设集合A＝{x|－2A.{2} B.{2，3}
C.{3，4} D.{2，3，4}
B
解析 由题设可得 UB＝{1，5，6}，
故A∩( UB)＝{1，6}.
5.设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩( UB)＝( )
A.{3} B.{1，6} C.{5，6} D.{1，3}
B
解析 由题意，A?B?U，作出韦恩图如图所示，
所以B∪( UA)＝U，故选B.
6.若集合A，B，U满足A?B?U，则U＝( )
A.A∪( UB) B.B∪( UA)
C.A∩( UB) D.B∩( UA)
B
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
C
又∵x∈Z，∴x值分别为5，3，1，－1，
故集合A中的元素个数为4，故选C.
A.2 B.3 C.4 D.5
C
解析 由题意知，∵0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，
故B＝{0，1，2}.
3.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B为____________.
{0，1，2}
解析 由题意知a≠0，
所以a＝－1，b＝1.
故a2 023＋b2 024＝－1＋1＝0.
0
解析 因为x2－2x－3≤0，即(x－3)·(x＋1)≤0，
所以－1≤x≤3，则A＝[－1，3]；
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]；
A.B A B.A＝B C.C B D.A C
D
所以A B，A C，B C.故选D.
解析 ∵B A，
∴若B＝ ，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为____________.
(－∞，3]
故实数m的取值范围为(－∞，3].
解析 由题意，可得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}.
又∵A C B，
∴C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，共4个.
训练1 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件A C B的集合C的个数为________.
4
解析 若B＝ ，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；
若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
(2)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，则实数m的取值范围为____________.
[－2，2)
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2).
解析 法一 在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，
而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，
所以必有T S，所以S∩T＝T，故选C.
法二 S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，
观察可知，T S，所以S∩T＝T，故选C.
例2 (1)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A. B.S C.T D.Z
C
解析 由题意知A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x≤－1或x≥1}，
所以 RB＝{x|－1＜x＜1}，
所以A∩( RB)＝{x|0＜x＜1}，
故选B.
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C. D.{x|0＜x＜2}
B
(3)集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩( UN)＝ ，则a的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
B
解析 ∵A＝{x|－1＜x≤3}，
B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|－1＜x≤2}，A错误；
A∪B＝{x|－2≤x≤3}，B正确；
∵ RB＝{x|x＜－2或x＞2}，
∴A∪ RB＝{x|x＜－2或x＞－1}，C错误；
A∩ RB＝{x|2＜x≤3}，D正确.
训练2 (1)(多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是( )
A.A∩B＝ B.A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C.A∪ RB＝{x|x≤－1或x＞2} D.A∩ RB＝{x|2＜x≤3}
BD
解得2≤m＜4.
(2)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5＜0}，B＝{x|4x＞2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是( )
A.[3，6) B.[1，2) C.[2，4) D.(2，4]
C
Venn图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
解析 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，
设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占
该中学学生总数的比例为x，则
(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，
解得x＝46%.故选C.
例 (1)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
C
解析 设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.
(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人.
8
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
解析 A＝{x∈N|x2－5x＜0}＝{x∈N|0＜x＜5}＝{1，2，3，4}.
共4个元素.
1.若集合A＝{x∈N|(x－3)(x－2)＜6}，则A中的元素个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
B
解析 由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－12.已知集合A＝{x|－1A.{x|0≤x<1} B.{x|－1C.{x|1B
解析 ∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，
∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}.
3.设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C＝( )
A.{0} B.{0，1，3，5}
C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}
C
解析 ∵M＝{0，1}，N＝{x|0＜x≤1}，
∴M∪N＝{x|0≤x≤1}.
4.设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于( )
A.[0，1] B.(0，1]
C.[0，1) D.(－∞，1]
A
∴A∩B＝{(2，－1)}.
由M (A∩B)，知M＝ 或M＝{(2，－1)}.
5.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M (A∩B)的集合M的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
解析 ∵A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，－1]∪[2，＋∞)，
∴A∪B＝R，D正确，其余选项均错误.
6.已知集合A＝{x|x＞－1，x∈R}，B＝{x|x2－x－2≥0，x∈R}，则下列关系中，正确的是( )
A.A B B. RA RB
C.A∩B＝ D.A∪B＝R
D
解析 因为B A，
所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足条件；
当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足条件.
②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，
此时集合A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去.
综上，a＝－1或a＝2.
7.已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B A，则实数a＝( )
A.－1 B.2
C.－1或2 D.1或－1或2
C
解析 易知A＝{x|x2－8x＋15＞0}＝{x|x＜3或x＞5}，
8.已知集合A＝{x|y＝log2(x2－8x＋15)}，B＝{x|a＜x＜a＋1}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，3] B.(－∞，4]
C.(3，4) D.[3，4]
D
解析 由题图知阴影部分所表示的集合为
A∩B＝{x|0＜x≤6}.
9.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为______________.
{x|0＜x≤6}
解析 ∵A∩B＝(－1，n)，
∴m＝－1，n＝1，
∴m＋n＝0.
10.已知集合A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，若A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.
0
即m＝3或m＝0或m＝1，
根据集合中元素的互异性可知m≠1，
所以m＝0或3.
0或3
综上，实数m的取值范围是[0，＋∞).
12.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是___________.
[0，＋∞)
解析 A＝{x|sin 2x＝1}
A.A∪B＝B B. RB RA
C.A∩B＝ D. RA RB
AB
所以A B，则A∪B＝B成立，所以A正确.
RB RA成立，所以B正确，D错误.
A∩B＝A，所以C错误.
显然集合
14.(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是( )
A.M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}是一个戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
BD
解析 对于A，因为M＝{x|x＜0}，N＝{x|x＞0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；
对于B，设M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，故C错误；
解析 符合题意的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.
15.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1 A且k＋1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.
6
解析 不妨令A＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，
∴当A1＝ 时，A2＝{1，2，3}，
当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，
同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，
当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，
同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，
当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆.
16.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________.
272025高考数学一轮复习-1.1-集合-专项训【原卷版】
1.若集合P＝{x∈N｜x≤}，a＝2，则（ ）
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a} P D.a P
2.设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝（ ）
A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}
C.{1，2，4，6，8} D.U
3.集合A＝{x｜2≤x＜4}，B＝{x｜3x－7≥8－2x}，则A∩B＝ .
4.已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，则实数a的取值范围是 .
1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（ ）
A.4 B.6
C.8 D.9
2.已知集合A＝{x｜3x2－2x－5＜0}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C.（－∞，－1] D.（－∞，－1）
集合的基本概念
1.集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
2.已知集合S＝{y｜y＝x2－1}，T＝{（x，y）｜x＋y＝0}，下列关系正确的是（ ）
A.－2∈S B.（2，－2） T
C.－1 S D.（－1，1）∈T
3.设集合A＝{x｜（x－a）2＜1}，且2∈A，3 A，则实数a的取值范围为 .
4.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝ .
集合间的基本关系
【例1】 （1）已知集合A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}，以下可为A的子集的是（ ）
A.{x｜－2＜x＜3} B.{x｜0＜x＜3}
C.{0，1，2} D.{－1，1，2}
（2）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝（ ）
A.2 B.1
C. D.－1
1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（ ）
2.若集合A＝{1，2}，B＝{x｜x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，则实数m的取值范围为 .
集合的基本运算
考向1 集合的运算
【例2】 （1）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（ ）
A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}
C.{－2} D.{2}
（2）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（ ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.
（3）设I是全集，非空集合P，Q满足P Q I，若含有P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是 .
考向2 利用集合的运算求参数
【例3】 （1）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（ ）
A.－4 B.－2
C.2 D.4
（2）已知集合A＝{x∈Z｜x2－4x－5＜0}，B＝{x｜4x＞2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是（ ）
A.[3，6） B.[1，2）
C.[2，4） D.（2，4]
考向3 集合的新定义问题
【例4】 （1）给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（ ）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合
B.正整数集是闭集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合
D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
（2）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝ .
1.设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，则A∩B＝（ ）
A.{0，1，2} B.{－2，－1，0}
C.{0，1} D.{1，2}
2.已知集合A＝{x｜x2－x－6≤0}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－4≤x≤3}，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－4，－2] B.（－3，－2]
C.[－3，3] D.[－2，3]
3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝ .
1.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{－1，1}，C＝{x｜x＝ab，a∈A且b∈B}，则集合C的真子集个数是（ ）
A.3 B.4
C.7 D.8
2.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ ）
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
3.设集合A＝{y｜y＝2x}，B＝{y｜y＝}，则（ ）
A.A＝B B.A B
C.A B D.A∩B＝
4.设集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜x2－2x≤0}，则A∪B＝（ ）
A.（－1，2] B.（－1，2）
C.[0，1） D.（0，1]
5.若集合M＝{x｜＜4}，N＝{x｜3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A.{x｜0≤x＜2} B.
C.{x｜3≤x＜16} D.
6.（多选）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，则集合{x｜x≤－3或x≥1}＝（ ）
A.M∩N B. RM
C. R（M∩N） D. R（M∪N）
7.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，集合B＝{x｜y＝}，若A C B，写出一个符合条件的集合C＝ .
8.设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S｜x2－5x＋m＝0}，若 SA＝{2，3}，则m＝ .
9.已知集合M＝{（x，y）｜y＝}，N＝{（x，y）｜y＝x＋b}，且M∩N＝ ，则b应满足的条件是（ ）
A.｜b｜≥3 B.0＜b＜
C.－3≤b≤3 D.b＞3或b＜－3
10.设全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.{x｜x≥1} B.{x｜x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1} D.{x｜－1≤x＜2}
11.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是（ ）
A.≤m＜ B.m≥0
C.m≥ D.＜m＜
12.（多选）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A.M＝{x｜x＜0}，N＝{x｜x＞0}是一个戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
13.已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为 .
14.调查班级40名学生对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有 人.
15.若集合Un＝{1，2，3，…，n}，n≥2，n∈N*，A，B Un，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对（A，B）为“兄弟集合对”.当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有 对.
2025高考数学一轮复习-1.1-集合-专项训练【解析版】
1.若集合P＝{x∈N｜x≤}，a＝2，则（ ）
A.a∈P B.{a}∈P
C.{a} P D.a P
解析：D 因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a P，只有D正确.
2.设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝（ ）
A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}
C.{1，2，4，6，8} D.U
解析：A 因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以 UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}.故选A.
3.集合A＝{x｜2≤x＜4}，B＝{x｜3x－7≥8－2x}，则A∩B＝ .
答案：{x｜3≤x＜4}
解析：易知B＝{x｜x≥3}，故A∩B＝{x｜3≤x＜4}.
4.已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B A，则实数a的取值范围是 .
答案：[2，＋∞）
解析：由图可知a≥2.
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为（ ）
A.4 B.6
C.8 D.9
解析：C 因为A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由结论1得A∩B的子集个数为23＝8，故选C.
2.已知集合A＝{x｜3x2－2x－5＜0}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C.（－∞，－1] D.（－∞，－1）
解析：C 依题意A＝{x｜3x2－2x－5＜0}＝，由结论2得A B，得a≤－1.
集合的基本概念
1.集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
解析：A 根据集合中元素的互异性得a≠b≠c，故三角形一定不是等腰三角形.故选A.
2.已知集合S＝{y｜y＝x2－1}，T＝{（x，y）｜x＋y＝0}，下列关系正确的是（ ）
A.－2∈S B.（2，－2） T
C.－1 S D.（－1，1）∈T
解析：D 因为S＝{y｜y＝x2－1}＝{y｜y≥－1}，所以A、C错误；因为2＋（－2）＝0，所以（2，－2）∈T，所以B错误；又－1＋1＝0，所以（－1，1）∈T，所以D正确，故选D.
3.设集合A＝{x｜（x－a）2＜1}，且2∈A，3 A，则实数a的取值范围为 .
答案：（1，2]
解析：由题意得解得所以1＜a≤2.
4.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝ .
答案：2
解析：由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，，b}.所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝1＋1＝2.
集合间的基本关系
【例1】 （1）已知集合A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}，以下可为A的子集的是（ ）
A.{x｜－2＜x＜3} B.{x｜0＜x＜3}
C.{0，1，2} D.{－1，1，2}
（2）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝（ ）
A.2 B.1
C. D.－1
答案：（1）C （2）B
解析：（1）A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}＝{x∈N｜－2＜x＜3}＝{0，1，2}，∵{0，1，2} {0，1，2}.故选C.
（2）由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A B.综上所述，a＝1.故选B.
1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（ ）
解析：A 因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A.
2.若集合A＝{1，2}，B＝{x｜x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，则实数m的取值范围为 .
答案：[－2，2）
解析：若B＝ ，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此时B＝{2，}，不符合题意.综上所述，实数m的取值范围为[－2，2）.
集合的基本运算
考向1 集合的运算
【例2】 （1）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（ ）
A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}
C.{－2} D.{2}
（2）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则 U（M∪N）＝（ ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.
（3）设I是全集，非空集合P，Q满足P Q I，若含有P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是 .
答案：（1）C （2）A （3）（3）P∩（ IQ）＝ （答案不唯一）
解析：（1）由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C.
（2）法一（列举法） M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以 U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二（描述法） 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
（3）由P Q I，可得Venn图如图所示，从而有P∩（ IQ）＝ .
考向2 利用集合的运算求参数
【例3】 （1）设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（ ）
A.－4 B.－2
C.2 D.4
（2）已知集合A＝{x∈Z｜x2－4x－5＜0}，B＝{x｜4x＞2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是（ ）
A.[3，6） B.[1，2）
C.[2，4） D.（2，4]
答案：（1）B （2）C
解析：（1）易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.
（2）由x2－4x－5＜0，解得－1＜x＜5，则集合A＝{x∈Z｜x2－4x－5＜0}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B＝.又因为A∩B中有三个元素，所以1≤＜2，解得2≤m＜4.故实数m的取值范围是[2，4）.简化.
考向3 集合的新定义问题
【例4】 （1）给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（ ）
A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合
B.正整数集是闭集合
C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合
D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
（2）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝{－，，1}，若M与N“相交”，则a＝ .
答案：（1）C （2）1
解析：（1）选项A：当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4＝6 M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a＜b时，a－b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当M＝{n｜n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3） （A1∪A2），故A1∪A2不为闭集合，D选项错误.
（2）M＝{－，}，若＝，则a＝4，若＝1，则a＝1.当a＝4时，M＝{－，}，此时M N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意.
1.设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，则A∩B＝（ ）
A.{0，1，2} B.{－2，－1，0}
C.{0，1} D.{1，2}
解析：A 因为集合B＝{x｜0≤x＜}，所以集合B中的整数有0，1，2，所以A∩B＝{0，1，2}.
2.已知集合A＝{x｜x2－x－6≤0}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－4≤x≤3}，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－4，－2] B.（－3，－2]
C.[－3，3] D.[－2，3]
解析：D 因为A＝{x｜x2－x－6≤0}＝{x｜－2≤x≤3}，B＝{x｜－4≤x≤a}，且A∪B＝{x｜－4≤x≤3}，所以－2≤a≤3.故选D.
3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝ .
答案：{x｜－3≤x＜0或x＞3}
解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.
1.已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{－1，1}，C＝{x｜x＝ab，a∈A且b∈B}，则集合C的真子集个数是（ ）
A.3 B.4
C.7 D.8
解析：C 由题意得C＝{－1，0，1}，所以集合C的真子集个数为23－1＝7，故选C.
2.设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ ）
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
解析：A 由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
3.设集合A＝{y｜y＝2x}，B＝{y｜y＝}，则（ ）
A.A＝B B.A B
C.A B D.A∩B＝
解析：C A＝{y｜y＝2x}＝（0，＋∞），B＝{y｜y＝}＝[0，＋∞），∴A B，故选C.
4.设集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜x2－2x≤0}，则A∪B＝（ ）
A.（－1，2] B.（－1，2）
C.[0，1） D.（0，1]
解析：A 由题，B＝{x｜0≤x≤2}，则A∪B＝{x｜－1＜x≤2}，故选A.
5.若集合M＝{x｜＜4}，N＝{x｜3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A.{x｜0≤x＜2} B.
C.{x｜3≤x＜16} D.
解析：D 法一（直接法） 因为M＝{x｜＜4}，所以M＝{x｜0≤x＜16}；因为N＝{x｜3x≥1}，所以N＝.所以M∩N＝，故选D.
法二（特取法） 观察选项进行特取，取x＝4，则4∈M，4∈N，所以4∈（M∩N），排除A、B；取x＝1，则1∈M，1∈N，所以1∈（M∩N），排除C.故选D.
6.（多选）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，则集合{x｜x≤－3或x≥1}＝（ ）
A.M∩N B. RM
C. R（M∩N） D. R（M∪N）
解析：BC 因为集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，所以M∩N＝{x｜－3＜x＜1}，M∪N＝{x｜x≤3}， RM＝{x｜x≤－3或x≥1}，所以 R（M∩N）＝{x｜x≤－3或x≥1}， R（M∪N）＝{x｜x＞3}.故选B、C.
7.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，集合B＝{x｜y＝}，若A C B，写出一个符合条件的集合C＝ .
答案：[1，4]（答案不唯一）
解析：A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜x≥1}，故若A C B，则可有C＝[1，4].
8.设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S｜x2－5x＋m＝0}，若 SA＝{2，3}，则m＝ .
答案：4
解析：因为S＝{1，2，3，4}， SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.
9.已知集合M＝{（x，y）｜y＝}，N＝{（x，y）｜y＝x＋b}，且M∩N＝ ，则b应满足的条件是（ ）
A.｜b｜≥3 B.0＜b＜
C.－3≤b≤3 D.b＞3或b＜－3
解析：D 由y＝，得x2＋y2＝9（y≥0），其图象是半圆（如图所示）.当直线y＝x＋b与半圆无公共点时，截距b＞3或b＜－3.
10.设全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.{x｜x≥1} B.{x｜x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1} D.{x｜－1≤x＜2}
解析：C ∵全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，∴ UB＝{x｜x≤1}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（ UB）＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜x≤1}＝{x｜－1＜x≤1}.故选C.
11.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是（ ）
A.≤m＜ B.m≥0
C.m≥ D.＜m＜
解析：B 由A∩B＝ ，得：①若2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；②若2m＜1－m，即m＜时，因为A∩B＝ ，则或解得0≤m＜， 综上所述，m≥0.故选B.
12.（多选）戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A.M＝{x｜x＜0}，N＝{x｜x＞0}是一个戴德金分割
B.M没有最大元素，N有一个最小元素
C.M有一个最大元素，N有一个最小元素
D.M没有最大元素，N也没有最小元素
解析：BD 对于A，因为M＝{x｜x＜0}，N＝{x｜x＞0}，M∪N＝{x｜x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x∈Q｜x＜0}，N＝{x∈Q｜x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝ ，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q｜x＜}，N＝{x∈Q｜x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.
13.已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为 .
答案：5
解析：B＝{x｜｜x－3｜≤m}＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，又A∩B＝A，则A B，所以所以m≥5，故m的最小值为5.
14.调查班级40名学生对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有 人.
答案：18
解析：赞成A的人数为40×＝24，赞成B的人数为
24＋3＝27，设对A，B都赞成的学生有x人（如图），则x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，解得x＝18.
15.若集合Un＝{1，2，3，…，n}，n≥2，n∈N*，A，B Un，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对（A，B）为“兄弟集合对”.当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有 对.
答案：14
解析：由题意可知，n＝3时，Un＝{1，2，3}.当集合A中最大数为1，即A＝{1}时，无满足题意的集合B；当集合A中最大数为2，即A＝{2}或A＝{1，2}时，只有一种满足题意的集合B＝{1}，此时“兄弟集合对”有2×1＝2对；当集合A中最大数为3，即A＝{3}，A＝{1，3}，A＝{2，3}或A＝{1，2，3}时，满足题意的集合B有{1}，{2}和{1，2}三种可能，此时“兄弟集合对”有4×3＝12对.故当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有2＋12＝14对.
