4.4.1-三角函数的图象与性质（一）-专项训练【原卷版】
1．函数y＝lg(tan 2x)的定义域是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
2．函数f(x)＝sin的值域是( )
A．[－1,1] B．
C． D．
3．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
4．已知α＝，a＝sin α，b＝log2sin α，c＝(sin α)－1，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
C．c5．(2024·衡水模拟)函数f(x)＝sin2x＋cos x的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
6．(多选)设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)在区间上单调递增
7．(多选)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的可能值是( )
A． B．
C． D．π
8．函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
9．已知ω>0，函数f(x)＝sin的最小正周期为π，则f(x)在区间上的单调递减区间是________．
10．已知函数f(x)＝cos，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
11．已知函数f(x)＝cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定有( )
A．f(sin A)>f(sin B) B．f(cos A)>f(cos B)
C．f(sin A)>f(cos B) D．f(cos A)>f(sin B)
12．(多选)若函数f(x)＝sin与g(x)＝cos都在区间(a，b)(0A． B．
C． D．
13．“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y＝4sin(ωx＋φ)的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则函数的单调递增区间的是( )
A． B．
C． D．
14．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
15．设函数f(x)＝sin x，x∈R．
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝2＋2的值域．
4.4.1-三角函数的图象与性质（一）-专项训练【解析版】
1．函数y＝lg(tan 2x)的定义域是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析：D 由函数y＝lg(tan 2x)有意义得tan 2x>0，所以kπ<2x2．函数f(x)＝sin的值域是( )
A．[－1,1] B．
C． D．
解析：B 由0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴－≤2x－≤，由正弦函数的性质知f(x)∈．故选B．
3．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
解析：D y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|＝结合选项知，D正确．
4．已知α＝，a＝sin α，b＝log2sin α，c＝(sin α)－1，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．c解析：D ∵α＝，∴01，∴b5．(2024·衡水模拟)函数f(x)＝sin2x＋cos x的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
解析：B 因为f(x)＝sin2x＋cos x＝－cos2x＋cos x＋1＝－2＋，由x∈得cos x∈[0,1]，所以当cos x＝时，f(x)max＝．故选B．
6．(多选)设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)在区间上单调递增
解析：AD A项，函数的最小正周期为T＝＝2π，所以－2π是函数f(x)的一个周期，故本结论是正确的；
B项，当x＝时，f＝sin＝0，该函数值不是函数的最值，故本结论是错误的；
C项，当x＝－时，f＝sin＝－1≠0，故本结论是错误的；
D项，当x∈时，∈，所以函数f(x)＝sin单调递增，故本结论是正确的．故选A、D．
7．(多选)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的可能值是( )
A． B．
C． D．π
解析：AC 由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以08．函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
解析：∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴g(t)＝－2t2－3t＋1＝－22＋．又函数g(t)的图象的对称轴为直线t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，g(t)有最小值－4．即f(x)有最小值－4．
答案：－4
9．已知ω>0，函数f(x)＝sin的最小正周期为π，则f(x)在区间上的单调递减区间是________．
解析：因为函数f(x)＝sin的最小正周期为π，即＝π，解得ω＝2，即f(x)＝sin ，令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的减区间为，k∈Z，又x∈，则f(x)在区间上的单调递减区间是．
答案：
10．已知函数f(x)＝cos，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
解：(1)f(x)的最小正周期T＝＝＝π．
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z．
(2)∵x∈，则2x－∈，
故cos∈，f(x)＝cos∈[－1， ]，
∴f(x)max＝，此时cos＝1，即2x－＝0，即x＝；
f(x)min＝－1，此时cos＝－，即2x－＝，即x＝．
11．已知函数f(x)＝cos x，若A，B是锐角三角形的两个内角，则一定有( )
A．f(sin A)>f(sin B) B．f(cos A)>f(cos B)
C．f(sin A)>f(cos B) D．f(cos A)>f(sin B)
解析：D ∵A，B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B>，∴0<－Bf(sin A)，同理f(cos A)>f(sin B)，所以C错，D对，因为角A，B的大小关系不确定，所以A、B项不正确．故选D．
12．(多选)若函数f(x)＝sin与g(x)＝cos都在区间(a，b)(0A． B．
C． D．
解析：AB 当x∈(0，π)时，2x－∈，所以当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递减；当x∈(0，π)时，x＋∈，所以当x＋∈，即x∈时，g(x)单调递减，因为∩＝，所以≤a13．“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y＝4sin(ωx＋φ)的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则函数的单调递增区间的是( )
A． B．
C． D．
解析：B ∵相邻最大值与最小值之间的水平距离为，∴T＝，则T＝π，∴ω＝＝2，即y＝4sin(2x＋φ)，又图象过点，则sin＝，∵|φ|<，∴φ＋＝，∴φ＝，即y＝4sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数的单调递增区间为，k∈Z，∵ ，∴是函数的单调递增区间．故选B．
14．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
解析：∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，∴当x＝时，f(x)取得最大值，即f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z．∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值．
答案：
15．设函数f(x)＝sin x，x∈R．
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝2＋2的值域．
解：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sin xcos θ＋
cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0．
又θ∈[0,2π)，所以θ＝或．
(2)y＝2＋2
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos．
因此函数的值域是．(共29张PPT)
4.4.1 三角函数的图象与性质（一）
核心考点 师生共研
核心考点 师生共研
01
考点一 三角函数的定义域（自主练透）
1.函数 的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由 ,得 .
√
2.函数 的定义域为___________________________.
解析：要使函数有意义，则有
解得 ,所以 , ,所以
函数 的定义域为 .
3.(2023·山东日照阶段测试)函数 的定义域为__________
______________________.
解析：要使函数有意义，必须使 .在
同一平面直角坐标系中画出 和 在
上的图象，如图所示.
在 内，满足 的 的值为 ， ，再结合正弦、余弦函
数的周期是 ，所以原函数的定义域为
.
三角函数的定义域的求法
（1）求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式（或等式）；
（2）求三角函数的定义域经常借助两个工具：三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；
（3）对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）
分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集.
[注意] 解三角不等式时要注意周期，且 不可以忽略.
考点二 三角函数的值域（最值）（师生共研）
例1.（1）函数 的值域为( )
A. B. C. D.
解析：
.
因为 ，所以 ,所以函数 的值域为 .
√
（2）(2023·山东济南模拟)函数 , 的
值域为_ ______.
解析：因为 ,所以 ,
又 ,
则当 时， ,当 时， ,
所以所求函数的值域为 .
（3）(2023·重庆模拟)函数 的值域
为_ ___________.
解析：
.
令 ,
则 .
求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型
（1）形如 的三角函数化为
的形式，再求值域（最值）；
（2）形如 的三角函数，可先设 ,再求化
为关于 的二次函数的值域（最值）；
（3）形如 的三角函数，可先设
,再求化为关于 的二次函数的值域（最值）.
【对点训练】
1.函数 , 的值域为( )
A. B. C. D.
解析：选A.设 ,因为 ,所以 ,
因为正切函数 在 上单调递增，且 ,
,所以 .故选A.
√
2.已知函数 的定义域是 ，值域为 ，
则 的最大值是( )
A. B. C. D.
解析：选A.因为 ,所以 .因为 的值域
为 ，所以 ,解得 ，所以 的最大值为
， 故选A.
√
3.函数 的最大值是___，最小值是__.
解析：原式 .当 时， ;当 时， .因此原函数的最大值是6，最小值是 .
考点三 三角函数的单调性（多维探究）
[高考考情] 三角函数的单调性是三角函数的重要性质，常常与奇偶性、周期性交汇在一起，是每年的必考内容，主要考查三角函数值的大小比较、求单调区间以及利用单调性解决参数范围问题，以选择题、填空题的形式出现，属于中档题.
角度1 利用三角函数的单调性比较大小
例2.（1）设 , , ，则有
( )
A. B. C. D.
√
解析：
,
,
,
因为 在 上单调递增，所以 ,
所以 .
（2）(2023·山东济南质检)已知函数 ,设 ,
, ,则 , , 的大小关系是( )
A. B. C. D.
解析：由 , 得 , ,
所以 的单调递减区间为 ,所以 在
上单调递减，所以 ,即 .
√
比较三角函数值大小的方法
先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较.
角度2 求三角函数的单调区间
例3.（1）(2022·高考北京卷)已知函数 ，则( )
A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增
C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增
√
解析：依题意可知 .对于A选项，因为
，所以 ，所以函数 在 上单调
递增，故A不正确；对于B选项，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上不单调，故B不正确；
对于C选项，因为 ，所以 ，所以函数 在
上单调递减，故C正确；对于D选项，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上不单调，故D不正确.故选C.
（2）函数 的单调递减区间为______________________.
,
解析： 的单调递减区间是 的单调递
增区间,
由 , ,
解得 , .
故所求函数 的单调递减区间为 , .
求三角函数单调区间的两种方法
（1）代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式（如
）整体当作一个角，再利用基本三角函数
的单调性列不等式求解.
（2）图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间.
[注意] 要注意求函数 的单调区间时 的符号,若 ，
那么一定要先借助诱导公式将 化为正数.同时切莫忘记考虑函数自身的
定义域.
角度3 根据三角函数单调性求参数
例4.（1）(2023·宁夏平罗中学高三阶段练习)已知函数
在区间 上单调递减，则实数 的取值范
围为( )
A. B. C. D.
解析：由题意有 ,解得 ,又由
,必有 ,可得 .
√
（2）(2023·山东潍坊一中模拟)已知点 在函数
的图象上，且 在 上单调递减，则 的最大值为___.
解析：因为点 在函数 的图象上，
所以 ,因为 在 上单调递减.
所以 ,即 ,所以 ,
易知 的一个单调递减区间为 ,又 在 上单调递减，所
以 的最大值为 .
已知函数单调性求参数
（1）明确一个不同
“函数 在区间 上单调”与“函数 的单调区间为 ”两者的含义不
同，显然 是 的子集.
（2）抓住两种方法
一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；
二是利用导数，转化为导函数在区间 上的保号性，由此列不等式求解.
【对点训练】
1.(2023·山东德州开学考试)函数 的单调递增区间为__________
_________，单调递减区间为_ _________________.
,
,
解析：作出函数 的图象，如图.
观察图象可知，函数 的单调递增
区间为 , ,单调递减区间为
, .
2.若函数 在区间 上单调递减，则实数 的最大
值是_ __.
解析：方法一：令 , ,即
, ,所以函数 在区间 上单调递减，
所以 的最大值为 .
方法二：因为 ，所以 ,又 在 上单
调递减，所以 ,即 ,所以 的最大值为 .
3.(2023·河南郑州模拟)若函数
在区间 上单调递
增，则正数 的最大值为__.
解析： .
当 , 时， ,
所以 解得 ,
所以正数 的最大值为 .