2025年高考数学一轮复习-4.3.1-两角和、差及倍角公式-专项训练【原卷版】
基础巩固练
1. （ ）.
A. B. C. D.
2. （ ）.
A. B. C. D.
3. 已知是角 的终边上一点，则（ ）.
A. B. C. D.
4. 已知,，且，则（）.
A. B. C. 7 D.
5. 已知,，则（ ）.
A. B. C. D.
6. 在中，若，则是（ ）.
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
7. 若，则（）.
A. B. 1 C. D. 2
8. 若，，，，则（ ）.
A. B. C. D.
综合提升练
9. （多选题）已知不是直角三角形，内角,,所对的边分别为,,，则（ ）.
A. B.
C. D.
10. （多选题）下列式子的运算结果为的是（ ）.
A. B.
C. D.
11. 已知，则.
12. 已知,，且,,,，则 的值为
应用情境练
13. （双空题）如图，扇形的半径为1，圆心角为 ，且，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，当时，矩形的周长最大，且周长的最大值为 .
14. 如图，在带有坐标系的单位圆中，设 ， ， .
（1）利用单位圆、向量知识证明： .
（2）若,，,，，，求 的值.
创新拓展练
15. 如图1，正方形的边长为2，为线段的中点.现把正方形按照图2进行折叠，使点与点重合，折痕与交于点，与交于点.记 ，则
16. 如图，圆的半径为，直线与圆相切，点在线段上，，且，圆上的点从点处逆时针转动到最高点处，记 ，，四边形的面积为.
（1）当时，求的值；
（2）试确定 的值，使得的面积等于的面积的一半.
2025年高考数学一轮复习-4.3.1-两角和、差及倍角公式-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. （ D ）.
A. B. C. D.
[解析]原式.故选.
2. （ A ）.
A. B. C. D.
[解析]因为 ，又，所以.故选.
3. 已知是角 的终边上一点，则（ C ）.
A. B. C. D.
[解析] 是角 的终边上一点，由三角函数定义可得，
，，
所以.故选.
4. 已知,，且，则（ C ）.
A. B. C. 7 D.
[解析]因为,，所以,.
又，所以，，
所以，解得.故选.
5. 已知,，则（ A ）.
A. B. C. D.
[解析]因为，
所以. ①
因为，所以. ②
由，得，
所以.故选.
6. 在中，若，则是（ C ）.
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
[解析],
,
,
,即,
又,为 的内角，，
，故 为等腰三角形.故选.
7. 若，则（ A ）.
A. B. 1 C. D. 2
[解析]由题意得，
所以 ，
即，
即，显然，故.故选.
8. 若，，，，则（ C ）.
A. B. C. D.
[解析]由，，，，
得，，
所以.
故选.
综合提升练
9. （多选题）已知不是直角三角形，内角,,所对的边分别为,,，则（ ACD ）.
A. B.
C. D.
[解析]对于，因为，所以，所以 正确;
对于，因为，所以，所以 错误;
对于，因为，所以，所以 正确;
对于，因为，所以，
由正弦定理得，所以 正确.故选.
10. （多选题）下列式子的运算结果为的是（ ABC ）.
A. B.
C. D.
[解析]对于，；
对于，；
对于，；
对于，.
故选.
11. 已知，则 .
[解析]由，
可得，
即，
，即，
.
12. 已知,，且,,,，则 的值为 .
[解析],,,，则，，所以,，注意到，
于是，
不妨记 , ，于是，而,,，于是（负值舍去），又,,，所以（正值舍去），
所以，而,，所以.
应用情境练
13. （双空题）如图，扇形的半径为1，圆心角为 ，且，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，当 时，矩形的周长最大，且周长的最大值为 .
[解析]设 ,，
则 , ,，
所以，
所以矩形 的周长为，
其中,,，则，
所以当 时，矩形 的周长最大，
此时 ,，
且矩形 周长的最大值为.
14. 如图，在带有坐标系的单位圆中，设 ， ， .
（1）利用单位圆、向量知识证明： .
（2）若,，,，，，求 的值.
[解析]（1）由题意知,，且 与 的夹角为 ，
所以.
又，，
所以 ，
故 .
（2）因为,且，所以,,
因为,，所以,，又,，,所以,，，
所以.
创新拓展练
15. 如图1，正方形的边长为2，为线段的中点.现把正方形按照图2进行折叠，使点与点重合，折痕与交于点，与交于点.记 ，则 .
[解析]设，则，.
在 中， ，所以，
即，解得，所以，
所以在 中，，
则，
又，所以.
16. 如图，圆的半径为，直线与圆相切，点在线段上，，且，圆上的点从点处逆时针转动到最高点处，记 ，，四边形的面积为.
（1）当时，求的值；
（2）试确定 的值，使得的面积等于的面积的一半.
[解析]（1）过点 作 交 于点，如图所示.
因为圆 的半径为，
所以，
又，且，所以，
所以四边形 的面积.
（2）设 的面积为，的面积为，则，
因为 ，，
所以 ，即，所以.
因为，所以,，所以，所以，
所以当 时，的面积等于 的面积的一半。
。(共24张PPT)
4.3.1 两角和、差及倍角公式
核心考点 师生共研
核心考点 师生共研
01
考点一 三角函数公式的直接应用（自主练透）
1.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选A.由 ，解得 ，则
.故选A.
√
2.(2023·吉林省实验中学模拟)在平面直角坐标系中，角 的终边经过点
，则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：选D.由三角函数的定义可知， , ,则
, /m> ,
所以
.故选D.
3.(2023·辽宁鞍山模拟) 的值为___.
1
解析：因为 ,
所以原式 .
4.(2023·湖北七市（州）联合统考)若 ，则 ___.
解析：因为 ，所以 ，即 ，所以原式 .
利用三角函数公式解题时应注意的问题
（1）首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”.
（2）应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用.
（3）应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
考点二 三角函数公式的逆用与变形应用（师生共研）
例1.（1）求值： ( )
A. B. C. D.
解析：原式 .
√
（2）(2022·新高考卷Ⅱ)若 ，
则( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得
，整理得 ，即
，所以 .故选C.
√
（3）若 ,则 ___.
解析：因为 ,所以 ,所以 ,即 .
（1）三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式;
② , （或 ）, （或 ）三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.
（2）三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用或变形使用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系;
②注意特殊角的应用，当式子中出现 ， ， ， 等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造出适合公式的形式.
【对点训练】
1.(2023·山东济南模拟)已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重
合，终边经过点 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由正切函数的定义得
.故
选C.
√
2.已知 , , ， , ，则下列
式子成立的是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意知, , ,
将两式分别平方并相加，得
,
√
所以 ,故A,B错误;
因为 , , ，所以 ,所以 ,即
，
所以 ,
所以 ,故D正确，C错误.故选D.
3.化简： ________.
解析：原式
.
考点三 变换求值（多维探究）
角度1 三角函数公式中变“角”
例2 (2023·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知 ， ，
， ，则 ____.
解析：由题意知， ， ，所以
，因为 ,
,
所以 ,
所以
.
角度2 三角函数公式中变“名”
例3 已知 ， ，则 ______.
解析：由题意可得 ，则
，即 .
因为 ， ，所以 ， ，
根据同角三角函数基本关系式，可得 ，
所以原式 .
三角函数公式应用的解题思路
（1）角的变换：明确各个角之间的关系（包括非特殊角与特殊角、已知角与未
知角），熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：
， ，
, 等.
（2）名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.
[注意] 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化.
【对点训练】
1.已知 ,且 ,则 ___; ___.
解析：由题意得 ,所以 ，
则 ；
则 .
2.(2023·江苏南京模拟)已知 , , ,
,则 的值为__.
解析： ,即 ，又因为 ,所以
,
所以 , .
因为 , ,所以 ，又 ,所以
，
所以 ,
所以 .
