2025年高考数学一轮复习-9.6-离散型随机变量的数字特征-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 某射手射击所得环数 的分布列如下表：
7 8 9 10
0.1 0.3
已知 的数学期望 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知随机变量 满足 ， ，下列说法正确的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
3. 签盒中有编号为1， ， ， ， ， 的六支签，从中任意取3支，设 为这3支签的号码之中最大的一个，则 的数学期望为( )
A. B. C. D.
4. [2023·吉林长春模拟]某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为 ，实验次数为随机变量 ，若 的数学期望 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. [2023·广东广州模拟]（多选）若随机变量 服从两点分布，且 ，则( )
A. B.
C. D.
6. [2023·山东烟台模拟]随机变量 的分布列如下表，则 .
0 1 2
0.4 0.2
7. 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 （单位： ）对工期的影响如下表：
降水量
工期延误天数 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 小于 ， ， 的概率分别为0.3, , ,则工期延误天数 的均值为 .
8. [2022·高考浙江卷]现有7张卡片，分别写上数字 ， ， ， ， ， ， .从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， .
9. [2023·江苏靖江模拟]假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为 .现有3个篮球，该运动员准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）.设耗用篮球数为 ，求：
（1） 的分布列；
（2） 均值 .
[B级 综合运用]
10. [2023·海南琼海模拟]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为( )
A. B. C. D.
11. （多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量 为取出白球的个数，随机变量 为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量 为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
12. [2023·河北保定模拟]袋中装有大小与质地相同的5个红球、 个白球，现从中任取2个球.若取出的两球都是红球的概率为 ，记取出的红球个数为 ，则 .
13. 某校准备成立一个环境保护兴趣小组，该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1） 设事件 为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件 发生的概率;
（2） 设 表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求 的分布列及方差.
[C级 素养提升]
14. [2023·辽宁抚顺模拟]（多选）已知随机变量 满足 ， ， ，若 ，则( )
A. 有最大值 B. 无最小值 C. 有最大值 D. 无最小值
15. [2023·湖北丹江口一中模拟]某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分.若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答.5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为 ，且每人答每道题都是相互独立的.
（1） 若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为 ，求 的最大值和最大值点 的值；
（2） 以（1）中确定的 作为 的值，求“领航队”积分成绩 的数学期望.
2025年高考数学一轮复习-9.6-离散型随机变量的数字特征-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 某射手射击所得环数 的分布列如下表：
7 8 9 10
0.1 0.3
已知 的数学期望 ，则 的值为( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由题中表格可知 , ,解得 .故选C.
2. 已知随机变量 满足 ， ，下列说法正确的是( D )
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析]选D.根据方差和期望的性质可得，
, .故选D.
3. 签盒中有编号为1， ， ， ， ， 的六支签，从中任意取3支，设 为这3支签的号码之中最大的一个，则 的数学期望为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题意可知， 的可能取值为3， ， ， ， ， , , .
由数学期望的定义可求得 .故选B.
4. [2023·吉林长春模拟]某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为 ，实验次数为随机变量 ，若 的数学期望 ，则 的取值范围是( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题意得， 的所有可能取值为1, , ，
, , ,
所以 ，令 ，解得 或 ，又因为 ，所以 ，
即 的取值范围是 .故选B.
5. [2023·广东广州模拟]（多选）若随机变量 服从两点分布，且 ，则( ABD )
A. B.
C. D.
[解析]选ABD.因为随机变量 服从两点分布且 ,所以 .
对于A， ，
所以 ，A正确；
对于B， ,B正确；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D正确.故选ABD.
6. [2023·山东烟台模拟]随机变量 的分布列如下表，则 20.
0 1 2
0.4 0.2
[解析]由 ，得 ，所以 ， ,所以 .
7. 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 （单位： ）对工期的影响如下表：
降水量
工期延误天数 0 2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 小于 ， ， 的概率分别为0.3, , ,则工期延误天数 的均值为3.
[解析]由题意可知 , , , .
所以随机变量 的分布列如下表所示：
0 2 6 10
0.3 0.4 0.2 0.1
所以 ，所以工期延误天数 的均值为3.
8. [2022·高考浙江卷]现有7张卡片，分别写上数字 ， ， ， ， ， ， .从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， .
[解析]由题意知 .
的可能取值为1， ， ， ， ，
， ，
所以 的分布列为：
1 2 3 4
.
9. [2023·江苏靖江模拟]假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为 .现有3个篮球，该运动员准备投篮，一旦投中即停止投篮，否则一直投篮到篮球用完（不重复使用）.设耗用篮球数为 ，求：
（1） 的分布列；
[答案]解：随机变量 的所有可能取值是1, , ，
, , .
所以 的分布列为：
1 2 3
（2） 均值 .
[答案] .
[B级 综合运用]
10. [2023·海南琼海模拟]甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 为( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题意，随机变量 的可能取值是2， ， ，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为 ,若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，所以 ， , ,所以期望为 .故选B.
11. （多选）一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量 为取出白球的个数，随机变量 为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量 为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是( BD )
A. B. C. D.
[解析]选BD.由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以 ，故B正确；
的可能取值为0, , , , ，
, ,
, ,
，故A错误；
的可能取值为0, , , , ，且 ， ， ， ， ，
则 ， ,所以 ，故C错误；
的可能取值为4, , , , ，且 ， ， ， ， ，
所以 ,故D正确.故选BD.
12. [2023·河北保定模拟]袋中装有大小与质地相同的5个红球、 个白球，现从中任取2个球.若取出的两球都是红球的概率为 ，记取出的红球个数为 ，则 .
[解析]由题意知， ，整理得 ，所以 .
的可能取值为0， ， ，则 ,
, ,所以 .
13. 某校准备成立一个环境保护兴趣小组，该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1） 设事件 为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件 发生的概率;
[答案]解：由题意可得，抽取了高二年级男生4人，女生2人，高三年级男生1人，女生3人.
所以 .
（2） 设 表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求 的分布列及方差.
[答案] 的可能取值为0, , , ,
, ,
, ,
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 ，所以 .
[C级 素养提升]
14. [2023·辽宁抚顺模拟]（多选）已知随机变量 满足 ， ， ，若 ，则( BD )
A. 有最大值 B. 无最小值 C. 有最大值 D. 无最小值
[解析]选BD.由题意可得， ，因为 在 上单调递减，所以当 时， 无最大值和最小值，故A错误，B正确.
,因为 在 上单调递减，所以当 时， 无最大值和最小值，故C错误，D正确.故选BD.
15. [2023·湖北丹江口一中模拟]某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分.若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道题均需作答.5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为 ，且每人答每道题都是相互独立的.
（1） 若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为 ，求 的最大值和最大值点 的值；
[答案]解： , ,
当 时， ， 在区间 上单调递增；
当 时， , 在区间 上单调递减，
故 在 处取得最大值，最大值 .
（2） 以（1）中确定的 作为 的值，求“领航队”积分成绩 的数学期望.
[答案]“领航队”的每个成员积分成绩为 ，则 ，所以“领航队”积分成绩 的数学期望 .
每个成员积分成绩 的可能取值为 ， ， ， ，
记第 道题目答对为事件 ，
则 ，
,
,
，
的分布列为：
-1 1 5 9
则 ，
故 .(共42张PPT)
9.6 离散型随机
变量的数字特征
课标要求 考情分析
1.理解离散型随机变 量的均值、方差的概 念. 2.能计算简单离散型 随机变量的均值、方 差，并能解决一些简 单的实际问题. 考点考法：离散型随机变量的均值及方差是高考
考查重点，一般以实际问题为命题载体，考查分
布列、均值与方差在决策问题中的应用，各种题
型均能考查，难度中档.
核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.离散型随机变量的均值
（1）一般地，若离散型随机变量 的分布列如表所示，
则称 _ _______为随机变量 的均值或数
学期望，数学期望简称期望.
[提醒] 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均， 是一个实数，由 的分布列唯一确定，即作为随机变量 是可变的，可取不同值，而 是不变的，它描述 取值的平均状态.
（2）均值的性质
设 的分布列为 ， , ， ，n.
① _________.
② _______.
③ ___________.
2.离散型随机变量的方差、标准差
（1）定义
①
_________________为随机变量 的方差，有时也记为 ，并称
为随机变量 的标准差，记为 .
②公式： .
[提醒] （1）随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度， 越大，表明平均偏离程度越大， 的取值越分散；反之， 越小， 的取值越集中在 附近.（2）方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
（2）方差的性质
① ______.
② ________.
③ ________.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）期望是算术平均数概念的推广，与概率无关.( )
×
（2）随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.( )
√
（3）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程
度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.( )
√
（4）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命
中的概率为0.7，那么他罚球20次的得分 的均值是0.7.( )
×
2.（人A选择性必修第三册 练习 变条件、变设问）已知 的分布列为
-1 0 1
设 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
解析：选A. ,
.
√
3.已知随机变量 的分布列为 , , , , , ,则 ___.
2
解析：由题意得 ，
所以 .
4.甲、乙两位工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量 ， ，
其分布列分别为：
0 1 2 3
0.4 0.3 0.2 0.1
0 1 2
0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是____.
乙
解析： .
,
因为 ，所以乙技术较好.
核心考点 师生共研
02
考点一 离散型随机变量的期望与方差的计算（师生共研）
例1 (2022·高考全国卷甲)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5， ， ，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
【解】设甲学校获得冠军的事件为 ，则甲学校必须获胜2场或者3场.
.
故甲学校获得冠军的概率为0.6.
（2）用 表示乙学校的总得分，求 的分布列与期望.
【解】 随机变量 的可能取值为0， ， ， .
，
，
，
.
所以 的分布列为：
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
所以 .
求离散型随机变量 的期望与方差的步骤
（1）理解 的意义，写出 可能的全部取值；
（2）求 取每个值的概率；
（3）写出 的分布列；
（4）由期望的定义求 ；
（5）由方差的定义求 .
[注意]结合题设背景，正确写出 的所有可能的取值，借助于排列、组合、
古典概型求出各事件的概率是解决本类问题的关键.
【对点训练】
1.已知随机变量 ， 满足 ，且随机变量 的分布列如下：
0 1 2
则随机变量 的方差 ( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.由分布列的性质，得 ,
所以 ,
所以 ，
又 ，所以 .
2.10个计算机芯片中含2个不合格的芯片，现从中随机抽出3个芯片作为样
本，用 表示样本中不合格芯片的个数.
解：根据题意，随机变量 的所有可能取值为0， ， .
且 , ,
.
（1）求样本中含不合格芯片数的分布列；
解： 随机变量 的分布列为：
0 1 2
（2）求 的期望与方差.
解： 方法一：期望 ,方差
.
方法二：随机变量 服从超几何分布,其中 , , ,所以
, .
考点二 期望与方差的性质（自主练透）
1.（多选）设离散型随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足 ，则下列结论中正确的有( )
A. B. ,
C. , D. ,
√
√
√
解析：选ACD.因为 ,所以 ，故A正确；
由已知可得 ,
,故C正确，B错误；
因为 ，所以 , ，故D正确.故选ACD.
2.(2023·福建莆田模拟)已知随机变量 的分布列为 , ,
, ,其中 是常数，则 的值为____.
38
解析：因为 , ,
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
3.若随机变量 的可能取值为1， ， ，且 ，
,则 的最大值为___.
1
解析：由题意得 ,由
解得 ,
所以 .
, ，当 时， 取得最大值为1.
离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量 与 的关系为 , , 为常数，一般思
路是先求出 ， ，再利用公式 ,
求 ， ；也可以利用 的分布列得到 的分
布列，关键是由 的取值计算 的取值，对应的概率相等，再由定义法求
得 或 .
考点三 期望与方差在决策中的应用（师生共研）
例2 (2023·辽宁省实验中学模拟)对乙肝病毒携带者的检测是通过空腹抽血化验乙肝五项的检测完成的.现5人中有1位携带乙肝病毒，需要通过抽血化验来确定病毒携带者，血液检测呈阳性的为病毒携带者，有如下两种化验方案：
方案1：将每个人的血液逐个化验，直到查出病毒携带者为止；
方案2：先取3个人的血液进行混合检测，若呈阳性，对这3个人的血液再逐个检验，直到查出携带者；若不呈阳性，则检测余下的2个人中的1个人的样本.
（1）若采用方案1，检测到第二人即检测出携带者的概率是多少？
【解】设“检测到第二人即检测出携带者”为事件 ，所以根据独立事件的概率乘法公式，得 .
（2）通过所学知识，分析方案1和方案2，哪个方案更好？
【解】 设方案1需要化验的次数为 ，则 的所有可能取值为1, , , ，
所以 ， ，
， .
所以 的分布列为：
1 2 3 4
.
设方案2需要化验的次数为 ，则 的所有可能取值为2, ，
当 时，有两种可能，
第一种，先检测的3人没有乙肝病毒携带者，做剩下的2人检测时得到结果，此时概率为 ；
第二种，先检测的3人有乙肝病毒携带者，进而依次检测时第一次就检测到病毒携带者，此时概率为 ，所以 ， ，
则 的分布列为：
2 3
所以 .
因为 ，所以方案2的平均检测次数少于方案1，
故方案2更好.
利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题.解题的关键如下：
（1）建立模型：根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；
（2）分析数据：分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
（3）求值：利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
（4）做出决策：比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策.
【对点训练】
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润 （单位：元）关于当
天需求量 （单位：枝， ）的函数解析式.
解：当 时， ;
当 时， .
所以 关于 的函数解析式为 .
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求 的分布列、数学期望及方差；
解： 可能的取值为60， ， .
， ， .
所以 的分布列如下：
60 70 80
0.1 0.2 0.7
,
D .
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
解： 方法一：花店一天应购进17枝玫瑰花，理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），那么 的
分布列如下：
55 65 75 85
0.1 0.2 0.16 0.54
的数学期望为 .
由以上的计算结果可以看出， ，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润，故花店每天应购进17枝玫瑰花.
方法二：花店一天应购进16枝玫瑰花，理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），那么 的
分布列如下：
55 65 75 85
0.1 0.2 0.16 0.54
的数学期望为
.
的方差为 .
由以上的计算结果可以看出， ,即购进16枝玫瑰花时利润波
动相对较小，另外，虽然 ，但两者相差不大.故花店每天应购
进16枝玫瑰花.
