(共46张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第3节 不等关系与不等式性质
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识诊断 基础夯实
1
1.两个实数比较大小的方法
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)同向可加性：a＞b a＋c____b＋c；a＞b，c＞d a＋c____b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac____bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0 an____bn(n∈N，n≥1)；
2.不等式的性质
＞
＞
＞
＞
×
×
×
√
D
2.(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
解析 ∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，
又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.
3.(易错题)已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围是( )
A.(－3，2) B.(－6，5)
C.(－4，7) D.(－5，－1)
B
解析 由x>y，得－x<－y，所以2－x<2－y，故选B.
4.实数x，y满足x>y，则下列不等式成立的是( )
B
解析 对于A，c2－cd＝c(c－d)＜0，所以A正确；
对于B，a－c－(b－d)＝(a－b)－(c－d)，无法判断与0的大小关系，所以B错误；
对于C，不妨设a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，所以C错误；
5.(多选)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是( )
AD
＞
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点突破 题型剖析
2
B
A.a
即cB
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>e.
∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
当q>0且q≠1时，
即eπ·πe＜ee·ππ.
4.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为_______________.
eπ·πe＜ee·ππ
B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.
故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误；
AC
D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故D错误.由以上分析，知A，C正确.
解析 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.
对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；
对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；
对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；
对于D，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误.
(2)(多选)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是( )
A.xy＞yz B.xy＞xz C.xz＞yz D.x|y|＞|y|z
ACD
解析 ∵2m＞2n，
∴可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立.
训练1 (1)若2m＞2n，则下列结论一定成立的是( )
B
当c＝0时，ac2＝bc2，∴D不成立.故选ABC.
(2)(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
ABC
解析 因为－1所以－3<－y<－2，所以－4由－1所以1<3x＋2y<18.
例2 (1)已知－1(－4，2)
(1，18)
解析 设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，
即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，
(2)已知－1∵－1解析 因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，
所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.
因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，
将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，
(－3，－1)
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
分层训练 巩固提升
3
解析 由a＞|b|可知，当b≥0时，a＞b；
当b＜0时，a＞－b，则a＞0＞b，
综上可知，当a＞|b|时，a＞b恒成立，故选B.
1.若a，b∈R，且a＞|b|，则( )
B
解析 法一 令a＝1，b＝－2，
则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，
从而a2＜－ab＜b2，选A.
法二 由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，
且a＜－b.
因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，
所以0＜a2＜－ab.
又因为0＜a＜－b，
所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，选A.
2.已知a＋b＜0，且a＞0，则( )
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
A
综上，a＞c＞b.
B
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.b＞c＞a
解析 当c＞0时，ac＞bc，A错误；
当a＝3，b＝－1时，|a|＞|b|，D错误；B，C正确.
4.(多选)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为( )
A.若a＞b，则ac＜bc
B.若ac2＞bc2，则a＞b
C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D.若a＞0＞b，则|a|＜|b|
BC
对于A，ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0，符合题意；
对于B，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0，符合题意；
对于C，ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不符合题意；
对于D，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0，符合题意.
ABD
A.b＞0＞a B.0＞a＞b C.a＞0＞b D.a＞b＞0
6.把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是( )
D
解析 对于A，如果a＜b，c＜d，那么a－c＜b－d不一定正确，如5＜6，4＜9，但5－4＞6－9；
对于B，如果a＜b，c＜d，那么ac＜bd不一定正确，如－2＜－1，1＜4，此时ac＞bd；
易知D正确.
由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；
当a＝1，b＝－1时，ln a4＝ln b4＝ln 1＝0，故④错误.
7.已知非零实数a，b满足a＞b，则下列结论正确的是________(填序号).
②③
解析 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
8.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是____________.
[5，10]
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
解析 由题意知d＞c①；
②＋③得2a＋b＋d＜2c＋b＋d，
化简得a＜c④；
由②式a＋b＝c＋d及a＜c可得到b＞d⑤，综合①④⑤式得到b＞d＞c＞a.
9.实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.
那么a，b，c，d的大小关系是________________.
b＞d＞c＞a
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，
(2)∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0.
解析 ∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，
又∵b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，
两式相减得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，
12.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b≤c B.b≤c＜a C.b＜c＜a D.b＜a＜c
A
∴b＞a，∴a＜b≤c.
解析 因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，
所以b＝－(a＋c).
又因为a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，
证明 因为|b|＞|c|，且b＞0，c＜0，
所以b＞－c，所以b＋c＞0.
14.若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.
(1)求证：b＋c＞0.
证明 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0，
因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0②.2025高考数学一轮复习-1.3-不等关系与不等式性质-专项训练
1.已知a,b,c∈R,那么下列说法正确的是( )
A.若>1,则a>b
B.若,则a>b
C.若a3>b3且ab<0,则
D.若a2>b2且ab>0,则
2.已知实数x,y,z满足x>y,z>0,则下列不等式恒成立的是( )
A.>0 B.<0
C.x2z-y2z>0 D.xz>yz
3.铁路乘车行李规定如下:乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过M cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为( )
A.a+b+c≤M B.a+b+c>M
C.a+b+c≥M D.a+b+c4.若实数x,y满足则2x+y的取值范围为( )
A.[1,+∞) B.[3,+∞)
C.[4,+∞) D.[9,+∞)
5.若x,y满足-A. B.
C. D.
6.(多选题)已知实数a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有( )
A.ab>cd B.a-d>b-c
C.ad2>bc2 D.
7.(多选题)已知a>b>0>c,则下列不等式恒成立的有( )
A.ac2>bc2 B.a(a+c)>b(b+c)
C.a(b-c)>b(a-c) D.
8.(1)已知a>b>c>0,比较aabbcc与(abc的大小;
(2)设x,y∈R,比较(x2-y2)2与xy(x-y)2的大小.
9.已知m>0,则“a>b>0”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则8x·的取值范围是( )
A.[4,128] B.[8,256]
C.[4,256] D.[32,1 024]
11.(多选题)16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若aA.a3C.a|a|12.(多选题)若a>0>b>c,则下列结论正确的有 ( )
A.
B.b2a>c2a
C.
D.a-c≥2
13.已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,则9a-c的取值范围是 .
14.如果a>b,给出下列不等式:①;②a3>b3;③;④2ac2>2bc2;⑤>1;⑥a2+b2+1>ab+a+b.那么其中一定成立的不等式的序号是 .
15.已知x=log32,y=log43,z=,则x,y,z的大小关系为( )
A.x>y>z B.y>x>z
C.z>y>x D.y>z>x
16.已知三个实数a,b,c,当c>0时,b≤2a+3c且bc=a2,则的取值范围是 .
参考答案与解析
1.C 2.D 3.A 4.A 5.A 6.BC
7.AC
8.解 (1),>1,>0,>1,同理>1,>1,从而>1,即aabbcc>(abc
(2)∵(x2-y2)2-xy(x-y)2=x4+y4-x3y-xy3=x3(x-y)+y3(y-x)=(x-y)(x3-y3)=(x-y)2·(x2+xy+y2)=(x-y)20,当且仅当x=y时,等号成立,∴当x=y时,(x2-y2)2=xy(x-y)2;当x≠y时,(x2-y2)2>xy(x-y)2.
9.A 10.C 11.AC 12.ACD
13.[-1,20] 14.②⑥ 15.C
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