(共40张PPT)
4.2 同角三角函数的基本
关系与诱导公式
课标要求 考情分析
1.理解同角三角函数的基本关系式： ， . 2.借助单位圆及三角函数定义推出诱导 公式. 3.能够运用同角三角函数基本关系和诱 导公式解决相关问题. 考点考法：同角三角函数的基本
关系、诱导公式是三角函数变换
的基础，也是高考命题的热点，
难度不大，属简单题，通常出现
在选择题或填空题中，复习时应
注意控制难度.
核心素养：数学运算、逻辑推理
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：__________________.
（2）商数关系： _____（其中 ）.
[提醒] 平方关系对任意角都成立，而商数关系中 .
2.三角函数的诱导公式
角
正弦 _______ _______ ______ ______ ______
余弦 _______ ______ _______ ______ _______
正切 ______ _______ _______
[提醒] 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“ ”中的 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“ ”中，将 看成锐角时，“ ”的终边所在的象限.
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）对任意的角 ， ，都有 .( )
×
（2）若 ，则 恒成立.( )
×
（3） 成立的条件是 为锐角.( )
×
（4）若 ，则 .( )
×
2.（人A必修第一册 习题 变条件、变设问）已知角 是第二象
限角， ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选A.因为角 是第二象限角，所以 ，又 , 所以 .
√
3. ____， ____.
解析： ， .
4.化简 的结果为________.
解析：原式 .
1.同角三角函数关系式的常用变形
（1） ;
;
.
（2） .
（3） ；
.
2. ;
.
【用一用】
1.已知 ，且 ,则 ____.
解析：因为 ，所以 ，
而 ，所以 .
2.已知 ，则 的值构成的集合是_______.
解析：①当 为偶数时， ；②当 为奇数时， .所以 的值构成的集合是 .
核心考点 师生共研
02
考点一 同角三角函数基本关系的应用（多维探究）
[高考考情] 同角三角函数的基本关系多与其他三角函数知识融合在一起进行考查,以公式变形解决计算问题为主.题型多为选择题、填空题，难度中低档.
角度1 “知一求二”问题
例1 已知 是三角形的内角，且 ，则 的值为______.
解析：由 ，得 ，
将其代入 ，得 ，
所以 ，易知 ，
所以 ， ，
故 .
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
角度2 “弦切互化”问题
例2 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：因为 ,所以 ,解得 ,故
.故选A.
√
利用“弦切互化”求齐次式值的方法
（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以 的 次幂，将分式的
分子与分母化为关于 的式子，代入 的值即可求解.
（2）若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用
替换，再将分子与分母同除以 ，化为只含有 的
式子，代入 的值即可求解.
角度3 与 之间的关系
例3 (2023·山东烟台模拟)已知 , ,则
( )
A. B. C. D.
解析： ,
所以 ,
因为 ，所以 ， ,
所以 ，所以 .故选C.
√
“ 与 ”之间关系的应用
与 可通过平方关系联系到一起,即 , , .因此在解题中已知其中一个可求另外两个.
【对点训练】
1.(2023·四川绵阳模拟)已知 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.因为 ，且 ,所以 ,
.故选C.
√
2.(2023·河北唐山模拟)若 ,则 ___.
4
解析：因为 ,两边同时平方得 ,即
,所以 ,所以
.
3.(2022·高考浙江卷节选)若 ， ，则
______.
解析：因为 ，所以 .将其代入 ，得 ，所以 ，整理得 ，解得 .
考点二 诱导公式的应用（自主练透）
1.已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.原式 .故选D.
√
2.（多选）下列式子中化简正确的是( )
A.
B.
C.
D.若 ，则
√
√
√
解析：选ABD.由诱导公式易知A正确；
B正确；
C错误；
=|，因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以原式 ，D正确.
3.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选B.因为 ，所以 .
√
4.若 ，则
( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.因为 ,
所以 ，
又因为 ,且 ，
所以 .故选B.
5.若 ，且 ，则 ___.
1
解析：因为 ，所以 ， ，所以 .
（1）诱导公式用法的一般思路
①化负为正，化大为小，化到锐角为止；
②角中含有加减 的整数倍时，用公式去掉 的整数倍.
（2）常见的互余和互补的角
①常见的互余的角: 与 ; 与 ; 与 ;
②常见的互补的角： 与 ; 与 .
[注意] 计算含有 的整数倍的三角函数式时，可直接将 的整数倍去掉，
然后再进行运算.
考点三 诱导公式与同角关系式的综合应用（师生共研）
例4.（1）(2023·山东聊城模拟)已知角 为锐角，且
， ,
则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：选C.由已知得
消去 ,得 ,所以 ,代入 ,化简得 ,因为 为锐角，所以 .
（2）已知 ， .求 的值.
【解】由已知，得 ,
两边平方得 ,
整理得 .
因为 ,
由 知， ,又 ,
所以 ,所以 ,
所以 ，
所以
.
（1）利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
（2）注意角的范围对三角函数符号的影响.
【对点训练】
已知角 的终边与单位圆 在第四象限交于点 ，且点 的坐
标为 .
（1）求 的值；
解：由角 为第四象限角，终边与单位圆交于点
，得 ， ，
解得 ，所以 .
（2）求 的值.
解： 因为 ，
所以原式 .
已知角 的终边与单位圆 在第四象限交于点 ，且点 的坐
标为 .4.2-同角三角函数的基本关系与诱导公式-专项训练【原卷版】
[A级 基础达标]
1. 已知角 是第四象限角， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
4.已知角 是第四象限角，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. （多选）若 ，则角 的取值范围可能为( )
A. B. C. D.
6. .
7.化简:
8. 若实数 ， 满足方程组 则 的一个值可以是 .（写出满足条件的一个值即可）
9. 已知 ， .
（1） 求 的值；
（2） 求 的值.
[B级 综合运用]
10. 在 中， ， ，则 为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
11.已知函数 ，则 ( )
A. B. C. D.
12. 已知函数 （ ，且 ）的图象过定点 ，且角 的始边与 轴的正半轴重合，终边过点 ，则 .
13.已知 ，且 ，则 的值为 .
14. 已知 .
（1） 化简 ；
（2） 求 的值；
（3） 若 ， ，求 的值.
[C级 素养提升]
15. 如图，4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为 ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是 ，则 的值是 .
16. 已知 ，且 .
（1） 求 的值；
（2） 求
4.2-同角三角函数的基本关系与诱导公式-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 已知角 是第四象限角， ，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.由题得 ，
所以 .故选C.
2.已知 ，则 ( A )
A. B. C. D.
[解析]选A.由 ,
得 ,
所以 .
3. 已知 ，则 ( D )
A. B. C. D.
[解析]选D.因为
,
,
所以 .故选D.
4.已知角 是第四象限角，且 ，则 ( C )
A. B. C. D.
[解析]选C.因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
又因为角 是第四象限角，所以 ，故 ，
所以 .故选C.
5. （多选）若 ，则角 的取值范围可能为( BD )
A. B. C. D.
[解析]选BD.原式 ，
即 ，由给定选项知，角 的终边不在坐标轴上，
则 与 异号，角 为第二象限角或第四象限角，
若角 为第二象限角，则 ， , ，
若角 为第四象限角，则 ， , .
故选BD.
6. 1.
[解析]原式 .
7.化简:
[答案]
[解析]原式 .
8. 若实数 ， 满足方程组 则 的一个值可以是 （答案不唯一，满足 ， 即可）.（写出满足条件的一个值即可）
[解析]由题可得 ，
即 ，所以 ，所以 ， ，可取 时， .
9. 已知 ， .
（1） 求 的值；
[答案]解：令 ，则 ，整理得 ，解得 或 ，即 或 ,
因为 ，
所以 ，故 .
（2） 求 的值.
[答案]原式 .
[B级 综合运用]
10. 在 中， ， ，则 为( B )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
[解析]选B.由 可得 ，即 ，又 ，所以 ， ,再由 可得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 为直角三角形.故选B.
11.已知函数 ，则 ( B )
A. B. C. D.
[解析]选B.由 得 ，所以 ，所以
.故选B.
12. 已知函数 （ ，且 ）的图象过定点 ，且角 的始边与 轴的正半轴重合，终边过点 ，则 .
[解析]由题设知 过定点 ，故 ，
则原式
.
13.已知 ，且 ，则 的值为 .
[解析]方法一：由 ，得 ，所以 ，即 ，解得 或 .因为 ，
且 ，所以 ，即 ，所以 .
方法二：由 ,①
得 ，
所以 ，
则 .因为 ，且 ，所以 ,所以 ,②
联立①②，解得 所以 .
14. 已知 .
（1） 化简 ；
[答案]解：原式 .
（2） 求 的值；
[答案] .
（3） 若 ， ，求 的值.
[答案]由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
[C级 素养提升]
15. 如图，4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为 ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是 ，则 的值是 .
[解析]由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为 ，短直角边为 ，小正方形的边长为 ，因为小正方形的面积是 ，所以 ，因为 为直角三角形中较小的锐角,
所以 ,所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ,所以 .
16. 已知 ，且 .
（1） 求 的值；
[答案]解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ,
解得 或 ,
因为 ,所以 ,
所以 .
（2） 求 的值.
[答案]原式 .
