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9.3 随机事件与概率
课标要求 考情分析
1.结合具体实例，理解样本点和 有限样本空间的含义，理解随机 事件与样本点的关系. 2.了解随机事件的并、交与互斥 的含义，能结合实例进行随机事 件的并、交运算. 3.理解古典概型，能计算古典概 型中简单随机事件的概率. 4.理解概率的性质，掌握随机事 件概率的运算法则. 考点考法：从近几年高考来看，本讲
知识单独考查的概率较小，一般与其
他知识综合考查，其中互斥事件和对
立事件的概率及与古典概型结合考查
随机事件概率的计算是高考考查重点.
以选择题、填空题和解答题形式呈
现，试题难度不大，属中、低档题型.
核心素养：数据分析、数学建模、数
学运算
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.有限样本空间与随机事件
（1）样本点：随机试验的每个可能的基本结果.
（2）样本空间：全体样本点的集合，一般用 表示.
（3）有限样本空间：样本空间 .
（4）随机事件（事件）：样本空间 的子集.
（5）基本事件：只包含一个样本点的事件.
2.事件的关系和运算
事件的关系或运 算 含义 符号表示
包含关系 发生导致 发生
相等关系 且
并事件（和事 件） 与 至少一个发生 或
交事件（积事 件） 与 同时发生 或
事件的关系或运算 含义 符号表示
互斥（互不相容） 与 不能同时发生
互为对立事件 与 有且仅有一个发生 ，
[提醒] 互斥与对立都是两个事件的关系 ，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.
续表
3.概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：_____________.
（2） ___， ___.
（3）如果事件 与事件 互斥，那么 _____________.
（4）如果事件 与事件 互为对立事件，则 __________，
_________.
（5）如果 ，那么 ___ .
（6） .
≤
4.古典概型
（1）定义：具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称
为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性
样本空间的样本点只有________；
②等可能性
每个样本点发生的可能性______.
有限个
相等
（2）公式： ,其中,样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点， 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数.
[提醒] 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点，即有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）必然事件一定发生.( )
√
（2）若 是必然事件，则 与 是对立事件.( )
×
（3）两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( )
×
（4）抛掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个
结果是等可能的.( )
×
2.（多选）若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：选BCD.排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选BCD.
√
√
√
3.（人A必修第二册 例1变条件、变设问）先后三次抛掷同一枚硬币，
若正面向上记为1；若反面向上则记为0，则这个试验的样本空间中有___
个样本点.
8
解析：这个试验的样本空间为 ,共8个样本点.
4.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩 人数
90分及以上 42
80~89分 172
70~79分 240
60~69分 86
50~59分 52
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小明下学期将研修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：
（1）90分及以上的概率：______；
0.07
解析： ；
（2）不及格（60分及以上为及格）的概率：_____.
0.1
解析： .
5.从3名男生和2名女生中，任选3人参加社区志愿服务，其中男女生都入选
的概率为_ __.
解析：依题意，男女生都入选的概率为 .
核心考点 师生共研
02
考点一 随机事件与样本空间（自主练透）
1.同时投掷两枚完全相同的骰子，用 表示结果，记事件 为“所得点
数之和小于5”，则事件 包含的样本点的个数是( )
A. B. C. D.
解析：选D.事件 包含 , , , , , ,共6个样本点.
√
2.（多选）下列结论正确的有( )
A.若 ， 互为对立事件， ，则
B.若事件 ， ， 两两互斥，则事件 与 互斥
C.若事件 与 对立，则
D.若事件 与 互斥，则它们的对立事件也互斥
√
√
√
解析：选ABC.由题意得， ，故A正确；
若事件 ， ， 两两互斥，则事件 ， ， 不可能同时发生，则事件 与 也不可能同时发生，则事件 与 互斥，故B正确；
若事件 与B对立，则 ，故C正确；
若事件 ， 互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误.故选ABC.
3.(2023·河北衡水模拟)从 ， ， ， ， ， 这六个数中任取三个数，
下列两个事件为对立事件的是( )
A.“至多有一个是偶数”和“至多有两个是偶数”
B.“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”
D.“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数”
√
解析：选C.从 ， ， ， ， ， 这六个数中任取三个数，可能有0个奇数和3个偶数， 1个奇数和 2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有一个是偶数”包括2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“至多有两个是偶数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，即“至多有一个是偶数”包含于“至多有两个是偶数”，故A错误；
“恰有一个是奇数”即1个奇数和2个偶数，“恰有一个是偶数”即2个奇数和1个偶数，所以“恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是互斥但不对立事件，故B错误；
同理可得“恰有一个是奇数”和“至多有一个是偶数” 是互斥但不对立事件，故D错误；
“至少有一个是奇数”包括1个奇数和2个偶数，2个奇数和1个偶数，3个奇数和0个偶数，“全都是偶数”即0个奇数和3个偶数，所以“至少有一个是奇数”和“全都是偶数”为对立事件，故C正确.故选C.
（1）确定样本空间的方法
①必须明确事件发生的条件；
②根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
（2）判断互斥事件、对立事件的两种方法
①定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
②集合法： 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.
（ ）事件 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 所含的结果组成的集合的补集.
考点二 随机事件的频率与概率（师生共研）
例1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，
售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： ）有关.如果
最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 ，需
求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订
购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
【解】这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，
由表中数据可知，最高气温低于25的频率为 ,
所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元），当六月份这
种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出 的所有可能值，并估计 大于零
的概率.
【解】 当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则 ;
若最高气温位于区间 ，则
；
若最高气温不低于25，则 ，
所以利润 的所有可能值为 ， ， .
大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于2
0的频率为 .
因此 大于零的概率的估计值为0.8.
计算简单随机事件的频率或概率的步骤
【对点训练】
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直
线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的
种植经验，一株该种作物的年收获量 （单位： ）与它的“相近”作物株
数 之间的关系如表所示，
1 2 3 4
51 48 45 42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
51 48 45 42
频数 4
解：所种作物的总株数为 ，其中“相近”作物株数
为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株
数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下，
51 48 45 42
频数 2 4 6 3
所种作物的平均年收获量为 .
（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 的概率.
解： 由（1）知， ， .故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为 的概率为 .
考点三 互斥事件与对立事件的概率（师生共研）
例2 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03
（1）求表中字母 的值；
【解】由题意可得 ，解得
.
（2）求至少遇到4个红灯的概率；
【解】 设事件 为“遇到红灯的个数为4”，事件 为“遇到红灯的个数为5”，事件 为“遇到红灯的个数为6个及6个以上”，则事件“至少遇到4个红灯”为 ，因为事件 , , 互斥，所以 ，即至少遇到 个红灯的概率为0.33.
（3）求至多遇到5个红灯的概率.
【解】 设事件 为“遇到6个及6个以上红灯”，则“至多遇到5个红灯”为事件 .
则 ，所以至多遇到5个红灯的概率为0.97.
求复杂互斥事件的概率的两种方法
（1）直接法
（2）间接法：正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，一般用间接法求解更简单.
【对点训练】
(2023·陕西咸阳模拟)某社区居民中各种血型的人所占的比例如下表所示：
血型 A B
该血型的人所占的比例
若按如下原则输血，同种血型的人可以输血， 型血可以输给任何一种血
型的人，任何血型的血都可以输给 型血的人，其他不同血型的人不能
互相输血，问：
（1）从该社区任找一个人，其血可以输给B型血病人的概率是多少？
解：根据题意，从该社区任找一个人，其血可以输给B型血病人的是B型血
或 型血，概率为 .
（2）从该社区任找一个人，其血可以输给A型血病人或B型血病人的概率是多少？
解： 从该社区任找一个人，其血不可以输给A型血病人且不能输给B型
血病人的概率是 ，所以其血可以输给A型血病人或B型血病人的概率是
.
考点四 古典概型（多维探究）
[高考考情] 古典概型问题是高考命题的热点，常以新的命题情境为载体，考查简单的古典概型的概率求法.有时会与函数、平面向量等相关知识交汇，考查学生解决问题的综合能力.
角度1 简单的古典概型的概率
例3.（1）(2022·新高考卷Ⅰ)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这
2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 （种）不同
的取法，若两数不互质，不同的取法有 ， ， ， ，
， ， 共7种，故所求概率 .故选D.
√
（2）(2022·高考全国卷乙)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务
工作，则甲、乙都入选的概率为_ __.
解析：从5名同学中随机选3名的方法数为 ，
甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率 .
角度2 古典概型的交汇问题
例4.（1）(2023·广东佛山模拟)已知 ， ，若向量
， ，则向量 与 所成的角为锐角的概率是( )
A. B. C. D.
√
解析：向量 与 所成的角为锐角等价于 ，且 与 的方向不同，
即 ，
则满足条件的向量 有 ， ， ， ， ， ，
其中 或 时，与 同向，故舍去，故共有4种情况满足
条件，又 的取法共有 （种），
则向量 与 所成的角为锐角的概率是 .
故选B.
（2）(2023·江苏南京模拟)阿基米德
多面体是由两种或三种正多边形面组
成的半正多面体.它共有13种，其特点
是棱长相等.如图1，顺次连接棱长为2
的正方体各棱的中点，得到一个阿基
米德多面体，如图2，在此阿基米德多面体的所有棱中任取两条，则两条
棱垂直的概率为_ __.
解析：此阿基米德多面体共有24条棱，任取2条，共有 （种）取法.
两条棱垂直有两类情况：①都来自同一个正方形： （种）；②来自对面的两个正方形： （种）.故所求概率为 .
古典概型的概率求解步骤
（1）求出所有样本点的个数 ；
（2）求出事件 包含的所有样本点的个数 ；
（3）代入公式 求解.
【对点训练】
1.下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为 ，若随机事件 包含 个样本点，则事件 发生的
概率 .
其中正确说法的序号是( )
A.①②④ B.①③ C.③④ D.①③④
√
解析：选D.②中所说的事件不一定是只包含一个样本点，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选D.
2.(2022·高考全国卷甲)从分别写有 ， ， ， ， ， 的6张卡片中无
放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为
( )
A. B. C. D.
解析：选C.从6张卡片中无放回抽取2张，有 （种）情况，其中数
字之积为4的倍数的有 ， ， ， ， ， ，共6
种情况，故概率为 .故选C.
√
3.(2022·高考全国卷甲)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个
平面的概率为_ __.
解析：从正方体的8个顶点中任取4个，有 结果，这4个点在同一个平面的有 结果，故所求概率 .2025年高考数学一轮复习-9.3-随机事件与概率-专项训练
[基础强化]
一、选择题
1．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A． B．
C． D．
2．一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率依次为，，.若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为( )
A． B．
C． D．1
3．在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同．如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为( )
A． B．
C． D．
4．(多选)甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法正确的是( )
A．甲获胜的概率为
B．甲不输的概率为
C．乙输的概率为
D．乙不输的概率为
5．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A． B．
C． D．
6．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
7．从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为( )
A． B．
C． D．
8．[2022·新高考Ⅰ卷，5]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A． B．
C． D．
9．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若甲同学必选物理，则下列说法正确的是( )
A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B．甲同学不同的选法共有15种
C．已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是
D．乙、丙两名同学都选物理的概率是
二、填空题
10．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
11．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类．某同学从中任选2门课程学习，则该同学选到文科类选修课程的概率是________．
12．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
[能力提升]
13．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为( )
A． B．
C． D．
14．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为( )
A． B．
C． D．
15．三名旅游爱好者商定在疫情结束后前往武汉、宜昌、黄冈3个城市旅游，如果三人均等可能地前往上述3个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市的概率是________．
16．某机构有项业务是测试手机电池的续航时间，现有美国产的iPhone和中国产的小米、华为、OPPO四种品牌的手机需要测试，其中华为有Mate 40和P40两种型号，其他品牌的手机都只有一种型号．已知每款手机的测试时间都为1个月，测试顺序随机，每款手机测试后不再测试，同一品牌的两个型号不会连续测试．在未来4个月内，测试的手机都是国产手机的概率为________．
参考答案与解析
1．C 从6张卡片中任取2张的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种不同取法，其中2张卡片上的数字之积是4的倍数的取法有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种，所以所求概率p＝＝.故选C.
2．B 记A，B，C三人分别解出题为事件A，B，C，则仅有1人解出题的概率P＝P(A)＋P(B)＋P( C)＝××＋××＋××＝.故选B.
3．B 解法一：从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n＝C＝15，其中至少有1个红球包含的基本事件个数m＝CC＋C＝9，因此至少有1个红球的概率P＝＝＝.故选B.
解法二：从6个小球中一次随机取出2个球包含的基本事件总数n＝C＝15，其中全部是黄球包含的基本事件个数是C＝6，因此至少有1个红球包含的基本事件个数是15－6＝9，因此至少有1个红球的概率P＝＝.故选B.
解法三：设“一次随机取出2个球，至少有1个红球”为事件A，则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝，故选B.
4．AD ∵甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，∴甲获胜的概率为1－－＝，故A正确；甲不输的概率为1－＝，故B不正确；乙输的概率为1－－＝，故C不正确；乙不输的概率为＋＝，故D正确．故选AD.
5．A 从O，A，B，C，D中任取3点的情况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的情况，由图可知取到的3点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种情况，所以所求概率为＝.故选A.
6．B 由题意得第二天订单不超过1 600份的概率为1－0.05＝0.95，故第一天积压订单加上第二天的新订单不超过1 600＋500＝2 100份的概率为0.95，因为超市本身能完成1 200份订单配货，所以需要志愿者完成的订单不超过2 100－1 200＝900份的概率为0.95，因为900÷50＝18，所以至少需要18名志愿者，故选B.
7．C 依题意，基本事件的总数为6×6＝36，第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，6)，(5，1)，(5，5)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，(3，1)，(3，3)，(2，1)，(2，2)，(1，1)，共14种情况，所以所求的概率P＝＝，故选C.
8．D 方法一 从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有C＝21(种)结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为＝.故选D.
方法二 从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有C＝21(种)结果，其中这2个数不互质的结果有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，所以所求概率为＝.故选D.
9．BD 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；由于甲同学必选物理，故只需从剩下的6门学科中任选2门即可，则甲同学不同的选法共有C＝15种，故B正确；由于乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是＝，故C错误；乙、丙两名同学各自选物理的概率均为＝，故乙、丙两名同学都选物理的概率是×＝，故D正确．故选BD.
10.
解析：从正方体的8个顶点中任选4个，所有的取法有C＝70(种)，4个点共面的取法共有12种(表面有6个四边形，对角线可构成6个长方形，所以共有12种)，所以4个点在同一个平面的概率为＝.
11.
解析：从5门不同的选修课程中任选2门课程学习所包含的基本事件总数n＝C＝10，该同学选到文科类选修课程包含的基本事件个数m＝C＋CC＝7，因此该同学选到文科类选修课程的概率P＝＝.
12.
解析：从5名同学中随机选3名参加社区服务工作，共有C＝10(种)选法，甲、乙都入选有C＝3(种)选法．根据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率p＝.
13．D 若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则P左＝P右＝，小球最终落入③号球槽经过5次选择，其中向左3次、向右2次，则所求概率P＝C×()3×()2＝，故选D.
14．A “仁义礼智信”排成一排，任意排有A种排法，其中“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的排法有AA种，故所求概率P＝＝.故选A.
15.
解析：由题知三人的选择情况共有33＝27种，其中恰好选择同一个城市的情况有3种，所以所求概率P＝＝.
16.
解析：在未来4个月内，测试的手机有如下两种情况：
①当华为手机出现两次时，有CCAA＝36种情况；
②当华为手机出现一次时，有CA＝48种情况．
故共有36＋48＝84种情况．
而其中未来这4个月中测试的手机都是国产手机的情况有AA＝12(种)，故所求概率P＝＝.
