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第54讲 正态分布
第十章
计数原理、概率及其分布
1．设随机变量X～N(0，1)，则X的密度函数为______________，P(X≤0)＝_______，P(|X|≤1)≈___________，P(X＞1)≈___________.(精确到0.000 1)
激 活 思 维
【解析】
0.5
0.682 7
0.158 7
2．设随机变量X～N(0，22)，随机变量Y～N(0，32)，则P(|X|≤ 1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是______________________．
P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)
【解析】
如图，X～N(0，22)，Y～N(0，32)的正态密度曲线都关于y轴对称，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1).因为σ越大，曲线越扁平，所以P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1).
3．某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，现随机选择一名本市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝_________.
0.682 7
【解析】
由题可得，身高X作为变量符合均值为μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤ X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
4．若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是____________．
0.341 35
【解析】
5．袋装食盐标准质量为400 g，规定误差的绝对值不超过4 g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为___________．
95.45%
【解析】
设误差为X，则X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤ μ＋2σ)≈0.954 5，故合格率约为95.45%.
聚 焦 知 识
X～N(μ，σ2)
x＝μ
x＝μ
3．3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则
(1) P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2) P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3) P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝_____，D(X)＝______．
μ
σ2
(多选)若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的是 ( )
A．P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)
B．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)
C．P(X＜μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化
D．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)随μ，σ的变化而变化
正态分布的性质
举 题 说 法
1
AC
【解析】
由题意知P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)，故A正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)，故B错误；P(X＜μ＋σ)为定值，不随μ，σ的变化而变化，故C正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)为定值，也不随μ，σ的变化而变化，故D错误．
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递增
D．P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)
【解析】
【答案】D
由正态密度曲线的性质得X，Y的正态密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称．
对于A，由图象得μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A不正确；
对于B，由图象得X的正态密度曲线较Y的正态密度曲线“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B不正确；
对于C，由正态密度曲线的性质知，函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递减，故C不正确；
对于D，根据3σ原则，无论σ 取何值时，都有P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)≈0.954 5，故D正确．
某种食盐的袋装质量X服从正态分布N(400，16)，随机抽取 10 000 袋，则袋装质量在区间(396，408)的约有_________袋(质量单位：g)．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 3.
正态分布下的概率计算
2
8 186
【解析】
1．某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布N(4，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.4，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为_______．
0.1
【解析】
由题知μ＝4，故P(X≤4)＝0.5，所以P(X＜2)＝P(X≤4)－P(2≤X≤4)＝0.1.
2．某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72，82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为( )
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
A．455 B．2 718 C．6 346 D．9 545
B
【解析】
3．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位： kW·h/100 km)情况，随机调查得到了1 200个样本，根据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，若P(12＜ξ＜14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有( )
A．180辆 B．360辆 C．600辆 D．840辆
A
【解析】
3D打印技术在精密仪器制作中应用越来越多，某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这台3D打印设备打印出的零件内径X(单位：μm)服从正态分布N(105，36).
(1) 若该台3D打印设备打印了100件这种零件，记X表示这100件零件中内径指标值位于区间(111，117)的产品件数，求E(X).
正态分布的应用
3
【解答】
由题意知，μ＝105，σ＝6，则111＝μ＋σ，117＝μ＋2σ.一件产品的质量指标值位于区间(111，117)的概率即为P(μ＋σ＜X＜μ＋2σ).
(2) 该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4.
3
【解答】
随 堂 练习
1．(多选)若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2) 的正态密度曲线如图所示，则下列选项可以表示图中阴影部分面积的是 ( )
【解析】
【答案】ABC
根据对称性，P(X≤0)＝P(X≥2)，故B正确；
【解析】
【答案】 ACD
X的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B错误；
P(|X－μ|＞3σ)＝P(X＜μ－3σ)＋P(X＞μ＋3σ)＝2P(X＞μ＋3σ)，故C正确；
3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________．
0.14
【解析】
因为X～N(2，σ2)，所以P(X＞2)＝0.5，所以P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.
4．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(0≤X≤1)＝P(5≤X≤6)，则μ＝_____．
3
【解析】
由于P(0≤X≤1)＝P(5≤X≤6)，可知正态分布曲线关于直线x＝3对称，故μ＝3.
5．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：cm)服从正态分布N(100，102)，若测量10 000株水稻，株高在(80，90)的约有_________株.(若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ 0.954 5)
1 359
【解析】
配套精练
【解析】
D
2．设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P(ξ＜0)＝p，则P(0＜ξ＜1)与D(ξ)分别为 ( )
C
【解析】
3．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有下列四个命题：
甲：P(X＞m＋1)＞P(X＜m－2)；乙：P(X＞m)＝0.5；
丙：P(X≤m)＝0.5；丁：P(m－1＜X＜m)＜P(m＋1＜X＜m＋2).
如果只有一个假命题，则该命题为 ( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
D
【解析】
因为只有一个假命题，且乙、丙只要有一个假，另一个一定假，不合题意，所以乙、丙一定都正确，则μ＝m.P(X＞m＋1)＝P(X＜m－1)＞P(X＜m－2)，故甲为真．根据正态分布密度曲线的对称性可得P(m－1＜X＜m)＝P(m＜X＜m＋1)＞P(m＋1＜X＜m＋2)，故丁为假．
4．据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布N(90，202)，考生共50 000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A．1 070 B．2 140 C．4 280 D．6 795
A
【解析】
【解析】
根据正态分布的曲线可知x轴是渐近线，且曲线y＝f(x)与x轴之间的面积等于1，故C正确，D错误．
ABC
6．已知随机变量X服从正态分布N(1，4)，则下列说法正确的有( )
【解析】
【答案】AB
三、 填空题
7．已知某班高三模拟测试数学成绩X～N(109.5，14.52)，若P(X≥ 124)＝0.16，则P(95≤X≤109.5)＝________．
0.34
【解析】
因为P(X≥124)＝0.16，所以P(95≤X≤109.5)＝P(109.5≤X≤124)＝0.5－P(X≥124)＝0.34.
【解析】
【解析】
5
1
四、 解答题
10．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.
【解答】
种子密度的平均值为(0.7×0.5＋0.9×0.6＋1.1×0.9＋1.3×1.4＋1.5×1.1＋1.7×0.5)×0.2＝1.24(g/cm3).
(1) 若将这批种子的密度测定结果整理成频率分布直方图，如图所示，据图估计这批种子密度的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
10．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.
(2) 在(1)的条件下，用频率估计概率，从这批种子(总数远大于2)中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望(各种子的萌发互相独立)；
【解答】
由频率分布直方图知优种占比为(1.4＋1.1＋0.5)×0.2＝0.6.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.078 4 0.403 2 0.518 4
故E(X)＝2×0.72＝1.44.
10．盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度(单位：g/cm3)进行测定，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.6.
(3) 若该品种种子的密度ρ～N(1.3，0.01)，任取该品种种子20 000粒，估计其中优种的数目．
附：假设随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
【解答】
11．世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动．已知A社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为5∶6∶9.
(1) 从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率．
【解答】
因为A，B，C三个社区的居民人数之比为5∶6∶9，设A，B，C三个社区的居民人数为5a，6a，9a，所以A社区每周运动总时间超过5小时的人数为5a·56%＝2.8a，B社区每周运动总时间超过5小时的人数为6a·65%＝3.9a，C社区每周运动总时间超过5小时的人数为9a·70%＝6.3a.
11．世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动．已知A社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为5∶6∶9.
(2) 假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X～N(5.5，σ2). 现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率．
【解答】
因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X～N(5.5，σ2)，所以P(X＞5.5)＝0.5.
B组 滚动小练
12．设O为坐标原点，A为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0上一个动点，则∠AOC的最大值为 ( )
C
【解析】
13．某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．
(1) 求圆柱的侧面积的最大值；
【解答】
13．某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．
(2) 求圆柱的体积的最大值．
【解答】
谢谢观赏2025高考数学一轮复习-第54讲-正态分布-专项训练
基 础 巩固练
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),且P(ξ<1)=0.6,则P(ξ>-1)=( )
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
2.(2023盐城调研)已知三个正态分布密度函数φi(x)=(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则( )
A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3
B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3
D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
3.若随机变量X满足正态分布N(μ,σ2),则有P(μ-σ
A.1 587 B.228
C.455 D.3 174
4.在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(110,σ2)(σ>0),若ξ在(90,130)内的概率为0.6,任意选取五名学生的成绩,用X表示其中成绩低于90的人数,则( )
A.E(X)=1.5 B.E(X)=1.2
C.D(X)=0.04 D.D(X)=0.8
5.(多选题)若随机变量X~N(1,σ2),且正态分布N(1,σ2)的正态曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的有( )
A.-P(X≤0)
B.-P(X≥2)
C.P(X≤2)-P(X≤0)
D.-P(1≤X≤2)
6.(多选题)某妇产科医院对该院历年来的新生儿体重情况进行统计,发现新生儿体重X~N(3.4,σ2),且P(X<2)=0.031,则( )
A.P(2B.P(2C.P(X<4.8)=0.969
D.P(X>5)<0.031
7.(2023常州质检)已知随机变量X~N(80,σ2),若P(X>100)=a,P(608.(2023宿迁调研)若某种水果的果实横径X(单位:mm)服从正态分布N(70,52),则果实横径在(65,80)内的概率为 .(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ9.(2023盐城月考)某市教育主管部门为了解近期举行的一场数学竞赛的情况,随机抽取500名考生的数学竞赛成绩进行分析,并制成如下的频率分布直方图:
(1)求这500名考生在本次数学竞赛中的平均成绩(精确到整数).
(2)由频率分布直方图可认为这次竞赛成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似等于样本的平均数,σ近似等于样本的标准差s,并已求得s≈18.用该样本的频率估计总体的概率,现从该市所有考生中随机抽取10名学生,记这次数学竞赛成绩在(86,140]之外的人数为Y,求P(Y=2)的值(精确到0.001).
附:(1)当X~N(μ,σ2)时,P(μ-σ(2)0.818 68×0.181 42≈0.006 6.
综 合 提升练
10.山东烟台苹果因果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁而享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:mm)服从正态分布N(80,52),则直径在(75,90]内的概率为[附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.0.682 6 B.0.841 3
C.0.818 6 D.0.954 4
11.某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测,其某项质量测试指标值X服从正态分布N(18,4),且X落在区间[20,22]内的无人机配件个数为2 718,则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值X低于14的个数为[附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3]( )
A.228 B.455 C.27 D.40
12.(多选题)记考试成绩Z的均值为μ,方差为σ2,若Z满足0.66A.本次考试成绩不低于80分的考生约为4 000人
B.本次考试成绩的第25百分位数约为47.5
C.a=0.030
D.本次考试试卷设置合理
13.某照明单元按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则照明单元正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(2 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该照明单元的使用寿命超过2 000小时的概率为 .
14.正态分布是最重要的一种概率分布,它由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出,但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究,故正态分布又称为高斯分布,记作Y~N(μ,σ2),当μ=0,σ=1时,该正态分布称为标准正态分布.如果令X=,那么可以证明X~N(0,1),即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布.如果X~N(0,1),那么对任意的a,通常记Φ(a)=P(X15.我国是全球制造业大国,制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一,主要产品产量稳居世界前列,为深入推进传统制造业改造提升,全面提高传统制造业核心竞争力,某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为X(单位:nm).
(1)现有旧设备生产的零件共7个,其中直径大于10 nm的有4个,现从这7个零件中随机抽取3个.记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为,每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测,若合格的零件数η超过半数,则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及η的方差.
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N(9,0.04),从生产的零件中随机取出10个,求至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5,P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 3,0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.
创 新 应用练
16.(多选题)老张每天17:00下班回家,通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家,公交车有A,B两条线路可以选择.乘坐线路A所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(44,4),下车后步行到家要5分钟;乘坐线路B所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(33,16),下车后步行到家要12分钟.下列说法从统计角度认为合理的有(参考数据:Z~N(μ,σ2),则P(μ-σA.若乘坐线路B,则18:00前一定能到家
B.乘坐线路A和乘坐线路B在17:58前到家的可能性一样
C.乘坐线路B比乘坐线路A在17:54前到家的可能性更大
D.若乘坐线路A,则在17:48前到家的可能性不超过1%
参考答案
1.A 2.D 3.C 4.D 5.ABC 6.BCD
7.9 8.0.819
9.解 (1)=10×(65×0.002 8+75×0.01+85×0.01+95×0.018+105×0.02+115×0.018+125×0.012+135×0.008+145×0.001 2)=10×10.416=104.16≈104.
(2)由题意知X~N(μ,σ2),且μ=104,σ=18,
∴86=104-18=μ-σ,140=104+18×2=μ+2σ,
∴P(86则P(X≤μ-σ或X>μ+2σ)≈1-0.818 6=0.181 4,
可得Y~B(10,0.181 4),
∴P(Y=2)=0.181 42×0.818 68≈45×0.006 6≈0.297.
10.C 11.B 12.AC 13 14.764
15.解 (1)由题意,可知ξ的可能取值为0,1,2,3,则
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以ξ的数学期望E(ξ)=0+1+2+3
(2)由题意知,η可取的值为0,1,2,3,4,5,6,则
P(η=4)=;P(η=5)=;P(η=6)=,
所以技术攻坚成功的概率P(η≥4)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=
因为η~B,所以η的方差D(η)=6
(3)由X~N(9,0.04),可知σ=0.2.
因为P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5,
所以P(8.6≤X≤9.4)≈0.954 5,
所以P(9≤X≤9.4)=P(8.6≤X≤9.4)≈0.477 25,
所以P(X>9.4)=-P(9≤X≤9.4)≈0.022 75,
则P(X≤9.4)=1-P(X>9.4)≈0.977 25.
记“从生产的零件中随机取出10个,至少有一个零件直径大于9.4 nm”为事件A,
则P(A)=1-P()≈1-0.977 2510≈1-0.794 4=0.205 6.
故至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率为0.205 6.
16.BCD