第52讲-随机变量及其概率分布、期望与方差-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 已知离散型随机变量 服从两点分布，且 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. [2023·黑龙江哈尔滨模拟]（多选）袋中有6个大小相同的黑球，编号为1， ， ， ， ， ，还有4个同样大小的白球，编号为7， ， ， ，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( )
A. 取出的最大号码 服从超几何分布
B. 取出的黑球个数 服从超几何分布
C. 取出2个白球的概率为
D. 若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
3. [2023·黑龙江齐齐哈尔模拟]在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了4个小球，其中3个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20个箱子中各任意摸出一个小球；方法二：在10个箱子中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为 和 ，则( )
A. B.
C. D. 以上三种情况都有可能
4. （多选）设随机变量 的分布列为 ，则( )
A. B.
C. D.
5. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为 ,已知 ，且该产品的次品率不超过 ，则这10件产品的次品率为( )
A. B. C. D.
6. 某射击选手射击环数的分布列为：
7 8 9 10
0.3 0.3
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为 .
7. [2023·福建龙岩模拟]袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个， ，标号为 号的球 个.现从袋中任取一球，所得号数为随机变量 ，若 ，则 .
8. [2023·天津耀华中学模拟]袋中装有4只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到 只黑球得1分，设得分为随机变量 ，则 的概率为 .
9. [2023·山东滨州模拟]某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1， ， 的人数分别为3， ， .现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1） 设事件 为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件 发生的概率；
（2） 设 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列.
[B级 综合运用]
10. [2023·江苏无锡模拟]（多选）口袋中有大小、形状都相同的4个红球， 个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次.设所得分数为随机变量 ，若 ，则随机变量 的取值可能为( )
A. B. C. D.
11. （多选）设随机变量 表示从1到 这 个整数中随机抽取的一个整数， 表示从1到 这 个整数中随机抽取的一个整数，记 表示 , 同时发生的概率，则( )
A. 当 时，
B. 当 时，
C. 当 （ 且 ）时，
D. 当 时，
12. [2023·河南三门峡模拟]已知集合 ， ，从集合 中任取3个不同的元素，其中最小的元素用 表示，从集合 中任取3个不同的元素，其中最大的元素用 表示，记 ，则 .
13. 袋中有4个红球， 个黄球， 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 1.
14. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 , , .
（1） 记 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列；
（2） 若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
[C级 素养提升]
15. [2023·湖北武汉模拟]某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次为止.设学生一次发球成功的概率为 ，且 ，发球次数为 ，则 的最大值为 .
16. 一颗拥有完美正八面体晶形的钻石的示意图如图.设 为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取2条，当2条棱相交时， ；当2条棱平行时， 的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时， .
（1） 求 ；
（2） 求 的分布列.
第52讲-随机变量及其概率分布、期望与方差-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知离散型随机变量 服从两点分布，且 ,则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为 服从两点分布，所以 ，则 ,解得 ，所以 .故选C.
2. [2023·黑龙江哈尔滨模拟]（多选）袋中有6个大小相同的黑球，编号为1， ， ， ， ， ，还有4个同样大小的白球，编号为7， ， ， ，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( BD )
A. 取出的最大号码 服从超几何分布
B. 取出的黑球个数 服从超几何分布
C. 取出2个白球的概率为
D. 若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
[解析]选BD.对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误；
对于B，取出的黑球个数 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；
对于C，取出2个白球的概率为 ，故C错误；
对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为 ，故D正确.故选BD.
3. [2023·黑龙江齐齐哈尔模拟]在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了4个小球，其中3个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20个箱子中各任意摸出一个小球；方法二：在10个箱子中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为 和 ，则( C )
A. B.
C. D. 以上三种情况都有可能
[解析]选C.对于方法一：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率 .
对于方法二：每箱中的黑球被选中的概率为 ，所以至少摸出一个黑球的概率 . ，则 .故选C.
4. （多选）设随机变量 的分布列为 ，则( ABC )
A. B.
C. D.
[解析]选ABC.由已知可得， ，即 ，故A选项正确； ，故B选项正确； ，故C选项正确； ，故D选项错误.故选ABC.
5. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为 ,已知 ，且该产品的次品率不超过 ，则这10件产品的次品率为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.设10件产品中有 件次品，则 ,解得 或 .因为次品率不超过 ，所以 ，所以次品率为 .
6. 某射击选手射击环数的分布列为：
7 8 9 10
0.3 0.3
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为 .
[解析]由分布列的性质得 ，故射击一次的优秀率为 .
7. [2023·福建龙岩模拟]袋中装有一些大小相同的球，其中标号为1号的球1个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个， ，标号为 号的球 个.现从袋中任取一球，所得号数为随机变量 ，若 ，则 9.
[解析]由题意可知，所有球的个数为 ，
由古典概型的概率公式可得 ，解得 .
8. [2023·天津耀华中学模拟]袋中装有4只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到 只黑球得1分，设得分为随机变量 ，则 的概率为 .
[解析]依题意， 的事件是 ， ， 的三个互斥事件的和，
的事件是取出2只红球、2只黑球， ，
的事件是取出3只红球、1只黑球， ，
的事件是取出4只红球， ，
因此 ，所以 的概率为 .
9. [2023·山东滨州模拟]某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1， ， 的人数分别为3， ， .现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1） 设事件 为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件 发生的概率；
[答案]解： ，所以 .
（2） 设 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列.
[答案] 的可能取值为0， ， ，
， ， .
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2
[B级 综合运用]
10. [2023·江苏无锡模拟]（多选）口袋中有大小、形状都相同的4个红球， 个白球，每次从中摸一个球，摸后再放回口袋中，摸到红球记2分，摸到白球记1分，共摸球3次.设所得分数为随机变量 ，若 ，则随机变量 的取值可能为( BCD )
A. B. C. D.
[解析]选BCD.由题意得摸到红球的概率是 ，白球的概率是 ，而 即得3分，表示这3次摸的都是白球且 ，所以 ，解得 ，所以 的可能取值为3， ， ， .故选BCD.
11. （多选）设随机变量 表示从1到 这 个整数中随机抽取的一个整数， 表示从1到 这 个整数中随机抽取的一个整数，记 表示 , 同时发生的概率，则( BCD )
A. 当 时，
B. 当 时，
C. 当 （ 且 ）时，
D. 当 时，
[解析]选BCD.对于A，当 时， , ，则 ,选项A错误；对于B，当 时，由 ， ，可得 , 或 ， ，所以 （ , ） ,选项B正确；对于C，当 （ 且 ）时， , ,则 ，选项C正确；对于D，当 时， 的可能取值为1, ,则 , ,则 ，选项D正确.故选BCD.
12. [2023·河南三门峡模拟]已知集合 ， ，从集合 中任取3个不同的元素，其中最小的元素用 表示，从集合 中任取3个不同的元素，其中最大的元素用 表示，记 ，则 .
[解析]根据题意，从集合 中任取3个不同的元素有4种结果： ， ， ， ，其中最小的元素 的取值分别为1, .
从集合 中任取3个不同的元素有10种结果：
， ， ， ， ， ， , , , ,其中最大的元素 的取值分别为3, , .
由 ，得随机变量 的可能取值为1, , , ，故 对应 ，
所以 .
13. 袋中有4个红球， 个黄球， 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 1.
[解析]由题意可得， ，化简得 ，得 ，取出的两个球一红一黄的概率为 ，解得 ,故 .所以 .
14. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 , , .
（1） 记 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列；
[答案]解：随机变量 的可能取值为0， ， ， ，则
,
,
,
.
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
（2） 若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
[答案]设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 .
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为 .
[C级 素养提升]
15. [2023·湖北武汉模拟]某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直到发完4次为止.设学生一次发球成功的概率为 ，且 ，发球次数为 ，则 的最大值为 .
[解析]由题意， ，
令 ， ，
则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
即 .
16. 一颗拥有完美正八面体晶形的钻石的示意图如图.设 为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取2条，当2条棱相交时， ；当2条棱平行时， 的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时， .
（1） 求 ；
[答案]解：若2条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个,
又过任意顶点有4条棱，所以共有 对相交的棱，
所以 .
（2） 求 的分布列.
[答案]若2条棱平行，则它们之间的距离为1，则由题意知， 的所有可能取值为0， ， .
因为正八面体中，相互平行的棱一共有6对，
所以 ,所以 ,
所以 的分布列为
0 1 2(共52张PPT)
第52讲 随机变量及其概率分布、期望与方差
第十章
计数原理、概率及其分布
1．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)＝_____．
激 活 思 维
【解析】
0
因为随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.
2．已知随机变量X的分布列为
【解析】
E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4.
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
则E(X)＝_______；E(3X＋2)＝________．
2.8
10.4
3．已知随机变量X的分布列为
【解析】
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
则D(X)＝________ ；σ(2X＋7)＝________．
0.84
4．随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，则a＝_______；b＝_______．
0.6
【解析】
0.2
5．现要发行10 000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张.1张彩票可能中奖金额的均值是_______．
【解析】
所以X的分布列为
【答案】2元
X 0 2 10 50 100 1 000
P 0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 5
所以E(X)＝2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2，即1张彩票可能中奖金额的均值是2元．
1．离散型随机变量的分布列的性质
(1) pi______0(i＝1，2，…，n)；
(2) p1＋p2＋…＋pn＝_____．
2．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
≥
聚 焦 知 识
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
1
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
平均水平
标准差
偏离程度
3．均值与方差的性质
(1) E(aX＋b)＝____________；
(2) D(aX＋b)＝__________(a，b为常数)；
(3) D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
aE(X)＋b
a2D(X)
(1) 设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为 ( )
离散型随机变量的分布列的性质
举 题 说 法
1
A
【解析】
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
(2) 设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
则下列各式正确的是 ( )
1
【解析】
C
【解析】
变式 (2) 设随机变量X的分布列为
【解析】
则P(|X－3|＝1)＝______．
离散型随机变量的分布列、期望与方差
2
【解答】
2
【解答】
故随机变量X的分布列为
变式 医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为X ℃.医学统计发现，X的分布列如下．
【解答】
由题可得E(X)＝37×0.1＋38×0.5＋39×0.3＋40×0.1＝38.4，D(X)＝(37－38.4)2×0.1＋(38－38.4)2×0.5＋(39－38.4)2×0.3＋(40－38.4)2×0.1＝0.64.
(1) 求出E(X)，D(X)；
X 37 38 39 40
P 0.1 0.5 0.3 0.1
(2) 已知人体体温为X ℃时，相当于Y＝1.8X＋32 (℃)，求E(Y)，D(Y).
【解答】
由Y＝1.8X＋32可知，E(Y)＝1.8E(X)＋32＝1.8×38.4＋32＝101.12，D(Y)＝1.82×D(X)＝1.82×0.64＝2.073 6.
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1) 若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列、均值和方差．
期望与方差的决策应用
3
【解答】
由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，D(X)＝02×0.2＋202×0.32＋1002×0.48－54.42＝1 968.64.
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
3
【解答】
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100.P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为54.4＜57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
变式 某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．
(1) 若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求：
①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率；
②员工所获得的奖励金额的分布列及数学期望．
【解答】
设员工所获得的奖励金额为X.
变式 某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．
(2) 公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
【解答】
根据公司预算，每个员工的平均奖励额为1 000元，所以先寻找期望为1 000元的可能方案．
对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200，200，200，800)的方案，因为1 000元是面值之和的最大值，所以期望不可能为1 000元；如果选择(800，800，800，200)的方案，因为1 000元是面值之和的最小值，所以期望不可能为1 000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1.
对于面值由600元和400元组成的情况，同理排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，所以可能的方案是(400，400，600，600)，记为方案2.
由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，所以应选择方案2.
随 堂 练习
1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，且m＋2n＝1.2，则n＝ ( )
B
【解析】
依题意得m＋n＋0.1＋0.1＝1，又m＋2n＝1.2，解得n＝0.4，m＝0.4.
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A．－0.2 B．0.4
C．0.2 D．0
2．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
【解析】
因为0.2＋0.3＋0.4＋a＝1，所以a＝0.1，故A错误；
由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.1＝0.5，故B错误；
E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.1＝1.4，故C正确；
D(X)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.3＋(2－1.4)2×0.4＋(3－1.4)2×0.1＝0.84，故D错误．
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.4 a
则下列计算结果正确的是 ( )
A．a＝0.2 B．P(X≥2)＝0.7
C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝6.3
C
3．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋1，且随机变量X的分布列为
则随机变量Y的方差D(Y)＝ ( )
B
【解析】
4．设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10.若随机变量η＝2ξ－1，则P(η＜6)＝_______．
0.3
【解析】
5．已知随机变量X的分布列为
【解析】
若Y＝2X＋3，则E(Y)＝______，D(Y)＝______．
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1．若随机变量X的分布列如下表，则P(|X－2|＝1)的值为 ( )
A
【解析】
【解析】
B
X 1 2
P m n
3．口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝ ( )
A
【解析】
【解析】
B
【解析】
AC
6．已知离散型随机变量X的分布列如下，则 ( )
X 1 2 3 4
P p2 3p2 1－2p＋p2 1－3p＋p2
【解析】
【答案】BCD
三、 填空题
7．若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝_____．
4
【解析】
8．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则
P(ξ＝2)＝______．
【解析】
9．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等．从这批产品中随机抽取一个检验质量，设其级别为随机变量ξ，ξ＝1，2，3，4分别对应一级产品、二级产品、三级产品、四级产品，则P(ξ＞1)＝______．
【解析】
四、 解答题
10．某公司专门生产体育赛事纪念品，为回馈体育迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次. 已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖. 假设每人每次抽奖是否中奖互不影响．
(1) 任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率；
【解答】
任选一名成功下单金额达500元的顾客，记事件A＝“该顾客抽到一等奖”，事件B＝“该顾客抽到二等奖”，事件C＝“该顾客不中奖”，
则P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.1－0.3＝0.6.任选2名成功下单金额达500元的顾客，这两名顾客都不中奖的概率为0.6×0.6＝0.36，所以这两名顾客至少一人中奖的概率为1－0.36＝0.64.
10．某公司专门生产体育赛事纪念品，为回馈体育迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次. 已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖. 假设每人每次抽奖是否中奖互不影响．
(2) 任选2名成功下单金额达500元的顾客，记ξ为他们获得的奖金总数，求ξ的分布列和数学期望．
【解答】
ξ 0 50 100 150 200
P 0.36 0.36 0.21 0.06 0.01
E(ξ)＝0×0.36＋50×0.36＋100×0.21＋150×0.06＋200×0.01＝50.
11．某公司开发了一款可以供n(n＝3或n＝4)个人同时玩的跳棋游戏．每局游戏开始，掷两枚质地均匀的骰子(骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6)，两个骰子的点数之和除以n所得的余数对应的人先走第一步. 两个骰子的点数之和除以n的余数0，1，2，…，n－1分别对应游戏者A1，A2，A3，…，An.
(1) 当n＝3时，在已知两枚骰子的点数之和为偶数的条件下，求A3先走第一步概率.
【解答】
掷两枚质地均匀的骰子所得点数之和有如右表所示的36个样本点．
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
在已知两个骰子点数之和为偶数的条件下，共有基本事件18个，设事件“A3先走第一步”为D，表示点数之和被n＝3除后的余数为2的基本事件，包含点数之和为2，8对应的情形，共有6个．
11．某公司开发了一款可以供n(n＝3或n＝4)个人同时玩的跳棋游戏．每局游戏开始，掷两枚质地均匀的骰子(骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6)，两个骰子的点数之和除以n所得的余数对应的人先走第一步. 两个骰子的点数之和除以n的余数0，1，2，…，n－1分别对应游戏者A1，A2，A3，…，An.
(2) 当n＝4时，求两枚骰子点数之和除以n的余数X的概率分布和数学期望，并说明该方法对每个游戏者是否公平．
【解答】
【解析】
A
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