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第9讲 函数模型及应用
课标要求 考情分析
1.了解指数函数、对数函 数、幂函数的增长特征；结 合实例体会直线上升、指数 爆炸、对数增长等不同函数 类型增长的含义. 2.了解指数函数、对数函 数、幂函数、分段函数等函 数模型的广泛应用. 考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函
数及分段函数为载体，考查利用函数模型解
决实际问题，与指数、对数函数相关的数学
文化、社会热点等问题是高考热点，常以选
择题形式出现.
核心素养：直观想象、数学运算、数学建模
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.六种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 （ , 为常数, ）
二次函数模型 （ , , 为常数, ）
指数函数模型 （ , , 为常数, 且 , ）
对数函数模型 （ , , 为常数, 且 ,
）
函数模型 函数解析式
幂函数模型 （ , , 为常数, , ）
“对勾”函数模 型 （ 为常数， ）
[提醒] 函数模型应用问题的步骤（四步八字方针）：审题，建模，解模，还原.
续表
2.三种函数模型性质比较
类别
在 上的 单调性 ________ ________ ________
增长速度 __________ __________ 相对平稳
图象的变化 随 值增大,图象与_____行 随 值增大,图象与____ _行 随 值变化
而不同
[提醒] 幂函数模型 可以描述增长速度的变化，当 值较小
时，增长较慢；当 值较大 时，增长较快.
增函数
增函数
增函数
越来越快
越来越慢
轴
轴
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数 的函数值比 的函数值大.( )
×
（2）不存在 ,使 .( )
×
（3）“指数爆炸”是指数型函数 增长速
度越来越快的形象比喻.( )
×
（4）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数
模型.( )
×
2.（人A必修第一册 例6变条件）某校拟用一种
喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每
立方米药物残留量 （单位：毫克）与时间 （单
A. B.
C. D.
位：时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图
散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计 与 的关系，则应选用
的函数模型是( )
√
解析：选B.由题图可知，函数在 上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，
函数 的图象为一条曲线，且当 时，该函数单调递减，符合题意,故选B.
3.某种茶水用 的水泡制，再等到 时饮用可产生最佳口感.已知茶水温
度 （单位： ）与经过时间 （单位： ）的函数关系是： ，
其中 为衰减比例， 是室温， 时， 为茶水初始温度，若室温为
， ，茶水初始温度为 ，则 ____，产生最佳口感所需时间
是___ .
80
8
解析：由题意， ，当 时， ，解得 ，
则 ，当 时，即 ，则 ，即 ，
所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 函数图象刻画变化过程（自主练透）
1.已知正方形 的边长为4，动点 从 点开始沿折线 向 点运
动.设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，则函数 的图象
是( )
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
√
解析：选D.依题意知，当 时， ;当 时，
;当 时， ，观察四个选项知D项符合要求.
2.(2023·广东广州综合检测)如图，一高为 且装满水的鱼缸，
其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，
水流完所用时间为T.若鱼缸水深为 时，水流出所用时间为 ，
则函数 的图象大致是( )
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.
√
3.(2023·福建厦门高三质检)（多选）某医药研究机构开发了一种新药，据监
测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量
（单位：微克）与时间 （单位：时）之间的关系近似满足一段曲线，如图
所示.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于 微克时，对治疗该
病有效，则( )
A.
B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C.注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D.注射一次治疗该病的有效时间长度为 小时
√
√
解析：选AD.当 时， ，即 ，解得 ，且 ，
所以 故A正确；
当 ，即 时，药物刚好起效，
当 ，即 时，药物刚好失效，
故药物有效时长为 小时，
药物的有效时间不到6个小时，故B错误，D正确；
注射该药物 小时后每毫升血液含药量为 （微克），故C错误.故选AD.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：
（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
考点二 根据给定函数模型解决实际问题（师生共研）
例1.（1）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，
为了倡导绿色可循环的理念，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知
过滤过程中废水的污染物数量 与时间 的关系为 （
为最初污染物数量）.如果前4小时消除了 的污染物，那么污染物
消除至最初的 还需要的时间为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
√
解析：由题意可得 ,则 ,设 ,可得 ,解得 .因此，污染物消除至最初的 还需要4小时.故选C.
（2）(2023·山东德州高三期中)声音大小（单位：分贝）取决于声波通过
介质时所产生的压力变化（简称声压，单位: ）.已知声音大小 与声
压 的关系式为 ，且根据我国《城市区域环境噪音标
准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许
标准为40分贝，则在居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间
噪声容许标准的声压的_____倍.
解析：当 时， ，即 ，解得
，
当 时， ，即 ，
解得 ，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容
许标准的声压的 倍.
根据给定函数模型解决实际问题的技巧
（1）认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数.
（2）根据已知条件，确定模型中的待定系数.
（3）分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题.
【对点训练】
1.音量大小的单位是分贝 ，对于一个强度为 的声波,其音量的大小
可由如下公式计算： （其中 是人耳能听到声音的最低声波强
度），则 的声音的声波强度 是 的声音的声波强度 的
( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
√
解析：选C.由 得 ,所以 ， ，所以 ,所以 的声音的声波强度 是 的声音的声波强度 的10倍.
2.(2023·福建莆田模拟)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污
染物数量 （单位： ）与时间 （单位： ）间的关系为 ，
其中 ， 是正数.如果 后还剩下 的污染物， 后还剩下 的污染
物，那么 后还剩下____ 的污染物.
10
解析：设初始污染物为 ，则 解得 .
所以 后 ，即还剩下
的污染物.
考点三 构建函数模型解决实际问题（多维探究）
角度1 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型
例2 小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产
某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产 万件,需另投入流动成
本 万元,在年产量不足8万件时, （万元）；在年产量
不小于8万件时, （万元）.每件商品售价为5元.通过
市场分析,小王生产的商品当年能全部售完.
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式;（注：
年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
【解】因为每件商品售价为5元,则 万件商品销售收入为 万元,
依题意得,当 时,
;
当 时, .
所以
（2）年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解】 当 时, .
即当 时, 取得最大值，最大值为9万元；
当 时, ,当且
仅当 ，即 时等号成立,
即 时, 取得最大值，最大值为15万元.
因为 ,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润
最大,最大利润为15万元.
建模解决实际问题的三个步骤
（1）建模：抽象出实际问题的数学模型.
（2）解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解.
（3）回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.即：
[注意] 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.
角度2 构建指数函数、对数函数模型
例3.（1）据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少
了 ，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为 ,从2010年起，
经过 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积 与 的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
√
解析：设每年减少的百分比为 ,由在50年内减少 ，得 ,即 .
所以经过 年后， 与 的函数关系式为
.
（2）里氏震级 的计算公式为： ,其中 是测震仪记录
的地震曲线的最大振幅, 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测
震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震
级为___级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.
解析： .
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为 , ,则 ,则 ,
,则 ,所以 .
即9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的 倍.
应用指、对函数模型应注意的问题
（1）指、对函数模型的应用类型，常与增长率相结合进行考查，在实际
问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指、对函数
模型来解决.
（2）应用指、对函数模型的关键是对模型的判断，先设定模型，再将已
知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.
（3） 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
【对点训练】
1.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产
品还需要增加投资1万元，年产量为 件.当 时，年销售总
收入为 万元；当 时，年销售总收入为260万元.记该工厂
生产并销售这种产品所得的年利润为 万元，则 与 的函数关系式为
____________________________________，该工厂的年产量为____件时，
所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）
16
解析：由题意得，年总投资为 万元，故函数关系式为
当 时， ,即 时函数值最大，且最
大值为156；
当 时， .
故年产量为16件时，年利润最大.
2.(2023·山东师范大学附中模拟)为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶
员血液中的酒精含量大于或等于 ，小于 的
驾驶行为为酒后驾车， 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶
员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 .如
果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时 的速度减少，那么他
至少经过____个小时才能驾驶汽车.（参考数据： ， ）
解析：设他至少经过 个小时才能驾驶汽车，则 ，
所以 .
又 为减函数，所以
,
所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车.2025年高考一轮复习-第二章 函数-第9讲 函数模型及应用【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 设甲、乙两地的距离为 ,小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 和其所用的时间 的函数图象为( )
A.
B.
C.
D.
2.（多选）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为 （不超过 按起步价付费）；超过 但不超过 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过 时，超过部分按每千米 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是( )
A. 出租车行驶 ，乘客需付费8元
B. 出租车行驶 ，乘客需付费9.6元
C. 出租车行驶 ，乘客需付费25.45元
D. 某人两次乘出租车均行驶 的费用之和超过他乘出租车行驶 一次的费用
3.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 （单位： ）、燃料的质量 （单位： ）和火箭的质量（除燃料外） （单位： ）的关系是 .为使火箭的最大速度达到 ，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据： ）( )
A. B. C. D.
4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）( )
A. B. C. D.
5. 生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量 （单位： ）与时间 （单位：年）近似满足关系式 ， ，其中 为抗生素的残留系数，当 时， ，则 .
6.一种药在病人血液中的量保持 以上才有疗效，而低于 病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时 的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 内向病人的血液中补充这种药，才能保持疗效.（附： ， ，精确到0.1）
7. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强 与参考声强 （ 约为 ，单位： ）之比的常用对数称作声强的声强级，记作 （单位：贝尔），即 ，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度 （单位：分贝）与喷出的泉水高度 满足关系式 ，现知 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为 ，若 同学大喝一声的声强大约相当于10个 同学同时大喝一声的声强，则 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为 .
8. 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠，每多1人，每张机票减少10元，直到达到规定人数75为止.某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
（1） 写出飞机票的价格关于人数的函数.
（2） 每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[B级 综合运用]
9.碳14的半衰期为5 730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量 与死亡年数 的函数关系式是 （其中 为生物体死亡时体内碳14含量）.考古学家对在考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的 ，由此可以推测直到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了
（参考数据： ）( )
A. 1 847年 B. 2 022年 C. 2 895年 D. 3 010年
10. 某核电站爆炸导致约8吨的强辐射物严重泄漏，事故所在地被严重污染.主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为 ,经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的 时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区，则事故所在地至少经过 年才能再次成为人类居住的安全区.参考数据： , .（结果保留整数）
11.为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价 （单位：元）与上市时间 （单位：天）的数据如下表：
上市时间 （天） 2 6 20
市场价 （元） 102 78 120
（1） 根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价 与上市时间 的变化关系并说明理由：① ；② ；③ ；④ ；
（2） 利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
（3） 利用你选取的函数，若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
2025年高考一轮复习-第二章 函数-第9讲 函数模型及应用【解析版】
[A级 基础达标]
1. 设甲、乙两地的距离为 ,小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 和其所用的时间 的函数图象为( D )
A.
B.
C.
D.
[解析]选D. 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除 ，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
2.（多选）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为 （不超过 按起步价付费）；超过 但不超过 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过 时，超过部分按每千米 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是( CD )
A. 出租车行驶 ，乘客需付费8元
B. 出租车行驶 ，乘客需付费9.6元
C. 出租车行驶 ，乘客需付费25.45元
D. 某人两次乘出租车均行驶 的费用之和超过他乘出租车行驶 一次的费用
[解析]选CD.对于A,出租车行驶 ，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；
对于B,出租车行驶 ，乘客需付费 元，故B错误；
对于C,出租车行驶 ，乘客需付费 （元），故C正确；
对于D，某人两次乘出租车均行驶 的费用之和为 （元），一次行驶 的费用为25.45元， ，故D正确.故选CD.
3.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 （单位： ）、燃料的质量 （单位： ）和火箭的质量（除燃料外） （单位： ）的关系是 .为使火箭的最大速度达到 ，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据： ）( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题意可得，将火箭的最大速度 代入 中，
得 ，即 ，
所以 ，故 ，故选B.
4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由题意得， ，
则 ，解得 ，则 ，
由 ，得 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为74.故选B.
5. 生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量 （单位： ）与时间 （单位：年）近似满足关系式 ， ，其中 为抗生素的残留系数，当 时， ，则 .
[解析]因为 ，所以 ，解得 .
6.一种药在病人血液中的量保持 以上才有疗效，而低于 病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时 的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过6.6 内向病人的血液中补充这种药，才能保持疗效.（附： ， ，精确到0.1）
[解析]设 后血液中的药物量为 ，则有 ，
令 ，得 ,
故从现在起经过 内向病人的血液中补充这种药，才能保持疗效.
7. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强 与参考声强 （ 约为 ，单位： ）之比的常用对数称作声强的声强级，记作 （单位：贝尔），即 ，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度 （单位：分贝）与喷出的泉水高度 满足关系式 ，现知 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为 ，若 同学大喝一声的声强大约相当于10个 同学同时大喝一声的声强，则 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45 .
[解析]设 同学的声强为 ，喷出泉水高度为 ，
则 同学的声强为 ，喷出泉水高度为 ，
由 ，得 ， ①
因为 ，所以 ， ②①－②得 ，
解得 ，所以 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为 .
8. 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠，每多1人，每张机票减少10元，直到达到规定人数75为止.某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
[答案]解：设该旅行团的人数为 人，每张飞机票的价格为 元，旅行社可获得的利润为 元.
（1） 写出飞机票的价格关于人数的函数.
[答案]①当 时， ,
②当 时， ,
综上，
（2） 每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[答案]当 时， ,
（元）；
当 时， ,
当 时， 取得最大值21 000（元），
所以每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.
[B级 综合运用]
9.碳14的半衰期为5 730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量 与死亡年数 的函数关系式是 （其中 为生物体死亡时体内碳14含量）.考古学家对在考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的 ，由此可以推测直到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了
（参考数据： ）( A )
A. 1 847年 B. 2 022年 C. 2 895年 D. 3 010年
[解析]选A.由题意知 ，所以 ，
所以 .故选A.
10. 某核电站爆炸导致约8吨的强辐射物严重泄漏，事故所在地被严重污染.主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为 ,经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的 时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区，则事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区.参考数据： , .（结果保留整数）
[解析]设辐射物中原有的锶90有 吨.经过 年后辐射物中锶90的剩余量为 吨，则 , ,化简得 , ,由题意得, ,不等式两边同时取对数，得 ,化简得 ,由参考数据得 .所以 ,所以事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区.
11.为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价 （单位：元）与上市时间 （单位：天）的数据如下表：
上市时间 （天） 2 6 20
市场价 （元） 102 78 120
（1） 根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价 与上市时间 的变化关系并说明理由：① ；② ；③ ；④ ；
[答案]解：由题表知，随着时间 的增大， 的值先减小后增大，而所给的函数① ，③ 和④ 在 上显然都是单调函数，不满足题意，故选择② .
（2） 利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
[答案]把 ， ， 分别代入 ，得 解得
所以 ， .
所以当 时， 有最小值，且 .
故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元.
（3） 利用你选取的函数，若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
[答案]令 ， ，
因为存在 使得不等式 成立，则 .
又
,
当且仅当 ,即 时，等号成立，所以实数 的取值范围是
